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数理统计基础知识数理统计基础知识 例：试验例：试验EE电话台单位时间内收到的用户呼唤次数电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次记呼唤次数为数为 X X，则则 X X 是一个变量，取值为是一个变量，取值为0 0，1 1，2 2，,(,(X=i)X=i)代表相应代表相应的基本事件（样本点）。的基本事件（样本点）。变量变量X X的取值是变化的的取值是变化的取决于试验的基本结果（样本取决于试验的基本结果（样本点）事先不能确定，有随机性；但取任一值都有确定的概率。点）事先不能确定，有随机性；但取任一值都有确定的概率。我们把具有上述性质的我们把具有上述性质的 X X 称为随机变量。称为随机变量。随机变量的引入，使随机事件的表达在形式上非常简洁随机变量的引入，使随机事件的表达在形式上非常简洁随机变量随机变量随机变量的定义随机变量的定义定义定义2.1 2.1 设试验设试验E E的样本空间为的样本空间为，对于对于 的任一样本点的任一样本点 按照某种对应法则，都有唯一确定的实数按照某种对应法则，都有唯一确定的实数 X(X()与之对应，即与之对应，即 X X=X(=X()是定义在是定义在 上的一个实值函数，且对于任意实数上的一个实值函数，且对于任意实数x,x,x|X(x|X()x x是一随机是一随机事件，事件，有确定的概率，则称有确定的概率，则称 X X=X(=X()为随为随机变量。机变量。注：（注：（1 1）随机变量）随机变量是试验结果（即样本点）和实数之间的一个是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系对应关系,与高等数学中的函数概念本质上是一回事与高等数学中的函数概念本质上是一回事。随机变量随机变量X X=X(X()是函数，其是函数，其自变量是样本点自变量是样本点，定义域是样本，定义域是样本空间空间,值域是实数集或其子集。值域是实数集或其子集。X(X()R R （4 4）引入随机变量后，随机试验中的各种事件，就可以通过随）引入随机变量后，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量表达出来。机变量表达出来。（3 3）随机变量的取值有一定的概率。（随机变量与普通函）随机变量的取值有一定的概率。（随机变量与普通函数的本质差异）由此可知：数的本质差异）由此可知：对随机变量的研究，不仅要搞对随机变量的研究，不仅要搞清楚随机变量取值的范围，还要搞清楚取相应值的概率。清楚随机变量取值的范围，还要搞清楚取相应值的概率。例如：单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用例如：单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X X表示，则表示，则“收到不少于一次呼叫收到不少于一次呼叫”“X X1”1”，“没没收到呼叫收到呼叫”“X X =0”0”。（2）随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母,或希腊字母或希腊字母 ,等表等表示而表示随机变量所取的值时，一般采用小写字母示而表示随机变量所取的值时，一般采用小写字母x,y,z 等等。为了为了描述随机变量描述随机变量，只知道它可能取的值是不够的，只知道它可能取的值是不够的，更重要的是要知道它取各个值的概率（即概率分布情况）。更重要的是要知道它取各个值的概率（即概率分布情况）。定义：定义：若随机变量若随机变量只能取有限个数值只能取有限个数值 x 1,x 2,x n,或可列或可列无穷多个数值无穷多个数值 x 1,x 2,x n,，则称则称为离散型随机变量。为离散型随机变量。离散型随机变量 若若所有可能的取值为所有可能的取值为 x 1,x 2,对应的概率为对应的概率为p 1,p 2,。即：即：P(X=x i)=p i ,i=1,2,(1)则称式则称式(1)为随机变量为随机变量的的概率函数概率函数或或概率分布概率分布或或分布律分布律或或分布列（简称为分布）。分布列（简称为分布）。定义：定义：分布列常以下列表格（概率分布表）的形式表示：分布列常以下列表格（概率分布表）的形式表示：X X x1x2x iP(X X=x x i)p1p2pi 离散型随机变量的分布列的性质性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列pi 都具有下述两个性质：都具有下述两个性质：(1)(1)、pi0，i =1,2,=1,2,；(2)、反过来，任一具有上述两个性质的数列反过来，任一具有上述两个性质的数列pi，都有都有资格作为某一个随机变量的分布列。