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第 十 一 章 全等三角形 1 1.1 全等三角形.1 1.2 三角形全等的判定.网读与思考 全等与全等三角形 1 1.3 角的平分线的性质.数学活动.小 结.复习题11.第 十 二 章 轴对称 12.1 轴 对 称.*.1 2.2 作轴对称图形.信息技术应用探索轴对称的性质 1 2.3 等 腰 三 角 形.实验与探究三角形中边与角之间的不 等 关 系.数学活动.小 结.复习题12.第 十 三 章 实 数 1 3.1 平 方 根.1 3.2 立 方 根.1 3.3 实数.阅读与思考为什么说不是有理数数学活动.小 结.第 十 四 章 一次函数 14.1变量与函数.94信息技术应用 用计算机画函数图象108 14.2 一 次 函 数.110阅读与思考科学家如何测算地球的 年 龄.121 1 4.3用函数观点看方程（组）与 不 等 式 123 1 4.4课题学习 选择方案.131数学活动.135小 结.136复习题14.137第 十 五 章 整式的乘除与因式分解 1 5.1整式的乘法.141 1 5.2乘法公式.151阅 读 与 思 考 杨 辉 三 角.157 15.3 整式的除法.159 15.4 因式分解.165观 察 与 猜 得 +力+如 工+加 型式子的因式分解.172数学活动.173小 结.174复习题15.175部分中英文词汇索引.177全等三角形下面的例子里都有形状、大小相同的图形.把一块三角板按在纸板上，画下图形,照图形截下来的纸板和三角板形状、大小完全一样吗？把三角板和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？可以看到,形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等 形(c o ng r u e nt l i g u r e s).能够完全重合的两个三角形叫做宇 善 三 弟 形(c o ng r u e nt t r i a ng l e s).2 I第十一章全等三角形在 图11.1-1中，把ABC沿直或BC平移，得到在 图11.1-2中，把ZvlBC沿直线B C翻 折180,得到DBC.在 图11.1-3中，把ABC旋 转180,得到AEQ.一个图形经过平移、痛折、旋转后,位置变了，但形状、大小都没有改 变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.把两个全等的三角形重合到一 起.重合的顶点叫做对应顶点.重合的边叫做对应 边.重合的角叫做对应 角.例如，图11.1-1中的aA B C和D EF全 等.记 作ABCM ADEF,其中点八和点D，点B和点E,点C和点F是对应顶点;A B和DE,B C和EF,A C和D F是对应边;/八 和N D.Z B和/E,N C和N F是对应角.慝 套“全 干”用“42”表示，读 作“全等于”.记两个三年影全等时.通常把表示对应顶点的字母写在对应的位J t上 例知.图11.1-2中的ABC和D0C全年，点A和点D.点B和点B,A C和点C是 对 应 顶 点.记 作ABC 必 DBC.图11.1-1中，A A B g A D E F,对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形有这样的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.第十一，全等三角形 3练习1.在国图1113中.说出其中两个全等三焦影的时衣边,对应第2.如图.3 A 9 A 0 B D,C 和 B.A 和 D 是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和乐I习 题、复习巩固I.如图,AABCaACDA.A B和CD.B C D A是对应边.写出其 对应边及对应角.B M N C(M 1W (第2期2.如图,A A B N-C M.N B和/C是对应角.A B与A C是对应边.写出其对应边及对应角.综合运用3.如下页图.AEFG23ANMH./F和N M是对应角.在EFG中.FG是最长边.在NMH 中.MH 会 长 边.E F=2.1 cm.E H=1.1 cm.HN=3.3 cm.(1)写出其对应边及对应角.(2)求线段N M及线段H G的长度.4 第十一章全等三角形M（M3M）拓广探索 如图，2ABCi2ADEC.CA 和 CD.CE 和 C E 是对应边.口NACD和/B C E相等吗？为什么？第十一，全等三角形 5我 们 知 道,如 果 那 么 它 们 的 对 应 边 相 等,对 应 角 相 等.反过来,如果 （：与八BC满足三条边对应相等.三个角对应相等，即ABAB,B C-B C,ChC N、ZA-ZAS ZB-ZB.NC这六个条件，就能保证ABC四/VBC（图 11.2-1）.