高考一轮复习数学课件-两个计数原理.pptx
10.1两个计数原理第十章计数原理、概率、随机变量及其分布两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法.mnmn1分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N m1m2mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为A.16 B.13 C.12 D.10将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4312(种).2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有A.8种 B.9种 C.10种 D.11种设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班级分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法.由分类加法计数原理可知，共有3339(种)不同的监考方法.3.由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃掉的可能路线有A.10条 B.8条 C.6条 D.4条由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步；其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有2种走法.所以所求路线共有326(条).核心题型例1(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有A.4种 B.10种 C.18种 D.20种题型一分类加法计数原理赠送1本画册，3本集邮册.需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法.赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法.由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4610(种).(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为_.240若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有236(个).若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有8972(个).所以所有凸数共有26122030425672240(个).使用分类加法计数原理的两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.跟踪训练1(1)(2023太原模拟)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有A.3种 B.6种 C.7种 D.8种由题意得，三种币值取一张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆.一共可以组成的币值有3317(种).(2)设I1,2,3,4，A与B是I的子集，若AB1,2，则称(A，B)为一个“理想配集”.若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有_个.9例2(1)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有A.12种 B.24种 C.72种 D.216种题型二分步乘法计数原理(2)(多选)(2022武汉模拟)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是A.共有43种不同的安排方法B.若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种C.若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选法，则三个学生有44443(种)选法，故A正确；对于B，三人到4个工厂，有4364(种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有3327(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有642737(种)，故B正确；对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有4216(种)安排方法，故C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有43224(种)安排方法，故D正确.利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的.(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成.跟踪训练2(1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，则由一层到五层不同的走法有A.10种 B.25种 C.52种 D.24种每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.由分步乘法计数原理可知，共有24种不同的走法.(2)(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有43种对于A，B，第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步乘法计数原理知共有34种结果，A正确，B错误；对于C，D，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有4种选择，第3个社团有4种选择，根据分步乘法计数原理知共有43种结果，D正确，C错误.分两步：第1步，取多面体，有538(种)不同的取法；第2步，取旋转体，有426(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8648.例3(1)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是A.14 B.23 C.48 D.120题型三两个计数原理的综合应用(2)(2023南平质检)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为_.805日至9日，日期尾数分别为5,6,7,8,9，有3天是奇数日，2天是偶数日.第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有224(种)用车方案；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有32212(种)用车方案，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有238(种)用车方案，共计12820(种)用车方案.根据分步乘法计数原理可知，不同的用车方案种数为42080.利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事.(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图.(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步.跟踪训练3(1)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为A.24 B.14 C.10 D.9第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4312(种)选择方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理可知，共有12214(种)选择方式.(2)如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为A.480 B.600C.720 D.840依题意，按c与d涂的颜色相同和不同分成两类：若c与d涂同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有1种方法，涂e有3种方法，最后涂b有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有54133180(种)，若c与d涂不同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有3种方法，涂e，b也各有3种方法，由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有54333540(种)，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180540720(种).