资格作为某一个随机变量的分布列。分分布布列列不不仅仅明明确确地地给给出出了了（=x i）的的概概率率，而而且且对对于于任任意意的的实实数数a 1)=?P(0X3)=?P(-1X1)=?P(0X3)=?P(-1X2)=?定义定义2.2.若随机变量若随机变量X X 所有可能取值是某一区间上所有可能取值是某一区间上的所有实数，且存在非负可积的函数的所有实数，且存在非负可积的函数 f(x)，使得对任意使得对任意实数实数，有有：则则称称X X为为连连续续型型随随机机变变量量，称称f(x)为为X X的的概概率率分分布布密密度度函函数数，简称为简称为概率密度概率密度或或密度函数密度函数或或密度密度。记作。记作X Xf(x)。注注意意连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！连续型随机变量的一个重要特点：取个别值的概率为零证明：所以有说说明明由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题定义定义2.2设设X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数，函数是任意实数，函数称为称为X 的的分布函数分布函数对于任意的实数对于任意的实数x1,x2(x1x2)，有：有：x1x2 xXo0 xxX返回主目录返回主目录为为了了更更好好地地研研究究随随机机变变量量的的统统计计规规律律，引引进进随随机机变变量量的的分分布布函数的概念。函数的概念。随机变量的分布函数：随机变量的分布函数：分布函数的性质分布函数的性质2)F(x)是不减函数，即对是不减函数，即对x1 1 x)=1-)=1-F(x)P(x1x)=(X X x)P(X(X x)=1-)=1-F(x)x1X2设 E是一个随机试验，它的样本空间是=，设X=X()和Y=Y()是定义在 上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。X()Y()定义定义返回主目录注注 意意 事事 项项返回主目录二维随机变量的例子二维随机变量的例子返回主目录 例例1 1 一盒中有一盒中有3 3个白球个白球7 7个黑球，求个黑球，求（1 1）第一次取得黑球的概率）第一次取得黑球的概率（2 2）在第一次取得黑球后不放回的条件下，第二次仍取）在第一次取得黑球后不放回的条件下，第二次仍取得黑球的概率得黑球的概率 （2 2）在第一次取得黑球后不放回的条件下，事件在第一次取得黑球后不放回的条件下，事件A A发生时的发生时的新样本新样本空间为空间为3 3个白球个白球6 6个黑球，共个黑球，共9 9个样本点，事件个样本点，事件A A中含中含6 6个样本点。个样本点。则：则：在第一次取得黑球后不放回的条件下，第二次仍取得黑在第一次取得黑球后不放回的条件下，第二次仍取得黑球的概率球的概率 为为 6/9 =2/36/9 =2/3 解解 设设BB第一次取得黑球第一次取得黑球 AA第二次取得黑球第二次取得黑球（1）事件）事件B：样本空间中含样本空间中含10个样本点个样本点B中含中含7个样本点个样本点所以所以 P P（B B）=7/10=7/10注意注意 ：2/32/3不是不是P P（A A），而是条件概率），而是条件概率P P（A ABB）条件概率的定义条件概率的定义 定义定义1.31.3 设设P(B)0，在事件在事件B已经发生的条件下已经发生的条件下,事件事件A发生发生的概率的概率,称为事件称为事件A对对B的条件概率的条件概率,记作记作P(A|B)注注:(2)(2)P(A)P(A)称为无条件概率称为无条件概率(3)(3)性质：设性质：设P(B)0(1)(1)P(AB)P(AB)的直观含义的直观含义P(|B)=1若若Ak(k=1，2，)两两互不相容，则两两互不相容，则 (Ai|B)=(Ai|B)i=1i=1对于任一事件对于任一事件A，都有都有0P(A|B)1样本空间ABB新样本空间条件概率的实质条件概率的实质 条件概率条件概率P(A|B)P(A|B)的实质是的实质是样本空间起了变化样本空间起了变化。缩小为只取所包含的缩小为只取所包含的样本点。有利事件为样本点。有利事件为ABAB。