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大学物理习题及解答习题一d rd rd vd v1-1|Ar|与 4有无不同？d，和 d/有无不同？d/和 d t 有无不同？其不同在哪里?试举例说明.解：（1）是 位 移 的 模，是 位 矢 的 模 的 增 量，即 加 H 2-札4=|引一同;|d r|上 d v（2）同 是 速 度 的 模,即 屈 1=M =石.d r了只是速度在径向上的分量.有 r=（式 中,叫 做 单 位 矢）,d r式中了就是速度径向上的分量，d r d r.d r=/*+/贝 d/d/d/d r dd r 尸丁与丁 d tdz不 同 如 题 1-1 图所示.d v|-|=I d v I d v（3）看 表 示 加 速 度 的 模，即向1山1,正 是 加 速 度。在切向上的分量.有 V 亍任表轨道节线方向单位矢），所以d v d v _ d f=T +V d r d r d td v式中济就是加速度的切向分量.d r!.d f广 了”加 的 运 算 较 复 杂，超出教材规定，故不予讨论）1-2 设质点的运动方程为A、（/）,在计算质点的速度和加d r d2r速 度 时，有 人 先 求 出r=F,然后根据丫=山，及。=由 2 而求得结 果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有尸=行+力，_ d r d x-d y-J.V =I d-/d/d/d/_ d2r d2x-d2y -a =-=7 +彳 jd r d z2故它们的模即为而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作d r 匕 一 d2r d r其二，可能是将就 犷误作速度与加速度的模。在 IT题中已说明工d2r不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，*也不是加速d2r度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分L “I d”。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢不在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢尸及速度日的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在x 伽平面上运动，运动方程为_x=3，+5,v =2 厂+3，4.式 中/以 s 计，歹以皿计.（1）以时间/为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）求出仁1 s时刻和f=2 s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算/=0 s时亥 到/=4 s 时刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算/=4s时质点的速度；（5）计算/=0s至 W =4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算r =4s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）.一 1 9 -解：(1)k=。，+5)9f(2)将 1,2代入上式即有=8 7-0.5；mG =117+4/m 尸=弓一次=37+4.5 mr0=5j-4j,r4=n i+16j=A rV=A r-4%12 z +2 0 j4-0 -T 3z +5j m s-1.v =3/+(/+3)7 m -s-1(4)A t则 v4=3 i+V m-s-1v0=3i +3 j,v4=3：+7j(6)a A v _v-4-v-0 _ 4 _ i /-m s t 4 4a =1J m -s-2d/这说明该点只有六方向的加速度，且为恒量。1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如 题1-4图所示.当人以心(m)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.图1_4解：设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成。角，由图可知/2=+52将上式对时间/求导，得2l=2s A t A t&。根据速度的定义，并注意到/,s是随/减少的，d/d s.%=一而=%船=一了d v 1 d/I%即匕R 一 d r -s d t 一s%一c o s。或_lv0 _(+5 T )喋 一 s -s将V船 再对/求导，即得船的加速度s d/d vc 4船$山 d t v 一%s +、船4=Fd/=-S-2V0 =-S2%(-S +M,22一 S 一%1-5质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为q=2+6 x=a的单位为m-s =.d x =(4/+/-)d/分离变量，2积分得由题知 0,%。=5,.”2=5,x =2 +-/3+5故2所以f =10 s时-v =d r =4/+-3/2-d/x-2t2+-Z32+c223,vl 0=4x l 0 +-x l 02=19 0 ms-1x.ino =2 x l 02+2-X 103+5=70 5 m1-7 一质点沿半径为Im的圆周运动，运 动 方 程 为。=2+3-，8式中以弧度计，以秒计，求：（1），=2 s时-，质点的切向和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少？解：2s时,d。八 2。d。