曲率函数图形的描绘学习教案.pptx
会计学1曲率函数图形的描绘曲率函数图形的描绘第一页，编辑于星期二：点 二十八分。一、弧微分 规规定定2第1页/共35页第二页，编辑于星期二：点 二十八分。3单调增函数单调增函数.如图，如图，于是于是弧弧 s的增量为的增量为那末那末第2页/共35页第三页，编辑于星期二：点 二十八分。4取极限取极限,即即又又得得弧微分公式为单调增函数为单调增函数,第3页/共35页第四页，编辑于星期二：点 二十八分。5如将如将代入公式代入公式,得得弧微分公式可化为参数方程形式可化为参数方程形式如曲线以极坐标方程给出如曲线以极坐标方程给出如曲线为参数方程如曲线为参数方程写到根式内,得第4页/共35页第五页，编辑于星期二：点 二十八分。二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。)弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大,转角越大转角越大转角相同，转角相同，弧段越短，弯曲程度越大弧段越短，弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义)6第5页/共35页第六页，编辑于星期二：点 二十八分。)yxo（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率7第6页/共35页第七页，编辑于星期二：点 二十八分。例例1 1(1)直线的曲率直线的曲率(2)圆上各点处的曲率圆上各点处的曲率 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数.圆的半径越小曲率越大圆的半径越小曲率越大.8第7页/共35页第八页，编辑于星期二：点 二十八分。2.曲率的计算公式曲率的计算公式9(1)(2)第8页/共35页第九页，编辑于星期二：点 二十八分。例例2 2解解显然显然,10第9页/共35页第十页，编辑于星期二：点 二十八分。例例 3 的曲率最小？的曲率最小？t为何值时为何值时,曲线曲线 求出最小曲率求出最小曲率,写出该点的曲率半径写出该点的曲率半径.解解 要使要使K(t)最小最小,等价于等价于 最大最大,故当故当 即即曲率最小曲率最小,且且,|2sin|41ta,1|2sin|t|2sin|t 摆线第10页/共35页第十一页，编辑于星期二：点 二十八分。三、曲率圆与曲率半径定义定义12第11页/共35页第十二页，编辑于星期二：点 二十八分。1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数互为倒数.注意注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处曲线在该点处的曲率越小的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率越曲率越大大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).曲率圆曲率圆y=y(x)与曲线与曲线y=f(x)的关系的关系:过同一点过同一点有公切线有公切线圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同13第12页/共35页第十三页，编辑于星期二：点 二十八分。例例3 3 设工件表面的截线为抛物线设工件表面的截线为抛物线y 0 4x2 现在要用砂轮现在要用砂轮磨削其内表面磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？问用直径多大的砂轮才比较合适？解解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为 rK-1125 因此因此,选用砂轮的半径不得超过选用砂轮的半径不得超过1 25单位长单位长 即直径不即直径不得超过得超过2 50单位长单位长 y 0 8x y0 8 y|x 0 0 y|x 0 0 8 把它们代入曲率公式把它们代入曲率公式 得得14第13页/共35页第十四页，编辑于星期二：点 二十八分。四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质研究曲线和曲面的性质的数学分支的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).15第14页/共35页第十五页，编辑于星期二：点 二十八分。图形描绘的步骤图形描绘的步骤作图举例作图举例渐近线渐近线(asymptotic line)3.6 函数图形的描绘16第15页/共35页第十六页，编辑于星期二：点 二十八分。现在我们还不能很好地现在我们还不能很好地作出函数的图形作出函数的图形,因为还不因为还不知道如何求曲线的渐近线知道如何求曲线的渐近线.中学就会求了.第16页/共35页第十七页，编辑于星期二：点 二十八分。若动点若动点 P 沿着曲线沿着曲线 y=f(x)的某一方向无的某一方向无限远离坐标原点时限远离坐标原点时,动点动点 P 到一直线到一直线 L 的距离的距离趋于零趋于零,则称此直线则称此直线 L 为曲线为曲线 y=f(x)的一条的一条渐近线渐近线.一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线定义定义第17页/共35页第十八页，编辑于星期二：点 二十八分。曲曲线线的的渐渐近近线线水平渐近线水平渐近线垂直渐近线垂直渐近线斜渐近线第18页/共35页第十九页，编辑于星期二：点 二十八分。1.铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线.或或(垂直于垂直于x轴的轴的渐近线渐近线)202.水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线.或或(b为常数为常数)(平行于平行于x轴的轴的渐近线渐近线)(limxf两种渐近线的定义两种渐近线的定义第19页/共35页第二十页，编辑于星期二：点 二十八分。第20页/共35页第二十一页，编辑于星期二：点 二十八分。曲线可以穿曲线可以穿过其渐近线过其渐近线.解解例1第21页/共35页第二十二页，编辑于星期二：点 二十八分。解解例2第22页/共35页第二十三页，编辑于星期二：点 二十八分。例例3.求曲线求曲线的渐近线的渐近线.解解:为水平渐近线为水平渐近线;为垂直渐近线为垂直渐近线.第23页/共35页第二十四页，编辑于星期二：点 二十八分。利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性函数是否有奇偶性、周期性.判定和拐点和拐点,讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性渐近线.适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交点.特别注意函数图形的描绘二、图形描绘的步骤25第24页/共35页第二十五页，编辑于星期二：点 二十八分。26例例4 4解解非奇非偶函数非奇非偶函数,三、作图举例函数图形的描绘第25页/共35页第二十六页，编辑于星期二：点 二十八分。不存在不存在拐点拐点极小极小值值间间断断点点无斜渐近线无斜渐近线.函数图形的描绘列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:27第26页/共35页第二十七页，编辑于星期二：点 二十八分。作图作图拐点拐点极小值极小值补充点补充点不存在不存在拐点拐点极小极小值值间间断断点点水平渐近线:垂直渐近线:函数图形的描绘28第27页/共35页第二十八页，编辑于星期二：点 二十八分。解解极极大大拐拐点点例5第28页/共35页第二十九页，编辑于星期二：点 二十八分。曲线无水平渐近线曲线无水平渐近线.第29页/共35页第三十页，编辑于星期二：点 二十八分。第30页/共35页第三十一页，编辑于星期二：点 二十八分。32四、小结 利用一阶、二阶导数的符号确定函数的升降、最最大大值值最最小小值值凹凹的的凸凸的的单单增增单单减减极极大大值值拐拐点点极极小小值值非非极极值值不可不可导导极极大大值值地描绘图形的基础.凹凸以及极值点和拐点是掌握函数的性态、较准确第31页/共35页第三十二页，编辑于星期二：点 二十八分。思考与练习 1.曲线曲线(A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 ,2.曲线的凹区间是的凹区间是 ,渐近线渐近线 .第32页/共35页第三十三页，编辑于星期二：点 二十八分。34解答提示解答提示解答提示解答提示 1.曲线曲线(A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:第33页/共35页第三十四页，编辑于星期二：点 二十八分。拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 ,2.曲线的凹区间是的凹区间是 ,提示提示:及及渐近线渐近线 .35第34页/共35页第三十五页，编辑于星期二：点 二十八分。