AB相关性质：对于固定的事件相关性质：对于固定的事件B B，设，设P(B)P(B)0,A0,A为任意事件，则：为任意事件，则：P(A|B)+P(P(A|B)+P(|B)=1|B)=1另外，对概率的各性质，变为条件概率（另外，对概率的各性质，变为条件概率（|B)|B)后依然成立后依然成立用用P(AB)P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B)来刻划独立性，比用来刻划独立性，比用P(A|B)=P(A)更方便，更方便，因它不受因它不受P(B)是否为是否为0的制约，而且，式中事件的制约，而且，式中事件A与与B的地位对的地位对称，反映了独立的相互性。称，反映了独立的相互性。事件的独立性事件的独立性 事件事件A A对于事件对于事件B B的条件概率的条件概率P(A|B)和事件和事件A的无条件概的无条件概率率P(A)可能相等或不相等。可能相等或不相等。若若 P(A|B)=P(A)(P(B)0)定义定义1.4此时由乘法公式知：此时由乘法公式知：P(A)=P(A|B)等价于等价于 P(AB)P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B)称称对于独立对于独立P(AB)P(AB)=P(A)P(B)P(A)P(B)定义定义1.51.5：（事件的独立性）：（事件的独立性）则称事件与则称事件与相互独立相互独立。如果事件如果事件A，B，满足：满足：随随机机变变量量的的数数字字特特征征一一、离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望1 1、定义：设离散型随机变量定义：设离散型随机变量 的概率函数为的概率函数为 P(=x i)=pi i =1,2,=1,2,若级数若级数 绝对收敛绝对收敛，则称此级数的和为随机变量，则称此级数的和为随机变量 的的数学数学期望期望。简称。简称期望期望或或均值均值。记作。记作E E ，即即 如果级数如果级数 不绝对收敛，则称随机变量不绝对收敛，则称随机变量 的数学期望不的数学期望不存在。存在。(1)(1)对要求绝对收敛的说明：对要求绝对收敛的说明：级数级数 的求和的求和次序可以改变而其和要保持不变，要达到这一点，必须有次序可以改变而其和要保持不变，要达到这一点，必须有 绝对收敛。绝对收敛。注意注意：(2)(2)当当 只取有限个值时，只取有限个值时，假设一个班共假设一个班共20 人，其中人，其中 18 岁的有岁的有6 人，人，19 岁的有岁的有10 人，人，20 岁的有岁的有4人，现任取一人观察其岁数，则观察到的岁人，现任取一人观察其岁数，则观察到的岁数数 为一随机变量，不难求出为一随机变量，不难求出 的分布率如表的分布率如表2所示。所示。例例：求：求：这个班的学生的平均年龄。这个班的学生的平均年龄。解解：P 6/20 10/20 4/20 18 19 20表表2二二、连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望记为记为1 1、定义、定义 设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 ，若积，若积分分 绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分 为为 的数学期望。的数学期望。例例1：计算在区间：计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量 的数学期望。的数学期望。解：解：依题意依题意故故2 2、举、举例：例：三三、随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望定理定理 1 1：设设 =g()，g(x)是连续函数，那么是连续函数，那么(2)若若 为为连续型连续型随机变量，其随机变量，其密度函数为密度函数为f(x)，(1)若若 为为离散型离散型随机变量，其概率函数为随机变量，其概率函数为1、一维、一维随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望例例1 1：设随机变量设随机变量 的分布列为的分布列为求：求：E 2，E(2-1)。解：解：P 1/8 1/4 3/8 1/4 -1 0 2 3例例2 2：求：求：E 解：解：定理定理 2 2：若若(,)是是二二维维随随机机变变量量，g(x,y)是是二二元元连连续续函函数数(1)若若(,)为二维为二维离散型离散型随机变量，其联合分布为随机变量，其联合分布为(2)若若(,)为二维为二维连续型连续型随机变量，其联合密度函数为随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，且且2、二维、二维随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望解：解：例例1：设设(,)的联合分布为的联合分布为求求：E(-)，E 。