，cc o=9 r,B =18/d/d/g=R/=l x l 8x 2 =36m-s-2an=Re o2=l x(9 x 22)2=12 9 6 m-s-2t a n 45 =1当加速度方向与半径成45。角时，有 4即 Re o2=R/3 亦即（9）2=18/2 2/=2 +3/?=2 +3x =2.67 r a d则解得 9 于是角位移为 921-8质点沿半径为R的圆周按5=2 的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长，%,人 都是常量，求：（1 M时刻质点的加速度；（2），为何值时，加速度在数值上等于6.d s=v =vn b t解：d/_ V2 _(y0-b t)2a R R则加速度与半径的夹角为由题意应有a.(p=a r c t a n 二*Rb(%-忖 2即=N+三b2=b2+(%/),=(%-b t)4=0.,.当 b 时-，a =b1-9半径为火的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：（1）证明轮缘上任意点5的运动方程为x =R 3-s i n o/）,y =7?（1-c o s f f l/）,式中0 =%/R是轮子滚动的角速度，当8与水平线接触的瞬间开始计时,此时8所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；（2）求8点速度和加速度的分量表示式.解：依题意作出下图，由图可知题1-9图x-v J-2 Rs i n c o s 2 2=vQt-R s i n 0=R(a Rs i n d)”e ey=2 7?s i n s i n 2 2=R(1-COS。)=J?(l-C 0 S 6 )d xvx=7?69(1-C O S6X)vv=-Rs i n c a)-d/a,-R（o s i n =-*A t2 阿a =Ro）c os c ot=I，d rl-io以初速度%=2 0 m.s T抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60。的夹角，求：（1）球轨道最高点的曲率半径为；（2）落地处的曲率半径&.（提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系）解：设小球所作抛物线轨道如题1-1 0图所示.题1-1 0图（1）在最W j点，V =v0 c o s 60=g =1 0 m s 又,，*在落地点,而P -%=1 0 mV|an,=P(2 0 x c o s 600)21 0眩=%=2 0 m.s-1a”=g xc o s 60(20)2-o u m an 1 0 x c o s 60 21-1 1飞轮半径为0.4 m,自静止启动，其角加速度为 =0.2r a d s _2,求，=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.当，=2 s 时 ,(D (3t=0.2 x 2 =0.4 r a d -s-1则 v =Re o=0.4 x 0.4 =0.1 6 m -s-an=Re o2=0.4 x(0.4)2=0.0 64 m.s-2aT=R/3 0.4 x 0.2 =0.0 8 m.s-2a=亚+=,(0.064)2+(0.08)2=0 i0 2 m.s-21-1 2如题1 2图，物体/以相对3的速度丫=历沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时Z在斜面顶端高为处，8物体以匀速向右运动,求Z物滑到地面时的速度.解：当滑至斜面底时，=则=屈，力物运动过程中又受到8的1-13 一船以速率匕=30km力沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率匕=40km h 1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何？解：(1)大船看小艇,则有%=%-E,依题意作速度矢量图如题1-13图(a)由图可知 V2I=7vi2+v2 =50km h0-arctan=arctan =36.87方向北偏西%4小船看大船，则有江=片-%,依题意作出速度矢量图如题1-13图 ，同上法，得vi2=50 km h-1方向南偏东36.871-1 4当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为8 m-s1,求轮船的速率.解：依题意作出矢量图如题1 T 4所示.船地题 1-1 4 图 雨 船=让雨一/船雨 雨 船+船由图中比例关系可知n船=丫 雨=8m-sT习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为町的物体，另一边穿在质量为巧的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度。下滑，求叫，叫相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力（绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计）.解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为卬，其对于啊则为牵连加速度，又知外对绳子的相对加速度为，故丐对地加速度，由图 可 知，为a2=a1-a/又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力/在数值上等于绳的张力T,由牛顿定律，有mg-T =mxaT -m、g =m2a 2联立、式，得a_ （加 1-m2）g +=+；m2_ （加 ai =；mx+/2f=T =町-2（2 g 一，）mx+m2讨 论（1）若，=0,贝 I J=%表示柱体与绳之间无相对滑动.若 a =2 g,则7 =/=。