如果ABC与A BC 满足上述六个条件中的一部分,那么能否保证八BC与ABC全等呢？图】1.2 1本节我们就来讨论这个问题.先 任 意 国 出 一 个A B C.再i一 个/v r B C,使A A B C与/TBC满 足 上 述 六 个 条 件 中 的 一 个 或 两 个.你 画 出 的A B C 与ABC一定全等吗？通过画图可以发现，满 足 上 述 六 个 条 件 中 的 一 个 或 两 个，zM BC与/TBC不 一 定 全 等.满 足 上 述 六 个 条 件 中 的 三 个，能 保 证/M B C与/TBC全等吗？我们分情况进行讨论.先任意国出一个ZVIBC再画一个A B C,使AB-AB,B,C,-BC,C A-C A.把画好的ABC剪下，放到ZViBC上，它们全等吗？6 I第十一章全等三角形图】1.2 2画一个 B C,使 A B=A B.AC=AC,BC=BC：1.画线段 BC=BC；2.分别以B.U为 画,线段AB.AC为半径面弧,两弧交于点A.3,连接线段AB.AC.图 11.2-2给出了画ZV IB C 的方法.你是这样画的吗？探 究 2 的结果反映了什么规律？由探究2 可以得到判定两个三角形全等的一个方法：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或 SSS”).我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了.就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小 就确定了.这里就用到上面的结论.用上面的结论可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.例 1如 图 11.2-3,ZVIBC是一个钢架，A BAC,A D是 连 接 点 八 与 B C 中 点D的 支 架.求 证ABDAACD.分所：要证八B D S 八C D,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.证明：；。是 B C 的中点，B D-C D.在A B D 和八C D 中，A B-A C,A=ND10 I弟十一拿全等三角形先 任 意 画 出 一 个 AB C.再画一个八B C,使 A B AB,/人 一/八，Z Bz-Z B （即使两角和它们的夹边对应相等）.把画好的zM B C 剪下，放到 ABC上，它们全等吗？图 11.2 8画 一 个 徵 为 七.使AB=AB.NA=ZA.NB=NB：1.画 AB=AB；2.在 A B 的同旁画 NDA B=NA.AD.BE 交于点 C.图 11.2-8给出了画/八缶七 的方法.你是这样画的吗？探 究 5 的结果反映 了什么规律？由探究5可以得到判定两个三角形全等的一个方法：两盆和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简 写 成“角边角”或“ASA”）.在 AABC 和DEF 中，N A-/D.N B-/E,B C-EF（图 11.2-9）,AABC与 四 全等吗？能利用角边角证明你的结论吗？图 1L2 9根据已知条件，如果能证明N C-/F,就可以 利 用“角边角”证明ZiABC第十一，全等三角形11与ZDEF全 等.由“三角形三个内角的和等于180”可以证明N C-N F.证明：在ABC 中，/八+N B+/C 180,/.Z C-180-Z A-Z B.同理 N F-180N D NE.又 N A-/D,N B-/E,:.N C-/F.在zM BC和中，N B-N E,BC-E F,N C-N F,，八 B DEF(ASA).因此，我们可以得到下面的结论：两个角加其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“由角边”或“AAS”).例3 如 图11.2-10,D在AB上，E在AC上，ABAC,Z B-Z G 求证 AD-AE.分 析 如果能证明ACDRAABE.就可以得出入D-AE.证明：在八8 与ABE中，图 11.2 10Z A-Z A (公共角),M C-A B.Z C-Z B./.AACDTAABE(ASA).:.AD-AE.三角对应相等的两个三角形全等吗？解答上述问题后把三角形全等的判定方法做一个小结.12 I第十一章 全等三角形壬m m-R练习1.扣困.要测量池墉两片相对的两点A.B的距高.可以在AB的垂或BF上取两点C.D.it BC=CD.再曲出BF的垂线DE.使E与A.C在一条jl钱上,这时测得DE的长就是AB的长.为什么？I M（第 2 8p2.心图.ABIBC.ADDC.Zl=/2.求证 AB=AD.对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，迁要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？