0.10.201013 321 10.20.10.3E(-)=(0-1)(0-2)(0-3)(1-1)(1-2)(1-3)0.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.1=-2.1E()=(0 1)(0 2)(0 3)(1 1)(1 2)(1 3)0.1+0.2+0.3+0.2+0.1+0.1=0.7设设(,)在在区区域域 G 上上服服从从均均匀匀分分布布，其其中中G 为为x 轴轴，y 轴轴和直线和直线x+y+1=0所围成的区域。其联合密度为所围成的区域。其联合密度为G解：解：例例2：求：求：E(-3+2)，E 。性质性质1：常量的期望就是这个常量本身常量的期望就是这个常量本身,即即E(c)=c.四四、数学期望的性质数学期望的性质证：证：常量常量c 可看作仅取一个值可看作仅取一个值c 的随机变量，且取值的随机变量，且取值c的概率为的概率为1，即，即 的分布为的分布为P(=c)=1，这种分布称为这种分布称为退化分布退化分布，其数学期望为其数学期望为 E(c)=c 1=c推论推论：E(E)=E 性质性质2：随机变量随机变量 与常量与常量c 之和的数学期望等于之和的数学期望等于 的期望与这的期望与这个常量个常量c 的和的和E(+c)=E+c证：证：设设 的分布为的分布为pk(离散型离散型)；密度函数为；密度函数为f(x)(连续型连续型)，则，则 为为离散型时离散型时 为为连续型时连续型时性质性质3：E(c)=cE 常量常量c 与随机变量与随机变量 的乘积的期望等于的乘积的期望等于 c 与与 的期望的乘积的期望的乘积证：证：设设 的分布为的分布为pk（离散型）；密度函数为离散型）；密度函数为f(x)(连续型连续型),则则性质性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数的同一线性函数E(k +c)=k E +c证：证：E(k +c)=E(k )+c=kE +c性质性质5：两个随机变量之两个随机变量之和（差）的数学期望和（差）的数学期望等于这两个随机变量等于这两个随机变量数学期望之和（差）数学期望之和（差）E()=E E 推论：推论：对任意常数对任意常数ci(i=1,2,n)、常数常数 b 及及随机变量随机变量 i(i=1,2,n)，有有特别地，特别地，n 个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值等于这其期望值等于这n 个随机变量期望的算术平均数。个随机变量期望的算术平均数。性质性质6：两个两个相互独立相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积望的乘积,即即E()=E E 解：解：E =9 0.3+10 0.5+11 0.2=9.9例例1：两两相互独立相互独立的的随机变量随机变量 ,的分布如下面两表所示。的分布如下面两表所示。E 2=62 0.4+72 0.6=43.80.20.50.3P11109 0.60.4P76 求：求：E(+)、E()和和E 2且且因因 与与 相互独立，所以相互独立，所以E()=9.9 6.6=65.34则则E(+)=E +E =9.9+6.6=16.5 E =6 0.4+7 0.6=6.6定义定义：设二维随机变量设二维随机变量(,)的联合分布为的联合分布为 P(=xi，=y j)=p i j(i,j=1,2,)在在 =y j 条件下随机变量条件下随机变量 的的条件分布条件分布为为1、离散型、离散型若级数若级数绝对收敛，则称绝对收敛，则称为在为在 =y j 条件下条件下 的的条件条件数学期望数学期望，记作，记作五五、条件条件数学期望数学期望即有即有P(|=y j)x1x2 x i P(=x1|=y j)P(=x2|=y j)P(=xi|=y j)即即同样可以定义同样可以定义0.250.250.5P(|=1)321 所以所以例例：设设(,)在在 =1 条件下条件下 的的条件分布条件分布为为1 0.5+2 0.25+3 0.25=1.752、连续型连续型即即同样可以定义同样可以定义定义定义：设二维随机变量设二维随机变量(,)的的条件条件密度为密度为 f(x|y)及及f(y|x)。