，表示柱体与绳之间无任何作用力,此时如，丐均作自由落体运动.Ta2t|mxgm2g（b）题 2-1图2-2 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾 角 为 上 以 初 速度%运动，%的方向与斜面底边的水平线平行，如图所示，求这质点的运动轨道.解：物体置于斜面上受到重力宿，斜面支持力N.建立坐标：取环方向为x 轴，平行斜面与x 轴垂直方向为y轴.如图2-2.题 2-2图X 方 向：丫 方 向：t=0时Fx=0 x=vatFv=mg sin a-max歹 二01 2y=-gsmcavv=0由、式消去/,得y=1 Tgs ina x 22%2-3 质量为16 k g 的质点在x。），平面内运动，受一恒力作用，力的分量为人=6 N,A=-7 N,当，=0 时，=0,匕=-2 m s。=0.求当，=2 s时质点的（1）位矢；（2）速度.解:afyy=mm-716 8=ms16匕=匕o+Jc 3 ca dt 2 H x 2A89 m-s-4A-7，=。+1%力=而*2于是质点在2 s 时的速度一 5-7-v=i/4 878m-s-1产=(%/+g生/)f1 3-1 -7 -=(_2X2+-XX4)/+-(-)X4J2 o 2 1 o13.7 r一i i m4 82-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力后(左为常数)作用，上0时质点的速度为%,证明(1)Z时刻的速度为u =%e;(2)由0 至 I J，的时间内经过的距离为x=(左)1-；(3)停止运动前经过的距离为 _当 加/左时速度减至总的e,式中加为质点的质量.kv dva-=答：m d/分离变量，得dv _-kdtv mp dv _.一 kdt即*2 4yo=尸 co联立、得陛（M+%取N叫 M.M+-prmat 2-25飞轮的质量加=6 0k g,半径R=0.25 m,绕其水平中心轴。转动,转速为9 00r e v ,min现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向 的 制 动 力 可 使 飞 轮 减 速.已 知 闸 杆 的 尺 寸 如 题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求：（1）设厂=100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转？（2）如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力产？解：（1）先作闸杆和飞轮的受力分析图（如图（b）.图中N、”是正压力，工、耳是摩擦力，工和心是杆在力点转轴处所受支承力，R是轮的重力，。是轮在。轴处所受支承力.题 2-25 图(a)杆处于静止状态，所 以 对 4 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有F(/,+7,)-=0 Nf=-F对 飞 轮，按转动定律有夕=一工尺/,式中负号表示/与角速度。方向相反.Fr=iNN=N又 Fr=W=J；。FI=mR2,23=F,R=-2川 +1。niRlF以E=100 N 等代入上式，得B=-2x0.40 x(0.50+0.75)40 _2-X100=-rads60 x0.25x0.503由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为g 900 x2)x3“t=-=-=7.06 s/3 60 x40这段时间内飞轮的角位移为“(b =(O1 0,900 x21 9 1 40 z9 x2nt+-B t-X-7T x x(-)2 60 4 2 3 4=53.1x2 rad可知在这段时间里，飞轮转了 53.1转.27r 900 x rad*s 1(2)60,要求飞轮转速在/=2 s 内减少一半，可知A 2 g g 15 x-2B=-.=-=-radst It 2用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为F _ mRip_ 6 0 x 0.2 5 x 0.5 0 x 1 5%-2 x 0.4 0 x(0.5 0 +0.7 5)x 2=1 7 7 N2-2 6固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴。转动.设大小圆柱体的半径分别为火和厂，质量分别为M和加.绕在两柱体上的细绳分别与物体必和叫相连，叫和叫则挂在圆柱体的两侧，如题 2-2 6 图所示.设火=0.2 0 m,r=0.1 0 m,?=4 k g,M=1 0 kg,外=%=2 k g,且开始时叫，吗离地均为=2m.求：(1)柱体转动时的角加速度；两侧细绳的张力.解：设6,阴和B分别为回，叫和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b).题 2-2 6 (a)图(1)町，加2和柱体的运动方程如下:T2-m2g m2a2mg-T=mAaT,R-Tr=l/3式中 T；=T、,T；=邛=R01 ,1 ,I=-M R2+-m r2而2 2题 2-2 6 (b)图由上式求得c Rm】-rm,=-T gI+mR+m2r0.2 x 2 0.1 x 2 c0=1 i x 9.8-x l O x O.2 02+-x 4 x 0.1 02+2 x 0.2 02+2 x 0.1 022 2=6.1 3 r ad s-2由式T2-m2rP+/2 g =2 x 0.1 0 x 6.1 3 +2 x 9.8 =2 0.8 N由式Tx=mg mxRp-2 x 9.8 2 x 0.2.x 6.1 3 =1 7.1 N2-2 7计算题2-2 7图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为“，半径为，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设叫=5 0 kg,%=2 0 0 k g/=1 5k g,r=0.1 m解：分别以犯，性滑轮为研究对象，受力图如图(b)所 示.