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北师大版九年级数学上册电子课本走进数学新天地亲爱的同学，祝贺你步入义务教育的最后一个学年！七年级和八年级的数学学习生活使我们接触到了许多数学对象:数与式、方程与不等式、函数、图形与变换、位置与坐标、数据、概率等等.我们也经历了许多有意义的数学活动:操作、想像、运算、推理、证明我们还学到了一些重要的数学方法,并且能够用它们去解决问题.更重要的是，我们看到了身边的数学，掌握了一些学习数学的基本方法，有了学好数学的信心在本册教科书中,我们将要学习一些新的内容除了确定命题的真与假以外，证明还能使我们获得什么？证明有哪些最基本的方法？学完第一章和第三章，相信你对以上问题会有自己的答案.我们解过一次方程（组）与分式方程.一元二次方程则是一个新的数学模型，它所表示的数量关系更为复杂，当然也能更好地体现数学的重要价值.事实上，当我们以后学习二次函数时，对此会有更深刻的感受.物体都有影子，影子和物体的形状密切相关，视线开阔时能MATHEMATICS目录contents第一章证明（二）1.你能证明它们吗.22.直角三角形.163.线段的垂直平分线.264.角平分线.33回顾与思考.41复 习 题.41第二章一元二次方程1.花边有多宽.462.配 方 法.533.公 式 法.644.分解因式法.675.为什么是0.618.71回顾与思考.77复 习 题.77MATHEMATICS第 三 章 证 明（三）1.平行四边形.822.特殊平行四边形.95回顾与思考.106复 习 题.106第 四 章 视 图 与 投 影L 视 图.1102.太阳光与影子.1213.灯光与影子.127回顾与思考.137复 习 题.137MATHEMATICS课题学习第五章反比例函数L 反比例函数.1432.反比例函数的图象与性质 1473.反比例函数的应用.157回顾与思考.162复 习 题.162 猜想、证明与拓广.165第六章频率与概率1.频率与概率.1722.投针试验.1853.生日相同的概率.1884.池塘里有多少条鱼.193回顾与思考.197复 习 题.197总复习|_ _ _ _ _!_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _201还记得我们曾经探索过的三角形的有关性质吗？比如，通过折纸我们发现,三角形三条边的垂直平分线交于一点.卖际上，利用前面学过的公理和定理，我们不仅可以证明这个结论，而且还能证明与三角形有关的其他许多结论，并运用这些结论解决一些实际府题.第 一 章 证 明（二）国1.你能证明它们吗在 证明（一）一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.公理三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）公 理 全 等 三 角 形的对应边相等、对应角相等.由上面的公理，容易证明下面的推论.推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）议 一 议/（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?1.你能证明它们吗定 理 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 相 等.这一定理可以简单叙述为：等边对等角.已知：如 图1-1,在 ABC中，AB=AC.求证：乙C.图1-1图1-2我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底甭相等（如 图1-2）.实际上，折痕将等腰三甭形分成了两个全等三甭形.能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底甭相等呢？证 明：取 的 中 点D,连接AD（如图 1-3）./AB=AC,BDCD,AD=AD,AABD AACD（SSS）.第 一 章 证 明（二L B=L C（全等三角形的对应角相等）.你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流.在 图1-3中，线 段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？推 论 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线、底边上的中线、底边上的高互相重合.工随堂练 习/71.证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于6 0。2 .如图，在A 5 D 中，C是8。上的一点，S.AC 1 B D,A C =B C =C D.（1）求证：“4 5。是等腰三角形；（2）求4 8A D的度数.（第2题）41.你能证明它们吗心习题%1.将下面证明中每一步的理由写在括号 内：已知：如 图，43 :CD,A D =CB.求证：ZA=ZC.证 明：连 接 BD.在R4D和DCB中，/A B =C D (),A D =C B (),B D =D B (),/.A B A D 经 A D C B ()./.ZA=ZC().2.已知：如图，点&E,C,尸在同一条直线上，A B =DE,A C =DF,BEC F.求 证：A A /-D.（第2题）3.等腰三角形的所有性质对等边三角形粼成立吗？反 过 来，等边三角形的所有性质对等腰三角形都成立吗？说说你的理由.4.两个等腰三角形的顶角和底边对应相等，那么这两个三角形全等 吗？请证明你的结论.第 一 章 证 明（三，在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？例1证 明：等腰三角形两底角的平分线相等.已 知：如 图1-4,在A A B C中，A B =AC,BD,CE A A B C的角平分线.求证：B D C E.证明：A B =AC,乙4乙4 cB（等边对等角）.Z l=Z 2.