若若绝对收敛，则称绝对收敛，则称为在为在 =y 条件下条件下 的的条件条件数学期望，数学期望，记作记作方方 差差解解：甲、乙两块手表，日走时甲、乙两块手表，日走时误差误差分别为随机变量分别为随机变量 1,2（单单位：秒），其概率函数分别位：秒），其概率函数分别如表如表1、表表2所示。试比较两块手表所示。试比较两块手表的优劣？的优劣？引例引例：P 0.1 0.8 0.1 1 -1 0 1 表表1P 0.2 0.6 0.2 2 -1 0 1 表表2从从平均值平均值意义上看，意义上看，两块手表质量相同。两块手表质量相同。从从离散程度离散程度意义上看，意义上看，甲表质量优于乙表。甲表质量优于乙表。方差方差 一、方差的定义一、方差的定义如果随机变量如果随机变量 的数学期望的数学期望E 存在，存在，称称 -E 为随机变量的为随机变量的离差离差。1.离差的定义离差的定义：随机变量随机变量 离差平方离差平方的数学期望称为随机变量的数学期望称为随机变量 的的方差方差。记作记作D 或或 Var ，即即2.方差方差的定义：的定义：特别特别标准差的定义：标准差的定义：称为称为 的的标准差标准差。1o如果如果 是是离散型离散型随机变量，并且随机变量，并且P=xk=pk(k=1,2,)，则则2o如果如果 是是连续型连续型随机变量，并且有密度函数随机变量，并且有密度函数f(x)，则则D =Var =E(-E )23o方差的计算公式方差的计算公式:证：证：D =E(-E )2=E 2-2 E +(E )2 =E 2-E(2 E)+E(E )2=E 2-2E (E)+(E)2=E 2-(E )2解解：甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量甲、乙两块手表，日走时误差分别为随机变量X1,X2,其概率函数分别其概率函数分别如表如表1、表表2所示。试比较两块手表的优劣？所示。试比较两块手表的优劣？例例：P 0.1 0.8 0.1X1 -1 0 1 表表1P 0.2 0.6 0.2 X2 -1 0 1 表表20.20.20.20.20.2P1051-5-10X 例：例：X 有如下分布律有如下分布律 求：求：DX EX 2=(-10)2 0.2+(-5)2 0.2+12 0.2+52 0.2+102 0.2=50.2DX =EX 2-(EX )2=50.2-0.22=50.16解解：EX =(-10)0.2+(-5)0.2+1 0.2+5 0.2+10 0.2=0.2例例：2x 0 x0为常数，则称为常数，则称X X服从参数为服从参数为,2的的正态分布，记为正态分布，记为X X N(,2)。正态分布满足密度函数的两个性质：正态分布满足密度函数的两个性质：其分布函数为其分布函数为(1)(x)0 x R(2)正态分布正态分布例如例如X X N(1，4）则则 =1,=2 2Ox (x)1 正态分布正态分布N(,2)的密度函数图形的密度函数图形如右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线。如右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线。(1)(x)图形关于直线图形关于直线x=对称。对称。(4)参数参数 决定曲线决定曲线 (x)的位置，参数的位置，参数 决定曲线决定曲线 (x)的形状。固定的形状。固定 而改变而改变 值，值，则曲线左右位置不同但形状不变，即此时则曲线左右位置不同但形状不变，即此时 (x)图形沿着图形沿着x轴平行移动；固定轴平行移动；固定 而改变而改变 值，则曲线形状改变而位置不值，则曲线形状改变而位置不变。变。值越大值越大时曲线越平缓，时曲线越平缓，值越小，曲线越陡峭。值越小，曲线越陡峭。(3)在在x=处，处，(x)取得最大值：取得最大值：Ox (x)Ox (x)其特点如下：其特点如下：正态分布的密度函数正态分布的密度函数的特点的特点(2)(x)在在x轴上方，且以轴上方，且以x轴为渐近线。轴为渐近线。正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布 一方面，有些分布（如二项分布、泊松分布）的极限一方面，有些分布（如二项分布、泊松分布）的极限分布是正分布是正 态分布；另一方面，有些分布（如态分布；另一方面，有些分布（如 2 2分布、分布、t t分布）又可通过正态分布导出。分布）又可通过正态分布导出。Ox y标准正态分布密度函数标准正态分布密度函数参数参数=0,=1的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布其密度函数为：其密度函数为：标准正态分布标准正态分布记为记为X N(0,1)。