对 性 运用牛顿定律，有m2g-T2=m2a(=叫 l l 一 1对滑轮运用转动定律，有又，联立以上4个方程，得一啊gA加1+机)H-2 21，.(a)题 2-2 7 (a)图收/、/I!V1!/-=(；%2)夕 a=R 尸 2 0 0 X 9.：“6 mH1 1 55 +2 0 0 +上由2/(0.L L Jm 21 Ti 6 2 g(b)题 2-2 7(b)图题 2-2 8 图2-2 8 如题2-2 8 图所示，一匀质细杆质量为机，长为/,可绕过一端。的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下.求：初始时刻的角加速度；杆转过6 角时的角速度.解：(1)由转动定律，有mg-(2)由机械能守恒定律，有mg g sin 6=o题 2-2 9 图2-2 9 如题2-2 9 图所示，质 量 为 长 为/的 均 匀 直 棒，可绕垂直于棒一端的水平轴。无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上.现有一质量为的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞.相撞后,使棒从平衡位置处摆动到最大角度6 =3 0 处.(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速%的值；相撞时小球受到多大的冲量？解：(1)设小球的初速度为%,棒经小球碰撞后得到的初角速度为0,而小球的速度变为v,按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：mvol-Ia)+mvl mvl=Ia)2+mv22 2 2 上两式中 3 ,碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移;碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度8=30,按机械能守恒定律可列式:cos30。)由式得2a)=22-cos30)由式IC O由式V=%7ml2 2 I苏v=vn-所以求得0m/1(0、,2 1 2(vo-；)-=%-ml mla)Z1/、/Z 1 I M、%=?(l+f)=8(1+1一汝2 ml 2 3 m_ 6(2 _ 用+Af r-：12in(2)相碰时小球受到的冲量为j F d/=mv=mv mv由式求得/O 1 A”J r dZ =mv-mvG=-M l co76(2-A/3)A/6负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度。转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为机的碎片从轮的边缘上飞出,见题2-30图.假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上.(1)问它能升高多少？(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能.解：(1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度v0=Reo设碎片上升高度时的速度为v,则有V2=Vo -2g h令 丫 =0,可求出上升最大高度为H=-=R2(O22g 2gI =-M R2 圆 盘 的 转 动惯量 2，碎 片 抛 出 后 圆 盘 的 转 动惯量r-M R2-mR22,碎片脱离前，盘的角动量为/。，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即I c o-/仿+2%火式中为破盘的角速度.于是3MR2=(；MR2-mR2)a)+mv0R(g MR。-皿陵)=(；MR2 一 mR?)，得=0(角速度不变)圆盘余下部分的角动量为(；MR2 _mR2)转动动能为题 2-3 1 图Ek=M R2-mR2)a)22-31 一质量为加、半径为R 的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动.另一质量为外的子弹以速度射入轮缘(如题2-31图所示方向).(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值？用巴 加。和。表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比.解：(1)射入的过程对。轴的角动量守恒R s in ovo=(w +m0)R(o但二-o%s in-(m t mo)R匕（加 +%）/%sinEk _ 2 （掰+加0）火*加。%加。sin2 0m+2-32弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0N m 定滑轮的转动惯量是0.5 k g m:半径为0.30m ,问当6.0 k g质量的物体落下0.4 0m时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长.解：以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有meh,-1 mv 2+1 Ira)2 +1 k,h,22 2 2又co=v/R_ 卜2mg卜-痴记故有 V=V mR2+I_ 1(2x6.0 x9.8x0.4-2.0 x0.42)x0.32 V 6.0X0.32+0.5=2.0 m s-1题2-3 2图题2-3 3图2-3 3空心圆环可绕竖直轴Z C自由转动，如 题2-3 3图所示，其转动惯 量 为 环 半 径 为R,初始角速度为4.