线性代数第15讲课件.ppt
线性代数第15讲1 1第四章 矩阵的特征值2 2在经济理论及其应用的研究中,经常需要讨论有关矩阵的特征值问题.本章将对这一问题进行初步探讨.有关结果在动态经济模型,计量经济学等领域有广泛的应用.特征值的讨论涉及复数与多项式的理论,但限于篇幅,有些问题只能给出结论而不予证明.而且在讨论过程中尽可能不涉及复数,在必须涉及时只简要给予说明3 34.1 矩阵的特征值与特征向量4 4Ax=lx(4.1)将(4.1)式改写为(lI-A)x=o(4.2)即n元齐次线性方程组6 6(lI-A)x=o(4.2)此方程组有解的充分必要条件为系数行列式等于零,即|lI-A|=07 7|lI-A|=0定义定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量l的矩阵lI-A称为A的特征矩阵特征矩阵,其行列式|lI-A|为l的n次多项式,称为A的特征多项式特征多项式,|lI-A|=0称为A的特征方程特征方程.8 81010以l1=4代入与特征方程对应的齐次方程组(4.3),得1111例例2.求矩阵的特征值和特征向量.解解:矩阵A的特征方程为1313以l1=2代入特征方程对应的齐次线性方程组(4.3),得即151516161818例例3.求矩阵的特征值与特征向量解解:由1919|lI-A|=(l-1)(l2+l-2)=0求解一元二次方程组l2+l-2=0得二根1和-2,因此|lI-A|=(l-1)(l2+l-2)=(l+2)(l-1)2得特征值l1=-2,l2=l3=1.2020当l1=-2有212122222424例例4.求n阶矩阵的特征值与特征向量.2525解解:因为因此,A的特征值为l1=l2=ln=a.把a代入(4.3):0 x1=0,0 x2=0,0 xn=0这个方程的系数矩阵是零矩阵,所以任意n个线性无关的向量都是它的基础解系,2626例例5.试证:n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.证证:必要性如果A是奇异矩阵,则|A|=0.于是|0I-A|=|-A|=(-1)n|A|=0即0是A的一个特征值.28282929定理定理4.2 设A=(aij)是n阶矩阵,如果或者有一个成立,则矩阵A的所有特征值lk(k=1,2,n)的模小于1,即|lk|1(k=1,2,n)3131证证:设l是的任意一个特征值,其对应的特征向量为x,则Ax=lx,即设所以有3232如果成立,则由l的任意性可知|lk|1(k=1,2,n)如果(2)成立,则对矩阵AT的所有特征值,定理成立再有A与AT有相同的特征值,则对A的特征值,亦有|lk|1(k=1,2,n).3333定理定理4.3 n阶矩阵A互不相同的特征值l1,l2,lm,对应的特征向量x1,x2,xm线性无关.证证:用数学归纳法证明.当m=1时,由于特征向量不为零向量,因此定理成立.设A的m-1个互不相同的特征值l1,l2,lm-1,其对应的特征向量x1,x2,xm-1线性无关.现证明对m个互不相同的特征值l1,l2,lm-1,lm,其对应的特征向量x1,x2,xm-1,xm线性无关.3434设 k1x1+km-1xm-1+kmxm=o 成立,以矩阵A乘两端,由Axi=lixi,整理后得 k1l1x1+km-1lm-1xm-1+kmlmxm=o 由,二式消去xm,得 k1(l1-lm)x1+km-1(lm-1-lm)xm-1=o由归纳法所设,x1,x2,xm-1线性无关,于是ki(li-lm)=0(i=1,2,m-1)因li-lm0(i=1,2,m-1),因此k1=k2=km-1=0,于是化为kmxm=o,又因xmo,应有km=0,因而x1,x2,xm线性无关.3535定理定理4.4 设n阶矩阵A=(aij)nn,A的全部特征值为l1,l2,ln(其中可能有重根,复根),则即A的所有特征值之和等于A的主对角线元素之和,所有特征值之积等于A的行列式.3636证证 矩阵A的特征多项式记为f(l),则如果将|lI-A|按第一行展开,展开式中的一项为 (l-a11)(l-a22)(l-ann)而展开式中其余各项最多只含有主对角线上的n-2个元素.3737因此,展开式可写成 f(l)=ln-(a11+a22+ann)ln-1+cn其中cn是f(l)的常数项.而 f(0)=|0I-A|=(-1)n|A|=cn因为A的特征值为l1,l2,ln,又有 f(l)=(l-l1)(l-l2)(l-ln)利用方程的根与系数的关系,有 l1+l2+ln=a11+a22+ann;l1l2ln=|A|即38384.2 相似矩阵3939(一一)相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义定义4.3 设A,B为n阶矩阵,如果有n阶非奇异矩阵P存在,使得P-1AP=B成立,则称矩阵A与B相似,记为AB.4040例如则4141所以AB,即4242定理定理4.4 如果n阶矩阵A,B相似,则它们有相同的特征值.证证:因P-1AP=B|lI-B|=|lI-P-1AP|=|P-1(lI)P-P-1AP|=|P-1(lI-A)P|=|P-1|lI-A|P|=|lI-A|得A,B有相同的特征多项式,所以它们有相同的特征值.4343如上例中可见它们具有相同的特征值:l1=4,l2=-2.4444利用定义4.3,我们可以证明相似矩阵还具有下述性质:(1)相似矩阵有相同的秩.(请自证)(2)相似矩阵的行列式相等.证证:设n阶矩阵A与B相似.由定义4.3,存在非奇异矩阵Pnn,使得P-1AP=B所以|P-1AP|=|B|P-1|A|P|=|B|由此可得|A|=|B|.4545(3)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似.证证:设n阶矩阵A与B相似,由性质2知|A|=|B|,所以|A|与|B|同时为零或不为零,即A与B或都可逆或都不可逆.如果AB,且都可逆,则存在非奇异矩阵P,使得P-1AP=B于是 B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P即A-1B-1.4646作业 习题四(A)第198页开始第1题,第3题,第4题4747