0(x)的性质的性质 (1)0(x)是偶函数，即有是偶函数，即有 0(-x)=0(x)。曲线曲线 0(x)是关于是关于纵轴对称的古钟型曲线；纵轴对称的古钟型曲线；(2)在在x=0处处 0(x)取得最大值取得最大值 (3)0(x)在（在（-，0）内单增，在）内单增，在（0，+）内递减。）内递减。(4)0(x)在在x=1，-1点取得拐点，且以点取得拐点，且以x轴为渐近线。轴为渐近线。有关有关 0(x)的结论：的结论：(3)P(|X X|x)=0(x)-0(-x)=2 0(x)-1；(4)P(|X X|x)=P(X X x)+P(X X-x)=21-0(x)(1)对对于于 0(x)，有有 0(-x)=1-0(x)0(0)=0.5其分布函数为：其分布函数为：0 0(x x)的几何意义：的几何意义：曲线曲线 0(x)与与x x轴之间在直线轴之间在直线t t=x x左边图形的面积左边图形的面积Ox 0(x)0(x)的几何意义的几何意义x y若若X X N(0,1)，密度函数为，密度函数为 (2)P(a X X b)=0(b)-0(a)标准正态分布的密度函数标准正态分布的密度函数 0(x)和分布函数和分布函数 0(x)值有表查值有表查例：已知例：已知X X N(0,1)，求求：(1)P(X X 0.68)；(2)P(X X 1.74)；(3)P(|X X|1.96)；(4)P(|X X|1.84)(5)P(X X 5.18)；(6)P(X X -8.7)；有关标准正态分布的概率计算有关标准正态分布的概率计算解：解：(1)P(X X 0.68)=P(X X 0.68)=0(0.68)=0.7517(2)P(X X 1.74)=1-P(X X 1.74)=1-0(1.74)=1-0.9591=0.0409(3)P(|X X|1.96)=P(-1.96-1.96 X X 1.96)=0(1.96)-0(-1.96)=2 0(1.96)-1=20.975-1=0.95(4)P(|X X|1.84)=21-0(1.84)=0.0658(5)P(X X 5.18)=0(5.18)1(6)P(X-8.7)=0(-8.7)=1-0(8.7)0注注：当当x 5时时 0(x)1，当当x-5时时 0(x)0，当当0 x5时时查查表表当当-5x0时时 0(x)=1-0(-x)一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系 结论：若结论：若X XN(,2)，Y N(0,1)，它们的密度函数它们的密度函数分别记为分别记为 (x)和和 0(x)，分布函数分别记为分布函数分别记为 (x)和和 0(x)，则则证：证：若随机变量若随机变量X X N(,2)，则随机变量则随机变量X X落在区间落在区间(a,b内的概率可以转化成标准正态分布来计算，即内的概率可以转化成标准正态分布来计算，即P(a X X b)=(b)-(a)=例：设例：设X N(1,4)，求：求：P(0 X X 1.6)，P(|X X|2)。解：解：P(0X X3 的概率是很小的，因此可以认为的概率是很小的，因此可以认为X X 取的值几乎全部取的值几乎全部集中在集中在 -3 ,+3 区间内。这在统计学上称作区间内。这在统计学上称作“3 准则准则”P(|X X-|2 )=(+2）-(-2）=2 0(2)-1=0.9545P(|X X-|3 )=(+3）-(-3）=2 0(3)-1=0.99730注：自由度注：自由度表示独立随机变量的个数表示独立随机变量的个数 1 1、2 分布分布 一、一、数理统计学的三个重要分布数理统计学的三个重要分布 抽样分布抽样分布:统计量的分布统计量的分布其中其中n1叫做叫做第一自由度第一自由度，n2叫做叫做第二自由度第二自由度。二、正态总体下的抽样分布1 1、样本线性函数的分布、样本线性函数的分布定理定理5.65.6：设：设Y=a1X1+a2X2+a n X n，则则 以下假设样本（以下假设样本（X1，X2，X n）来自正态总体来自正态总体XN(,2)其中其中 a1,a2,an 为常数，且不全为为常数，且不全为0。推论推论1：XN(,2/n)其中其中X与总体与总体X有相同的有相同的均值均值，但，但方差方差小得多。小得多。样本容量样本容量n越大，越大，X 向向 越集中。越集中。推论推论：推论推论2：若样本：若样本(X1,X2,X n)来自总体来自总体XN(1,12)，样本样本(Y1,Y2,Y m)来自总体来自总体YN(2,22)，且，且X与与Y相互独立，则相互独立，则 定理定理：若：若X1,X2,Xn相互独立相互独立,XiN(i,i2)(i=1,2,n)则则其中其中Y=a1X1+a2X2+anXn，a1,a2,an 为常数，为常数，且不全为且不全为0。