函数医学高等数学课件.ppt

医 学 高 等 数 学 高等数学教研室 尹玲课程介绍n 33学时，考查课n 授课内容：前三章n 考试内容：前三章n 成绩计算：30%平时成绩（作业、出勤）70%卷面成绩参考资料n 医用高等数学学习指导与习题全解（第二版）马建忠主编 科学出版社出版n 高等数学（第五版）上册 同济大学应用数学系主编 高等教育出版社出版 Chapter 1 函数、极限与连续1.1 函数n 函数的概念n 函数的特性n 初等函数n 分段函数和反函数一、函数的概念1.常量与变量 常量:在某一变化过程中始终保持同一个数值的量称为常量，一般用 a,b,c 表示。注意:常量与变量是相对于过程而言.变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量称为变量,一般用 x,y,z 表示。2.函数的定义n 定义：设在某个变化过程中存在两个变量x、y，若对于某一非空数集中的每一个x值，按照某一确定关系都有唯一一个实数y 与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记为y=f(x).因变量自变量3.定义域、值域定义域：自变量所有允许值的集合称为函数的定义域。值域：所有函数值的集合称为值域。函数的三要素定义域 对应关系 值域E E4.函数相同n 当且仅当两个函数的对应关系和定义域完全相同时，我们才说两个函数相同或者说这两个函数是相同的函数。例3n 公式法n 图像法n 表格法5.函数的表示法公式法n 如果两个变量之间的函数关系是借助于公式或分析式直接给定的,则我们称这种函数的表示方法为分析法或公式法。如 y=x2。这是函数最常用的表示方法。例4:正常婴儿在出生后16个月的体重近 似满足以下关系 y=3+0.6x图像法n 由于函数的图像与函数是一一对应的，所以我们可以用函数的图像来表示函数，并称这种方法为函数的图像法。例5:监护仪记录某患者在一段时间内的体温T 的变化情况,即用曲线描述了函数关系T=T(t).表格法n 在实际应用中，经常将一系列的自变量的值与对应的函数的值列成表格，如对数表，三角函数表等。称这种表示函数的方法为表格法。例6:某地区统计了某年1-12 个月当地流行性出血热 的情况(如图),即用数据表描述函数y=y(t).t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Y16.6 8.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.06.区 间 区间的定义:界于某两个实数 a 和 b(a b)之间的全体实数被称为一个区间.a,b 称为区间的端点。7.邻 域定义：以x0为中心,以（0）为半径的开区间称为 x0的一个 邻域,x0 叫做邻域的中心,叫做邻域的半径.记为 U(x0,)或(x0),即 U(x0,)=(x0-,x0+)例7:(-1,1)是一个开区间,也是0的一个1邻域.|y-y0|是y0的一个邻域二、函数的特性n 单调性n 奇偶性n 有界性n 周期性 a.函数的单调性 单调增:设函数f(x)的定义域为D，如果在 D 中某一个子区间I 中任意取两个值x1、x2，当 x1 x2 时，必有 f(x1)f(x2)，则称该函数f(x)在区间 I 上是单调增加的。单调增函数的图形是沿 x轴的正向上升的。如下图所示xyxy设函数f(x)的定义域为D，如果在 D 中某一个子区间I 中任意取两个值x1、x2，当 x1 f(x2)，则称该函数f(x)在区间 I 上是单调减少的。单调减函数的图形是沿x 轴的正向下降的。如下图所示单调减 xyxy说明：在整个区间 I 内单调增加或单调减少的函数称为单调函数。单调增加与单调减少不是相互对立的概念。有的函数可能既不单调增加又不单调减少。z1.函数 y=x2 在(0,+)内是单调增加的,而在(-,0)内是单调减少的。例 8:z2.函数 y=x3 在(-,+)内是单调增加的。xyy=x3oxyy=x2ob.奇偶性n 奇函数:对于函数 y=f(x),x D,如果 D 是关于原点对称的,而且对任意的 x D,恒有 f(-x)=-f(x),则我们称函数 f(x)为 D 上的奇函数。奇函数的图形是关于原点对称的。n 偶函数:对于函数 y=f(x),x D,如果 D 是关于原点对称的,而且对任意的 x D,恒有 f(-x)=f(x),则我们称函数 f(x)为 D 上的偶函数。偶函数的图形是关于 y 轴对称的。奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于y 轴偶函数的图形是关于y 轴对称的.奇函数的图形是关于原点对称的.例9：1.函数 y=x3,x-1,1 是一个奇函数2.函数 y=x2,x-1,1 是一个偶函数3.函数 y=x2,x-1,2 既不是一个偶函数,又不是一个奇函数。c.有界性n 有界函数:对于函数 y=f(x),x D,如果存在正数M,使得对任意的 x D,恒有|f(x)|M,则我们称函数 f(x)为D 上的有界函数。否则称为无界函数。例10：函数 y=sinx在区间(-,+)内是有界的。注意：n 有界和无界是对立的,非此即彼的.例11：函数 y=1/x在区间(1,+)上有界，但是在(0,1)上无界。有界性是相对于一定区间来讲的概念，函数在某一区间上有界，但是在另一区间上可能无界。具有下界的函数被称为下方有界函数,具有上界的函数被称为上方有界函数。说明：有界函数必同时为下方有界函数和上方有界函数。d.周期性n 周期函数:对于函数 y=f(x),x D,如果存在正数 T,对任意的 x D,x+T D,恒有 f(x+T)=f(x),则我们称函数 f(x)为 D 上的周期函数。T 称为函数 y=f(x),x D 的周期,通常,周期函数的周期 T 都是指最小正周期。周期函数的图形特点：注意：n 周期函数的图形在每一个周期中都是相同的。周期函数的定义域一定是一个无穷区域,但不一定是整个实数轴(-,)。函数 y=tan x,x n/2 是一个 T=的周期函数。三、初等函数n 基本初等函数 复合函数n 初等函数1.六类基本初等函数 幂函数 y=x(为常数)指数函数 y=ax(a 0,a 1)对数函数 y=loga x(a 0,a1)三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx 反三角函数 y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx 常数函数 y=C(C 为常数)幂函数指数函数a 10 a 1对数函数a 10 a 1三角函数反三角函数y=arccosx2.复合函数定义:设变量 y 是变量 u 的函数,变量 u 是变量 x 的函数,即 y=f(u),u=(x)如果变量 x 的某些值通过变量 u 可以 确定变量 y 的值,则称y 是x 的复合函数,记为 y=f(x)其中 u 称为中间变量。3.复合函数的分解方法从最外层函数开始分析，找出最接近的基本初等函数形式开始分解，直到最后形式变成基本初等函数或基本初等函数经过四则运算所构成的函数（即简单函数）为止。例12：例13：例11 解一：解二：例12 解：综合起来，分解应该是4.初等函数定义:由基本初等函数,经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的,仅用一个解析式子表达的函数,称为初等函数。例14:y=,y=xtanx+sin 等都是初等函数。四、分段函数和反函数1.分段函数定义:某些函数,对于其定义域内自变量不同的值,不能用一个统一的解析表达式表示,而要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数。例如：例15:设某药物的每天剂量为y(mg为单位),对于16岁以上的成年人用药剂量是一常量,设为2mg;对于16岁以下的未成年人,则每天的用药剂量y与年龄成正比,且比例常数为0.125mg/岁,写出函数关系.2.反函数 说明：1.原函数的定义域（值域）恰是其反函数的值域（定义域）;2.原函数与反函数的图像是相同的，但由于互换了x和 y 的位置 所以图像就不同了，即：在同一个直角坐标系中是关于 y x对称的曲线.