由三角形全等的条件可知.对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等.或两直前边对应相等，这两个直角三角形就全等了.如果满足斜边和一条直角边对应相等.这两个直角三角形全等吗？8任意画出一个RtzMBC.使NC90.再画一小 RtZvTBC,使/C_90,BV-BC,八B_AB.把国好的RtzMBC剪下，放到RtzMBC上,它们全等吗？三.第形用Rt 表示.第十一，全等三角形|13画一个 R tA A B C,使 BC=BC,A B=AB；1.iSZMC,N=90,.2.在射线C M上取BC=BC.3.以B 为 圆,A B为半径画弧，交射线CN于点A.4.连接 AB.图 11.2-11给出了画区1 缶（：的方法.你是这样画的吗？探究8 的结果反映了什么规律？由探究8 可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：到边刃一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.例 4 如图 11.2-12,ACBC,BD AD,A C-B D.求证BC-AD.证明：；ACBC,BD1AD,:.N C 与/D 都是直角.在 RtZiABC 和 RtABAD 中.jAB-BA,IAC-BD,：.RtAABCRtABAD(HL).BC-%AD.壬umr练习】.如 困.C是路段A B的中点,两，人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D.E两地.DA A B.EB A B.D,E与珞段A B的距离相等吗？为什么？(第 2M2.扣留，A B=C D.A E I B C,D F B C,C E=B F.求证AE=DF.14 I弟+一章全等三角形复习巩固I.如田.AB=AD.CB=CD.AABC与 以 叱 全 等 吗？为什么？（第1班）2.如图，C 是 AB 的中点.A D=C E.C D=B E.求证ACDZiCBE，如图,AB=AC.A D=A E.求证N B=/C.（第 4则）&如图,把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡帝）.在图中.要测量工件内槽宽,只要测量什么？为什么？5.如图.N】=N2.N 3=N*求证AC=AD.6.如图.从C 地看A.B 两地的视角N C 是粒角,从C地到A.B 两地的距离相等.A 到路段B C的距离A D 与B 到路段AC的距离B E相等吗？为什么？第十一，全等三角形|157.如 图.AABC 中，AB=AC.AD 是高.求证(1)BD=CD；(2)ZBAD=ZCAD.S.如 图.ACCB.DBCB.AB=D C.求证NABD=NACD.综合运用。如图.点 B.E.C.F在一条直线上.AB=DE.AC=DF.B E=C F.求证NA=ND.HI.如图，AC 和 BD 相交于点。,O A=O C.O B=O D.求证 DCAB.拓广探索11.如图点 B.F.C.E 在一条直线上，F B =CE.A B/ED.A C/F D.求证AB=DE.AC=DF.16 第十一章全等三角形12.如上页图，D是A B上一点，D F交A C于点E.DE=FE.FC/AB.A E与C E有 什 么 关？证明你的结论.13.如困.在 回（：中,A B=A C,点D是BC的中点，点E在A D上.找出图中的全等三角形，并说明它们为什么全（第 130）第十一，全等三角形17阅读与思考选学全等与全等三角形小明；全 等 是“一模一样”“完全相等 的意思吗？老师；不考虑图彩的位又时，可以这么理解.在几何学中,我们从形状、大小的Jjj度描述全年的图影.即把影状和大小完全相同的图形叫做全等形.全年形还有其他的定义方式,如教科书是利用“能够完全篁合”定义全年形的.小明I全等是几何学中的篁要概念吗？老师：是的.几何学是研究图影的影状、大小和位置关系的学科.全等涉及其中的两个方面.在今后的学习中,你会发现几何中许多问题都诙自全等问题，许多重要概念都是在全等概念的基础上产生的.小明，为什么我们支点学习全等三角形呢？老师：我们已经知道三角彩是最篇单的多边彩,而反任意多边影募可以分解为若干个三角形.所以我们以全等三角影作为我体学习全等的知识,由此还可以方便地推广到其他多边形的全孝问题.小明,你能说说我们是从哪两个方面研究金年三角彩的吗？小明，全年三龟形的姓质和三角形全年的列定.老师：对.这也是研究一般的全等形的两个方面.利用全等三角形的性质,可以证明或段相等或角相等,利用三角形全等的判定方法,可以证明两个三窗形是全等三角形.在实陆应用中，我们常把它们梏合起来使用，如先证明两个三角彩殳等，再进一步得出它们的对应边或对应角相等.18 I第十一章 全等三角形图11.3-1是一个平分角的仪器,其中AB-A D,B C-D C.将点A 放在角的顶点，A B 和 AD沿着角的两边放下，沿A C 画一条射境八E.A E 就是 的 平 分 堆.