证明：证明：XN(1,12/n)YN(2,22/m)，相互独立，相互独立X-YN(1-2,12/n+22/m)标准化得标准化得UN（0，1）2 2、样本均值和样本方差、样本均值和样本方差的分布的分布定理定理5.75.7：设总体：设总体X 服从正态分布服从正态分布N(,2)，样本，样本(X1,X2,Xn)来自总体来自总体X，有，有 (1)X 与与 S2 相互独立相互独立；(2)(n-1)S2/2 服从自由度为服从自由度为 n 1的的 2 分布。分布。定理定理5.8：证明：证明：XN(,2/n)(n-1)S2/2 2(n1),相互独立相互独立参数估计点估计点估计区间估计区间估计参数估计参数估计构造点估计的估计量的具体方法有多种，在此，构造点估计的估计量的具体方法有多种，在此，介绍两种方法。介绍两种方法。矩估计法的思想是：矩估计法的思想是：用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，而总体各阶矩都是总体分布中未知参数的函数，从而，通过估计而总体各阶矩都是总体分布中未知参数的函数，从而，通过估计总体矩来达到估计总体分布中未知参数的目的。总体矩来达到估计总体分布中未知参数的目的。设总体分布为设总体分布为F(x,1,2,k),i未知，未知，样本样本(X1,X2,X n)来自总体来自总体X，计算计算令令解未知量解未知量 1,2,k称为参数称为参数 1,2,k的矩估计量。的矩估计量。6.1 6.1 参数的点估计参数的点估计例例2：设样本设样本(X1,X2,X n)来自总体来自总体XN(,2)，求求 与与 2 的的矩估计量。矩估计量。解：解：例例1 1：设样本：设样本(X X1 1,X X2 2,X X n n)来自总体来自总体 X X，且总且总 体的均值体的均值 未知，求未知，求 的的矩估计量。矩估计量。解：解：总体总体X 的均值的均值 矩估计量矩估计量为一阶样本原点矩为一阶样本原点矩例例3：设样本设样本(X1,X2,X n)来自总体来自总体XP()，求求 的的矩估计量。矩估计量。解：解：另一方面：另一方面：EX2=DX+(EX)2=+2，所以：所以：此例说明此例说明：矩估计可以不唯一。矩估计可以不唯一。此时，一般取低阶矩得到的那一个。此时，一般取低阶矩得到的那一个。一阶样本原点矩作为一阶样本原点矩作为 的的矩估计量矩估计量思想：思想：进行一次具体的抽样之后，进行一次具体的抽样之后，(X1,X2,X n)得到一组观察值得到一组观察值(x1,x2,x n)。设总体分布设总体分布(以离散型为例以离散型为例)为为P(X=x)=F(x,1,2,k),（1,2,k)未知，未知，样本样本(X1,X2,X n)来自总体来自总体X，则则样本样本(X1,X2,X n)的概率分布函数为：的概率分布函数为：为为（1,2,k)的函数。因为的函数。因为(x1,x2,x n)在一次观在一次观察中就出现了，应出现在概率最大的地方。即求函数察中就出现了，应出现在概率最大的地方。即求函数取得最大值的最大值点，以此作为取得最大值的最大值点，以此作为（1,2,k)的估计。的估计。二、极大似然估计二、极大似然估计极大似然估计基本思想：极大似然估计基本思想：找出使样本观察值出现的概率为最大的参数值，将它作为未知参找出使样本观察值出现的概率为最大的参数值，将它作为未知参数的估计值。数的估计值。故似然函数为故似然函数为例例2：例例6：极大似然法求估计量的步骤：极大似然法求估计量的步骤：(一般情况下一般情况下)说明：说明：若似然方程（组）无解，或似然函数不可导，若似然方程（组）无解，或似然函数不可导，此法失效，改用其它方法。此法失效，改用其它方法。6.2点估计的优良性准则点估计的优良性准则我们知道，一个未知参数的估计量可能不止我们知道，一个未知参数的估计量可能不止一个。究竟采用哪个为好呢？这就涉及到用什么一个。究竟采用哪个为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题。我们介绍三个常用的标准来评价估计量的问题。我们介绍三个常用的标准：标准：1）无偏性；）无偏性；2）有效性；）有效性；3）一致性。）一致性。一、无偏性一、无偏性 根据样本推得的估计值与真值可能不同，根据样本推得的估计值与真值可能不同，然而，如果有一系列然而，如果有一系列抽样构成各个估计，很合理地会要求这些估计的期望值与未知参数抽样构成各个估计，很合理地会要求这些估计的期望值与未知参数的真值相等，它的直观意义是样本估计量的数值在参数的真值周围的真值相等，它的直观意义是样本估计量的数值在参数的真值周围摆动，而无误差，这就是估计量的无偏性。