质量为机的小球，原来静置于“点，由于微小的干扰，小球向下滑动.设圆环内壁是光滑的，问小球滑到8点与。点时，小球相对于环的速率各为多少？解：(1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至8点时,有o =Uo+mR2)该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为力,以8点为重力势能零点，则有|w+mgR=1(70+mR-)ar+1 mv联立、两式，得VB=2gH+(2)当小球滑至。点时,故由机械能守恒，有/必次2I。+mR24 =/o/.C =3。mg(2R)=mv匕=2再请读者求出上述两种情况下，小球对地速度.习题三3-1惯性系S，相对惯性系S以速度 运动.当它们的坐标原点。与重合时，/=，=0,发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程.解：由于时间和空间都是均匀的,根据光速不变原理，光讯号为球面波.波阵面方程为：x2+y2+z2=(c f)2+y2+z,2=(c f)23-2设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为21.试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差.解：设 光 讯 号 到 达 前 门为事件1 ,在 车 厢(S )系时空坐标为(3)=(),在车站(S)系：=见+彳汇)=八，+彳/)=9(1+与C C C C C光信号到达后门为事件2,则在车厢(S )系坐标为在车站系：于是或者G -+rx；)=%(1 )C C C”=-2 咚c/=(),/=一，2，加=x；x；=21由题意则A/=7（/+=A x ）=卜（=2/）c c13-3惯性系S，相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点.在S系中测得两事件的时空坐标分别为 i=6X 1 0 m,6=2X10,以及X 2=1 2 X 1 0 m,，2=1*1 0飞.已知在 S系中测得该两事件同时发生.试问：（1）S，系相对S系的速度是多少？（2）S 系中测得的两事件的空间间隔是多少？解：设（S ）相对S的速度为乙。=/（zl-xi）ct i=/（，2 -rx2）V /、G -1 =（X2-X1）CC2=-=-1.5X108X2f 2 m-s-1x：=y（X|-%）,x；=y（x2-vt2）xr2-x =5.2 x l 04 m3-4长度4 =l m 的米尺静止于S系中，与轴的夹角夕=3 0 ,S系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为8=4 5 .试求：（l）S系和S系的相对运动速度.（2）S系中测得的米尺长度.解：（1）米尺相对S 静止，它在J 轴上的投影分别为：L =LQ CO S。=0.86 6 m,=L。s i n O =0.5 m米尺相对S沿x方向运动，设速度为v,对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而丁方向的长度不变，即故（2）由洛仑兹变换故把6 =4 5。及4，4代入则得故0.50.86 6v =0.816 cL _ Lvy _ 0 707 m 在s系中测得米尺长度为=s i n 4 5=m3-5 一门宽为。，今有一固有长度/。（/。）的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少？解：门外观测者测得杆长为运动长度，一，当时，可认为能被拉进门，则解得杆的运动速率至少为:一 二 I*-r题3-6图3-6两个惯性系中的观察者。和。以0.6 c（c表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果。测得两者的初始距离是2 0 m,则。测得两者经过多少时间相遇？解：。测得相遇时间为加ALo 2 0Ar =-=-v 0.6 cO 测得的是固有时At，Lo/1-伊/=-./U=8.89x 10%,/?=0.6c,或者，。测得长度收缩，L=o A/l-O.62=O.8Ao,A/z=-ZA I,_=O.8Zo=_ 0.8x200.6c0.6x3xl08=8.89x10-8 s3-7观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S 和S，中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为4 s,而乙测得这两个事件的时间间隔 为 5 s.求：(1)相对于S 的运动速度.(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离.解：甲测得&=4 s,烝=0,乙测得4 =5 s,坐 标 差 为=解出5 3*=一 匹4 =X cx4=-3c=-9xl08 m4 5(1)，负号表不“2 -3 6 0 0 0 m,故该乃介子能到达地球.或在左介子静止系中，乃介子是静止的.地球则以速度v接近介子,在4。时间内，地球接近的距离为/=以。=599m4=6000 m经洛仑兹收缩后的值为：4 =d（）J1 1 =379 m/4,故介子能到达地球.3-1 3设物体相对S，系沿，轴正向以0.8 c运动，如果S 系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8 c,问物体相对S系的速度是多少？解：根据速度合成定理，=S8c,%=0-8。匕+1叫0.8c 4-0.8c1 0.8cx0.8c=0.98。3-1 4飞船Z以0.8 c的速度相对地球向正东飞行，飞船8以0.6 c的速度相对地球向正西方向飞行.当两飞船即将相遇时工飞船在自己的天窗处相隔2 s发射两颗信号弹.