你 能 说 明 它 的 遒 理 吗？Effl 11.3 1由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法.已知：ZAOB.求作：N八 0 8 的平分线.作法：(1)以。为 圆，适当长为半径面弧,交 0八于M,交O B于N.(2)分别以M,N 为 圆，大于a M N 的长为半径画弧，两弧在/八0 B 的内部交于点C.(3)画射线0 C.射线0C 即为所求(图11.3-2).图 11.3 2i练习平分平角N A 0B 通过上面的步霁得到射或0 C 以后.把它反向延长得到直钱.C D.立成CD与玄段A B 是什么关系？第十一，全等三角形19如 图11.3-3,将/八OB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？图 11.3 3可以看出，第一条折痕是二八0B的平分线8,第二次折叠形成的两条圻痕是角的平分线上一点到NAOB两边的距离，这两个距离相等.由此我们得到角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的型离相等.下面，我们利用三角形全等证明这个性质.首先.要分清其中的“已知”和“求 证 二 显 然,已 知 为“一个点在一个角的平分线上“，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”.为 了 更 直 观、清楚地表达题意,我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.如图 11.3-4,Z/kOC-ZBO C,点 P 在。C 上，/PD OA,P E O B,垂足分别为点D,E求 证PD-PE.2(证明：PD OA,PE1.OB,/.NPDO_NPEO_90。./-1-B在PDO和aPE O中，NPDO-NPEO,NAOC-/BOC,O P-O P,：.APE)OAPEO(AAS).P D-P E.20 I第十一章全等三角形一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时.会按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证：2.根据题意.画出图形，并用数学符号表示已知和求证：3.经过分析，找出由已知推出求证的途径.写出证明过程.如 图 1 1.3-5,要 在 S 区建一个集贸市场.使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置,比例尺为1，20 000）?ffill.3 5我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线根据上述结论,就知道这个集贸市场应建于何处了.例 如 图 11.3-6,ABC的角平分线BM,C N 相 3Pt交于点P.求证：点 P 到三边A B.BC,C A 的距离相等.审 片证明：过 点 P 作 PD,PE,P F 分别垂直于AB,困”.36BC.C A,垂足为 D,E,F.是 回，的角平分线，点 P 在 BM上，想 一 想.点 P 在PD-PE./A 的平分线上吗？这同 理PE-PF.说明三角形的三条府平PD-PE-PF.忿州什么关系？即 点P到三边A B,BC,CA的距离相等.第十 一，全等三角形21练习心图.ABC的/B的外角的平分货B D与/C的外角的平分跷CE相交于点P.求证：点P到三边A B.BC.CA所在直及的龙离相等.卜 憾 3复习巩固1.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的NAOB的两边上,分别取0M=O N,再分别过点M.N作0A0B的垂线.交点为F.画射线O P,则OF平分2 .AABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD.DEJ_A B.DF A C.垂足分别为E,F.求证EB=FC3.如 图.CDJ_A B.B E A C.垂足分别为D,E,BE.C D相交于点O,O B=O Q 求证N l=/2.2 2 I第十一章 全等三角形综合运用4.如图.AABC中.AD是它的角平分线，尸是A D上的一点,PEAB交BC于E.FF AC交BC于F.求证；力到PE的距离与D到P F的距离相等.5.如图.8 是/A Q B的平分线，P是0C上的一点，PDJ_QA交Q 4于D.PEOB交OB于E.F是0C上的另一点,连接DF.E F.求证DF=EF.拓广探索如图.A D是aABC的角平分线,DEJ_AB,DFAC.垂足分别是E.F.连接EF.EF与A D交于G.AD与EF垂直吗？证明你的结论.6)第十一，全等三角形23活 动 1下图是两个根据全等形设计的图案.仔细观察一下,每个图案中有哪些全等形？有几种全等三角形？