在BDC和中，A A C B =/LABC,B C=C B,Z l=Z2,/.ABDC g A C E B(ASA).50=C(全等三角形的对应边相等).等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴进行交流.议一议1.在 图1-4的等腰三角形A B C中,1.你能证明它们吗(1)t azAABD=l-AABC,LACE =L A C B,那么BD=C E吗?如果乙4助 二+乙 4 B C,乙ACE 二 ：乙ACB呢？由此你能得到一个什么结论？(2)如果 4。=春 4。，AE =-A B,那么 5D=C乙 乙吗？如果=呢？由此你能得到一个什么结论？2.前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？如 图 1-5,在匕k B C中，ZB=乙C,要想证明4B=A C,只要能构造两个全等的三角形，使 AB与4。成为对应边就可以了.你是怎样构造的？图1-5定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简单叙述为:等角对等边.想 卷”小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如第一章证明(二)果成立，你能证明它吗?小明是这样想的:如 图L 6,在 4BC中，已知48#Z.C,此时4 5与4 c要么相等，要么不相等.假设从B=4 C,那么根据“等边对等甭”定理可得/C=4 8,但已知条件是Z_B LC .N C=N B”与已知条件“乙B#乙C”相矛盾，因此4BKAC.你能理解他的推理过程吗?小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity).以1.你能证明它们吗反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时，它常常会有出人意料的作用.例如，O i,oj,药都是实数，且9+电+色+为二1,那么这五个数中至少有一个大于或等于1.如何证明这一结论呢？假设这五个数没有一个大于或等于玄，即都小于志,那么你能推出什么结果？这一结果与已知条件是否矛盾？C习题”1.已知：如 图，N C 4 E是4 8 C的外角，A D/B C,且4 1=2 2.求 证：A B =AC.2.证 明：在 一 个 三 角 形 中，至少有一个内角小于或等于6 0。.3.（1）已知：如图（1）,等腰三角形的一个内角为锐角a,腰 为0,求作这个等腰三角形；（第3题）第一章证明(二)(2)在(1)中，把 锐 角a变 成 钝 角.，其他 条 件 不 变，求作这个等腰三角形.4.如 图，在 一 个 风 筝4 8 C D中，A B=A D,B C =DC.(1)分 别 在44D的 中 点E,尸处拉两 根 彩 线E C,FC,证 明：这两根彩线的长相等；(2)如 果4A F=A D,那3 3么 彩 线 的 长 度 相 等 吗？如 果4 E =工4 8,呢？由此你能得到什么结论？4 4(3)除 了(1)(2)的 条 件 外，你还能在哪些已知条件下得到两根彩线长度相等的结论？w问题解 决，5.如 图，一艘 船 从4处 出 发，以1 8节的速度向正北航行，经 过1 0时到 达5处.分 别 从 月，B望 灯 塔C,测 得N M L C =4 2 ,N N 8 C =8 4。.求6处 到 灯 塔C的距离.(第5 题)“节”是速度单位，一般只用于航行，它的符号是kn.1 节=1 海里/时=1.852千米/时.1.你能证明它们吗(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？(2)你认为有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流.定 理 有 一 个 角 等 于60。的等腰三角形是等边三角形.*做一儆用两个含30。角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你能想到，在直角三角形中，30。角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？A第 一 章 证 明(二)小红根据拼出的图形发现了结论，并证明如下:如图 1-7(1),在4BC 中，ZJtCB=900,C4=30。，则4 8 =60。.延 长BC至D,使CD=5C,连接4D(如 图1-7(2).AACB=90L CD=900.ACAC,.ZUBC 4DC(SAS).=(全等三角形的对应边相等)./.ZvlBD是等边三角形(有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形).B C=!B D =%A B.2 2定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.121.你能证明它们吗例 2等腰三角形的底角为15。，腰长为2%求腰上的高.如图 L 8,在ZUBC 中，已知 A5=AC=2a,AABC=乙4 c8=15。，CD是腰4 8 上的高，求 CD的长.解：LABC=15,/.Z.DAC=AABC+AACB=150+15=30.CD=l-A C=l-x 2 a =a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.工随 堂 练 习,1.证 明：三个角都相等的三角形是等边三角形.2 .直角三角形的一个角等于30。，斜边长为4,用四个这样的直角三角形拼成如图所示的形状，求正方形E F G H的边长.（第2题）第 一 章 证 明（二）G习 题I般1.已 知：如 图，是 等 边 三 角 形，D E/B C,分 别 交4 8,4c于 点D,.求 证：L A D E是等近三角形.（第1题）（第2期）2.房梁的一部分如图所示，其 中8 C _ L 4 C,乙4 =3 0。，A 5 =7.4 m,点D是45的中点，XDE1AC,垂 足 为E,求5 C,DE的长.果,联系拓r3.