在8飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少？解：取8为S系，地 球 为 系，自西向东为x（f）轴正向，则4对U系的速度 _OB地球 工(b)地球 工(a)题3-1 5图3-1 6静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成6 0。角的方向飞行.另一观测者静止于S，系，S，系的，轴与x轴一致，并以0.6 c的速度沿x方向运动.试问S，系中的观测者观测到的光子运动方向如何？解：S系中光子运动速度的分量为vr=c c os 6 0 =0.5 0 0 cvv=c s i n 6 0 =0.8 6 6 c由速度变换公式，光子在s 系中的速度分量为光子运动方向与x 轴的夹角丁满足t a n e =2=-0.6 9 2匕/在第二象限为夕=9 8.2。在S系中，光子的运动速度为，=收+4 正是光速不变.3-1 7 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1 c,须对它作多少功？(2)如果将电子由速率为0.8 c加速到0.9 c,又须对它作多少功？解：(1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得A Ek=Ek=me2 tnoc2=m0c2(7 1)=mQc2(r=1)F?=9.1X1 0 3 1X(3X1 08)2(-1)Vl-0.12=4.1 2X1 0-I6J=2.5 7X1 03 e V(2)怔=E%-E*、=(m2c2-moc2)-(m1c2-moc2)=9.1 x l 0-3 1 X32X1 01 6(.1-.1)Vl-0.92 Vl-0.82=5.1 4 x 1。-j =3.2 1 x 1 0 5 e V3-1 8 A子静止质量是电子静止质量的2 0 7倍,静止时的平均寿命/=2X 1 0%，若它在实验室参考系中的平均寿命”7 X 1 06s,试问其质量是电子静止质量的多少倍？解：设4子静止质量为外，相对实验室参考系的速度为打，相应T _ 品 即 =7=7质量为加，电子静止质量为人。，因 而 无 F尹 飞2由质速关系，在实验室参考系中质量为：m=m0 _ 2 0 7%m 2 0 7故%1一仍72 0 7X-=7 2 523-1 9 一物体的速度使其质量增加了 1 0%,试问此物体在运动方向上缩短了百分之几？解：设静止质量为加。，运动质量为根，由题设 =0.1 0恤由此二式得在运动方向上的长度和静长分别为/和，。，则相对收缩量为:r=审=1 -7 1T,0 I。=1-L=0.0 9 1 =9.1%1.1 03-2 0 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少？已知电子的静止质量为 9.l X 1 0 3 1k g.解：由质能关系A m _ A *_ 0.4m0 mc 1 0 0=O.4X9.1X1 O TX(3X1()8)2/I O O3.2 8 X 1 0 T6、/=3.2 8 x 1 0-1 6 j =1.6 x 1 0-e V=2 0 1 0 3 eV所需电势差为2 0 x 1 0 3伏特由质速公式有：=也=%=m m0+A m i+加7 +。.4 1.0 0 41 0 0仍=g)2 =_(J)2 =7 9 5X I O-3c 1.0 0 4故电子速度为 v =%=2.7 x l 0 7 m-s3-2 1 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能4=2.8 X l()9 e V.这种电子速率比光速差多少？这样的一个电子动量是多大？（与电子静止质量相应的能量为o=O.5 1 1 X 1 06e V）所以 V c2 +Ek/mac2 Ek+m.c2由上式，v=)2 moc2+Ek=c71-(O.51xlO6)2/(O.511xlO6+2.8X109)2=2.9979245 xl08m-s-1c-v =2.997924580 x108 m-s-1-2.9979245xl08=8 m s-1由动量能量关系E：P泞+啮o可得 _J.?%4 yl(Ek+moc2)2-tnoC4+2Ekmoc2=（2.82xlO8+2x2.8xlO9xO.511xlO6）xl.62xlO-38i/3xlOii=L49X10T8 kg.m J3-2 2氢原子的同位素笊CH）和旅（：H）在高温条件下发生聚变反应，产生氮（；H e）原子核和一个中子C n）,并释放出大量能量，其反应方程为；H +.H H e +on 已知气核的静止质量为2.0 1 3 5原子质量单位（1原子质量单位=1.6 0 0 X 1 0 k g）,旅核和氢核及中子的质量分别为3.0 1 5 5,4.0 0 1 5,1.0 0 8 6 5原子质量单位.求上述聚变反应释放出来的能量.解：反应前总质量为2创35+3.0155=5.0290 amu反应后总质量为 4.0015+1.0087=5.0102 amu质量亏损=5.0290-5.0102=0.0188 amu=3.12x10-29 k g由 质 能 关 系 得 小=加 =3.12x10-29x（3x1（）8）2=2.81x10-21 j=1 75x10,eV3-2 3 一静止质量为人的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6 c和0.8 c.求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能.解：孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损.设裂变产生两个粒子的静质量分别为犯。和吗。，其相应的速度V,=0.6c v2=0.8c由于孤W系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能（质）量守恒定律，所以有注意班和性必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以=0-6c,匕=0-8。