注意一下你的身边，哪些是全等形？哪些是全等三角形？各找几个例子与同学交流.活 动 2蒯量旗杆的高度操 场 上 有 一 根 樵 杆.你能利用一些简易工具，根据全等三角形的有关知识，测量出旗杆的高吗？H24 I第十一章全等三角形小 结一、本章知识结构图二、回顾与思考1.举一些全等形的实际例子.全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？2.一个三角形有三条边、三个角.从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？哪些是不能够判定的？3.学习本章内容，可以解决一些实际问黑，例如长度与角度的度量问题,就是从全等三角形对应边相等、对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果.4.学了本章，你时角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？5.你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？第十一，全等三角形 25复习巩固I如图,其中含有三个正方形图中有几种全等三角形？每种各有几个？2.如图.在长方形ABCD中,AF_LBD于E.交BC于F.连接DF.(1)图中有全等三角形吗？(2)图中有面积相等但不全等的三角形吗？如 图,C D=C A.Z 1=Z 2.E C=B C.lvEDE=AB.3)-!如图.海岸上有A,B两个观测点,点B在点A的正东方.海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C,D的视角NCAD与从观测 点B看海岛C.D的视角NCBD相等.那么海岛C.D到观测点A,B所在海岸的电离相等.为什么？s.如图.在ABC中,D是BC的中点，DE AB.D F A C,垂足分别是E.F,B E=C F.求证AD是ZkABC的角平分线.26 第十一章全等三角形如上页图,为了促进当她旅游发屣，某地要在三条公路圉成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度展村到三条公路的距离相等,应在何处修建？综合运 用 口7.如图，两车从路段A.B的两端同时出发,以相同的速度行驶,相同时间后分别到达C.D两地,两车行进的路浅平行,那么C,D两地到路段A B的距离相等吗？为什么？X.如图,AB=DE,AC=DF,BE=C F.求证ABDE.AC/DF.9.如图.ZACB=90 AC=BC.BECE.AD_LCE 于 D.AD=2.5 an.DE=1.7 a n.求BE的长.拓广探索ll.如图.ABCgAABC,AD.AD分别是ZSBC.B C 的对应边上的中线.AD与AD有 什 么 关？证明你的结论.11.如图.AABC中.AD是它的角平分线.求证Sa ：S =A B 12.证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等.（提示：首先分清已知和求证.然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）第十一，全等三角形|27-第十二章轴对称我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑.自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性对称给我们带来多少美的感受！轴对称是对称中重要的一种.这一章，我们将从生活中的对称出发，研究几何图形的轴对称，并进一步利用轴对称来研究等腰三角形的性质.让我们一起走进轴对称世界.探索它的秘密吧！对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品,人们都可以找到对称的例子（图1 2.1-1）.图 12*1 1如 图1 2.1-2,把一张纸对折，剪出一个图 案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花.观察得到的窗花和图1 2.1-1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？像窗花一样，如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 轴 对 称 图 形（s y m m et r i c fi g u r e）,这条直线就是它的冷以 轴（ax i s o f s y m m et r y）.这 条 直 线（成轴）对称.S 12.1 2这 时.我 们 说 这 个 图 形 关 于第十二轴 对 称|29练习下面的国影是轴对称图形吗?如果是.指出它的对称轴.下面的每对图形有什么共同特点？图 12.1 3图12.1-3中的每一对图形，如果沿着虚线折叠,左边的图形能与右边的图形重合.