摆动，而无误差，这就是估计量的无偏性。定义定义6.2：如果对一切如果对一切 ，有，有例例：设总体：设总体X 有期望有期望 EX=，样本样本(X1,X2,X n)来自来自X，试证样本均值试证样本均值 X 是是 的无偏估计。的无偏估计。这个结论与总体的分布类型没有关系。只要总体期望存在这个结论与总体的分布类型没有关系。只要总体期望存在，样本均值总是它样本均值总是它的无偏估计。的无偏估计。证证：例例：设总体：设总体X 有期望有期望 EX=与方差与方差DX=2，与与 2 都未知。都未知。样本样本(X1,X2,X n)来自来自X，试证：，试证：(1)样本方差样本方差S2是是 2的无偏估计；的无偏估计；(2)样本标准差样本标准差S不是标准差不是标准差 的无偏估计；的无偏估计；(3)B2不是不是 2的无偏估计。的无偏估计。证证：(1)由定理由定理知：知：ES2=2 (2)DS=ES2-(ES)2=2-(ES)2 (3)因因 二、无偏估计的有效性二、无偏估计的有效性 一般地，未知参数一般地，未知参数 的无偏估计量往往不止一个，的无偏估计量往往不止一个，在这些估计量中，当然是取值对于在这些估计量中，当然是取值对于 的离散程度越小的的离散程度越小的 越好，即方差越小的越好。越好，即方差越小的越好。定义定义6.3：三、一致性（相合性）三、一致性（相合性）例：例：一、假设检验的提出一、假设检验的提出参数估计是统计推断的一个参数估计是统计推断的一个 主要方面主要方面假设检验是统计推断的另一个假设检验是统计推断的另一个 主要方面主要方面参数估计：讨论如何根据样本去得到总体分布所含参数的优良估参数估计：讨论如何根据样本去得到总体分布所含参数的优良估计计;假设检验：讨论怎样在样本的基础上考察上面所得到的估计值假设检验：讨论怎样在样本的基础上考察上面所得到的估计值与真实值之间在统计意义上相拟合，从而做出一个有较大把握的与真实值之间在统计意义上相拟合，从而做出一个有较大把握的结论结论假设检验问题的处理方法假设检验问题的处理方法 1 1、对总体分布中的某些参数或对总体分布的类型做某种假设、对总体分布中的某些参数或对总体分布的类型做某种假设 2 2、根据样本值做出接受还是拒绝所做假设的结论、根据样本值做出接受还是拒绝所做假设的结论假设检验假设检验问题问题假设检验假设检验的基本概念的基本概念例例1：设某厂生产一种灯管，其寿命：设某厂生产一种灯管，其寿命XN(,40000),从从过去去较长一一段段时间的生的生产情况看，灯管的平均寿命情况看，灯管的平均寿命为=1500小时，现在使用小时，现在使用了新工艺后，在所生产的灯管中抽取了新工艺后，在所生产的灯管中抽取25只，测得的平均寿命为只，测得的平均寿命为1675小时，问：采用新工艺后，灯管小时，问：采用新工艺后，灯管 的寿命是否有显著提高？的寿命是否有显著提高？拒绝拒绝H0(接受接受H1)-新产品寿命有显著提高新产品寿命有显著提高接受接受H0-新产品的寿命没有显著提高新产品的寿命没有显著提高H1:新产品的寿命新产品的寿命 1500考虑：为判别新产品的寿命是否提高考虑：为判别新产品的寿命是否提高,提出以下两个提出以下两个假设假设(hypothesis)H0:新产品的寿命新产品的寿命=1500备择假设备择假设(H1)(alternativehypothesis)原假设（或零假设原假设（或零假设H0）(nullhypothesis)例例2某产品的出厂检验规定某产品的出厂检验规定:次品率次品率p不超不超过过3%才能出厂才能出厂.现从一万件产品中任意抽查现从一万件产品中任意抽查100件件发现发现5件次品件次品,问该批产品能否出厂？若抽查结果问该批产品能否出厂？若抽查结果发现发现1件次品件次品,问能否出厂？问能否出厂？该例中问题的该例中问题的解决转化为由抽样结果来判断解决转化为由抽样结果来判断假设假设是否成立的问题是否成立的问题.【例例3】一一种种零零件件的的生生产产标标准准是是直直径径应应为为10cm，为为对对生生产产过过程程进进行行控控制制，质质量量监监测测人人员员定定期期对对一一台台加加工工机机床床检检查查，确确定定这这台台机机床床生生产产的的零零件件是是否否符符合合标标准准要要求求。如如果果零零件件的的平平均均直直径径大大于于或或小小于于10cm，则则表表明明生生产产过过程程不不正正常常，必必须须进进行行调调整整。因因此此检检验验生生产产过程是否正常就转化为检验过程是否正常就转化为检验是否成立是否成立.假设检验问题的处理方法假设检验问题的处