代入，将上二方程化为：6 8 m208 10 6 20,0.8 0.6 上二式联立求解可得：叫。=0.459根 o m2Q=0.257加 0故静质量亏损利=%一（叫。+%。）=0-284相。由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为0.284%。23-2 4有N ,3两个静止质量都是加。的粒子，分别以h=v，匕=-丫的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子.求碰撞后粒子的速度和静止质量.解：在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别叫和吗，碰撞后粒子的质量为M、速度为J于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：mvx+m 2y2 =MV由于代入式得m=M2/M +m2-j-,即为碰撞后静止质量.3-2 5试估计地球、太阳的史瓦西半径.解：史瓦西半径地球：2GMA/6 xl 02 4 k g则：太阳:2 x6.7 x1 0-x6 xl 02 4(3 x1 0)=8.9 x1 0-3m=2 x1 0 3。k g2 x6.7 xl O-,x2 xl O3 0“1 a 3rv=-=3 x1 0则：(3 X 1 0)m3-26典型中子星的质量与太阳质量M。=2*1 0喙8同数量级，半径约为1 0 k m.若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那 么 大 小 的 微 黑 洞 质 量 是 什 么 数 量 级？解：史瓦西半径与太阳的相同，3 x1 0 3 n l(2)rv =1 0-1 5 c m =1 0-i 7 m2GM由【丁二心凶察=6.7X%得 2 G 2 x6.7 x1 0 k g3-2 7简述广义相对论的基本原理和实验验证.解:广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理.等效原理又分为弱等效原理和强等效原理.弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效.强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效.广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同.广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等.习题四4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；如 题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短).7 7 7 7 7“题 4-1 图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用.或者说，若一个系统的运动微分方程能用d r描述时，其所作的运动就是谐振动.(1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力.(2)小球在题4T图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动.显 然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点而小球在运动中的回复力为-?g s i n d,如 题 4T图(b)所示.题 中 所 述，S R,故。=竺 一 0,所以回复力为-摩。.式中R负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在。点附近的往复运动中所受回复力为线性的.若以小球为对象，则小球在以。为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有mR 4=-mg 6d/2令则有出 2八-+a)-=0d/一4-2 劲度系数为占和左2 的两根弹簧，与质量为例的小球按题4-2 图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期.(a)解：(1)图(a)中为串联弹簧,(b)题 4-2 图对于轻弹簧在任一时刻应有尸=片=F2,设串联弹簧的等效倔强系数为K 串等效位移为x,则有F =-k xF =-kxF2=-k2x2又有X =x,+x2一 F _F F?j 2所以串联弹簧的等效倔强系数为 k/z串 kx+k2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为左=秘2 /的+左2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动.其振动周期为7 =如=2兀 叵=2兀 匹 迈 Y%串 V h h(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F =F 1=F 2,即x =xI=x2,设并联弹簧的倔强系数为人并，则有k x =kxxx+k2x2故 左 并=kt+k2同上理，其振动周期为7=2国1、左 I+七4-3如题4-3 图所示，物体的质量为加，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为6,弹簧的倔强系数为人滑轮的转动惯量为/,半径为R.先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期.题 4-3 图解：分别以物体加和滑轮为对象