像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠.如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条亘线对林，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应 点 叫 做 对 称 点(symmetric points).你能再举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？30 I第十二*他对麻成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称困形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形时称吗？把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.练习下面给出的每幡图形中的两个图案是柚对称的吗？如果是.试号找出它们的对称轴,并找出一时对称点.喜 喜FF习尸了注(D (3)(4)如 图12.1-4,A4BC和ABC 关于直线M N对称，点八，B C分 别 是 点A.B.C的对称点，或 段AA,BBr,CC与直发M N有什么关系？图12.1-4中，点 八，八 是对称点，设 八 八 交 对 称 轴M N于 点P.将八BC和ABC沿M N折 叠 后，点八与八 重合.于是有第 十 二*轴 对 称|31AP-PAf,N M P A-N M P A -9 0 .对于其 的对应点，如点B,B ；点、C,C 有类似的情况.因此，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的亘直1 分浅(p er p endi cu lar bi s ect o r).这样，我们就得到图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分或.类 似 地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的黎宜平分线.例如图1 2.1-5 中，,垂直平分.I垂直平分.，垂直平分.aA I 才 Jw可以发现，点 P i，P z，P s，到点八的距离与它们到点B 的距翦分别相等.如 果 把 线 段 AB沿 直 线/对 折，线 段 P八 与 PI、线 段 P 2 八 与 AB、线段 P 3 A 与 P aB 都是重合的,因此它们 分别相等.由此我们可以得出线段垂直平分线的性质：32 第十二，他对麻线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，可以证明这个性质.如 图12.1-7,直 线l A B,垂 足 是C,A C-C B,点P在/上.求 证P A-P B.证明：ZAB,/IZ.PCA-Z.PCB.又 A C-C B.P C-P C,/：.APCAS2APCB(SAS).4 e一P PB.图 1217反 过 来.如 果P A-P B.那么点P是否在线段/IB的垂直平分线上呢?8 5如 图12.1-8,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，筋”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？图 12.1 8通过探究可以得到：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.保修证明这个结论吗9从上面两个结论可以看出：在 线 段A B的垂直平分线/上的点与八，B的距离都相等；反过来,与两点八.B的距离相等的点都在,上，所以直线/可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.第十二轴 对 称|33+不/不痔汜生不MHys;练习1.扣 图.A D 1 B C.B D=D C,点 C 在A E 的垂j t 平分戏上,A B.A C.CE的长2.如图.AB=AC.M B=M C.贪钱,A M 是戏段B C 的垂直平分货吗？有时我们感觉两个平面图形是轴对称的,如何验证呢？不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此.我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线.就可以得到这两个图形的对称轴.例 如 图12.1-9(1),点 八 和 点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗？冷电8X()(2)图 1Z1 9分析：我们只要连接点八和点B,国出线段八B的垂直平分战，就可以得34 I 第十二，粕对麻这个作法实除上就是效,我垂直平分姓的尺视作图.我们也可以用这种方法碗定/段的中点.到点八和点B的对称轴.而由两点确定一条直线和线段垂直平分战的性质.只要作出到点八，B距离相等的两点即可.作法：如图1 2.1-9(2).(1)分别以点八，B为 圆，以大于AB的长为半径作弧(想一想为什么)，两弧相交于c,D两点；(2)作直线C D.CD即为所求的直线.同样.对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.例如，对于图1 2.1-1 0的五角星.我们可以找出它的一对对应点八和A,连接八A ,作出线段八八 的垂直平分线/，贝 就是这个五角星的一条对称轴.类似地，你能作出这个五角星的其对称轴吗?练习1.作出下列图形的一条时称轴.和网学比校一下.你们作出的时称轴一样吗?O 口(第】18 v2.如 图，南是轴时称图形吗？如果是,它的对称轴是什么？X X3.如图.(M2)BA(第3期)与图形A成轴对称的是哪个图形？族出它们的对称轴.第 十 二 轴 对 舜I 3 5习题2.复习巩固i.下面的图形是轴对称困形吗？如果是,你能画出它的对称物吗？-图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴时称？整个图形是轴对称图形吗？它共有（第 218）（M3H）（如 图.ZiABC和 B C 关于直线/对称,根据图中的条件,求NABC的度数和A B的长.!.如 图,ABC和ABC关于直线/对称，这两个三角形全等吗？如果ABCgA B C,那么ABC和七 一定关于某条直线/对称吗？36 I第 十 二 他 对 教S.如上页图，AABC中，DE是A C 的垂直平分线，A E=3 an.ZABD的周长为1 3 a n,求必氏的周长.综合运用配 下列各图形是轴对称图形吗？如果是.画出它们的一条对称物.（第6题）7.平面内两条相交直浅是轴对称图形吗？如果是.它有几条对称输？画画看.X.如图所示的虚线中,哪些是图形的对称抽？（第 8 0）（第 9如图,某地由于居民增多.要在公路边增加一个公共汽车站，A.B 是路边两个新建小区.这个公共汽车站建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长？lit.如第4 题图,A B C 和七七 关于直线/对称.延长对应线段A B 和A B,两条延长线相交吗？交点与对称柏/有什么关？延长其 对应线段呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？拓广探索H.电信部门要修建一座电视信号发射塔.如下页图,按照设计要求,发射塔到两个第十二轴对称|37城镇A.B的距离 须相等.到两条高速公路m和”的距离 须相等.发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.mn 理)12.如 图,B C中.边AB.BC的垂直平分线交于点P.(1)求证 FA=PB=PC.(2)点P是否 在边AC的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论?38 I第十二他对教1 2.2.1 作轴对称图形如 图12.2-1,在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图.打开对折的纸，就能得到相应的右脚印.这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.类似地,我们可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程,可以得到美丽的图案（图 12.2-2,12.2-3）.图 1 2.2 2对称轴方向和位置发生变时，得到的图形的方向和位置 会发生变（图12.2-4）.图 1 2.2 3图 1 2.2 4自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么？与同学交流一下.第十二轴 对 称|39%-由一个平面图形可以得到它关于一条直我/成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直蜘/的对称点；连接任意一对对应点的爱段被对称轴垂直平分.如果有一个困形和一条直线，如何作出与这个图形关于这务直线对称的图形呢？例 1 如 图 1 2.2-5(1),已知ASBC和直线/,作出与 A B C 关于直线/对称的图形.分析：A/BC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直埃/的对称点,连接这些对称点，就能得到要作的图形.BA (2)图2 5作 法:如 图 1 2.2-5(2).(1)过 点 八 作 直 线/的 垂线，垂 足 为 点。，在垂线上截取0八一0 八，点八就是点A 关于直线/的对称点(想一想为什么)；(2)类似 地.请你自己在图1 2 2-5(2)上分别作出点 B,C关于直线2 的对称点B,C S(3)连 接/T B,B C,C N、得到的八B C 即为所求.40 I第 十 二 他 对 教几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、境段或射境组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如战段端点）的时称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.利用轴对称，可以设计出精美的图案.在许多美术作品中，都能看到轴对称 的 例 子（图12.2-6）.图 12.2 6有时，将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案,许多穰边和背景的图案就是这样设计的（图12.2-7）.图 12.2 7.把下列图形朴成关于玄戏/对林的国影.（第 1 W用筑片剪一个三饵彩,分别沿它一边的中或、南、角平分线对折,看看哪些部分能修重台,哪生部分不能支合.第十二轴 对 称|41如图12.2-8(1),要在燃气管道/上修建一个泵站，分别向八，B两馍供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在，上找几个点试一试，能发现什么规律?%B1(H图 12.2 8我们可以把管道/近似地看成一条直线(图12.2-8(2),问题就是要在/上找一点C,使AC与CB的和最小.设B是B 的对称点，本问题 就是要使八 C与CB的和最小.在连接AB的线中，线段AB最短.因此，线段八B与直线/的交点C 的位置即为所求.为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线/上另外任取一点C,连接.AC,BC B V.因为直线/是点B.B的对称轴.点C,C 在/上,所以 CBCB,C B-C B/.：.八 C+C B-八 C+CB-AB.在中，ffl 12.2 9V ABfAC，+C Bf,AC+CB D(y,1)E(4,0)关于工轴的对称点 A(._,_&(_,_)c _,_)Dr(_,_ r(_,_)关于 y 轴的对称点 A“(_,_ /(_,_)c*(_._)LT(_,_ r(_,_)再找几个点.分别展出它们的对 你 点.捡 雄 一下你发现的机律.第十二轴对称43星-点（工，y）关于工轴对称的点的坐标为（,）；点（工，y）关于y轴对称的点的坐标为（，）.利用平面直角坐标 中，与已知点关于N轴或y轴对称的点的坐标的规律,我们 可以很容易地在平面直角坐标 中作出与一个图形关于工轴或y轴对称的图形.例2如图12.2-12,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为八（一5.1）,B（-2,1）,C（-2,5）,D（-5,4）,分别作出与四边形 ABCD关于 y轴和工轴对称的图形.解：点包，外关于y轴对称的点的坐标为（一工，y）,因此四边形八B C D的顶点八，B,C,。关于y轴对称的点分别为人（一，一）,B （一,）,C（,）,一）,依次连接八 B ,B C,C D ,。八就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形/V B C D .类似地，请你在图12.2-12上作出与四边形A B C D关于z轴对称的图形.口4-18 1-A时于这类问超.只要先求出已如图形中 的 一 些 转 殊 点（加多边形的聪点）的对称 点 的 要 标,描 出 并连 接 这 些 点.就 可 以得到这个图影的轴对林图形.f f l 12.2 121 2 3 4 51.分别写出下列各点吴于/轴和轴对称的点的坐标,(-2,6),(1.-2).(-1,33(-4.-2).(1.0).44 I第十二*粕对弟2.扣 图.nSBO关于文轴对依，点A的坐好为(1,-2),标出点B的坐标.（第310）3.如图,利用关于生标轴对林的点的坐标的将点.分别作出与ABC关于工轴和y轴对低的困影.习题12复习巩固I.把下列各图形补成关于/对称的图形.(M iff)r分别写出下列各点关于#柏和?输时称的点的坐标；(3,6).(-7,9).3 -1),(-3,-5).(0,10).3.如图.以正方形ABCD的中 为 原 点 建 立 坐 标.点A的坐标为(1,D,标出点B.C,D的坐标.(第3如 佛4就)第十二 轴对称|45如上页图.利用关于坐标粕对称的点的坐标的特点,分别作出河(：关于H轴和,轴对称的图形.综合运用5.如图,把下列图形补成关于/对称的图形,看-看你得到了什么.(M 5 M)6.根据下列点的坐标的变.判断它们进行了怎样的运动；(1)(-1.3)-(-1,-3)i(2)(-5.-6)(-5,-l)i(3)(3.4)-*(-3,4)|(4)(-2.3)(2.-3).7.如图,小球起始时位于(3,0)处,沿所示的方向击球,小球运动的轨迹如图所示.用