（1）如 图，4 3,是 等 边 三 角 影，过它的三个顶点分别作对边的平行 线,得 到 一 个 新 的 三 角 形DE F,D E F是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？点4 ,8,C分 别 是E F,（第3题）1.你能证明它们吗E D,如 的 中 点 吗？请证明你的结论.（2）如 果 是 等 边 三 角 形，点从，&C分别是黄）的中点，那 么4 B C是等边三角形吗？请证明你的结论.*4.命 题“在 直 角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于3 0。”是真命题吗？如 果 是，清你 证 明 它.*5.如 图（1）,4 8 C D是 一 张 正 方 形 纸 片，E,F分 别 为4 8,C D的 中 点，沿 过 点。的 折 痕 将A角 翻 折，使 得 点4落 在E尸上（如 图（2）,折 痕 交4E于 点G,那么N 4 D G等于多少度？你能证明你的结论吗？（提 示：利 用 第4题的结论）（第5题）第 一 章 证 明（二）冏2.直角三角形我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.实际上，利用公理及由其推导出的定理，我们能够证明勾股定理（有关证明过程参见本节“读一读”）：定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明这个结论吗？已知：如图 1-9（1）,在ABC 中,A B2+A C2=B C2.求证：45。是直角三角形.证明：作 使/A =90,A B=AB,A C=AC(如图 1-9(2),则2.直角三角形A B2+A C2=B C2（勾股定理）./A B2+A C2 B C2,A B AB,A C AC,.B C2=B C2.BC=B C.，ABCg 4&C（SSS）.乙4=乙 4=90。（全等三角形的对应角相等）.因此，月 8C是直角三角形.定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？与同伴进行交流.再观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等，如果两个角相等，那么它们是对顶角；如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧，如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；|三角形中相等的边所对的角相等，I三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴进行交流.A第一章证明(三，在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.想一想你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.我们已经学习了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”等.你还能举出一些例子吗？随 堂 练 习/1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)如果 ab=0,那么 Q=0,6=0.2.直角三角形勾股定理的证明利用教科书绐出的公理和推导出的定理，我们可以证明勾股定理.如图 1-10(1),在中，4 C=9 0。，BC=a,A Cb,A B =c.图 1-10延 长 C B 至 点D,使 B D =b,作乙E B D=N A,并取BE =c,连接 ED,A E(如图 1-10(2),则4 3。色 B ED.A B D E =90,E D=a(全等三角形的对应角相等、对应边相等).四边形ACZ)是直角梯形.S梯 形 H ei =4(a+b)(a+b)=(a +b)2.乙A B E=1800-A A B C-A E B D=180-90=90,2.直角三角形AEAB 名 ACAH,5正 方 形4侬=S走形AHNM=2S&S H,b2=S jAHNM .同理a2=S器 形M W B .c2=a2+Z?2.勾股定理是数学史上非常重要的定理之一.两千多年 来，人们对它进行了大量的研究，给出了多达数百种的证明方法.如果你有兴趣，可查阅有关资料，了解勾股定理的其他证明方法.1.在4 5 C中，已 知4 5 =13 cm,SC=10 cm,8 c边上的中线A D =1 2 c m.求证：A B=A C.2 .一个直角三角形房梁如图所示，其 中5C_L4C,N4=30。，A B =10 m,C B.L A B ,B.CylA C,垂足分别为当，G,那 么5 c的长是多少？呢？（第2题）21第 一 章 证 明（二0切问 题 解 匕3.如 图，小红想测量离力 处30 n l的 大树的高度，她站在从处仰望树 顶5,仰 角 为30。（即N5DE=30。）.已 知 小 红 身 高L 52m,求大树的高度（结果精确到0.1 m）.4.有 一 块 三 角 形 空 地，它的三条边线分别长45 m,60 nl布70 m.已 知60m长的边线为南北向，是否有一条边线为东西向？5.如 图，正 四 棱 柱 的 底 面 边 长 为5 c m,侧 棱 长 为8 cm,一只妈蚁 欲 从 正 四 棱 柱 底 面 上 的 点A沿 棱 柱 侧 面 到 点C处 吃 食 物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？（第5题）2.直角三角形两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你的结论.定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.）匆 做 一 做/用三角尺可以作角平分线：如 图 1-1 2,在已知4 4 0 8 的两边上分别取点M,N,使。M=O N,再 过 点 M 作 0 4 的垂线，过点N 作 0 8 的垂线，两垂线交于点尸，那 么 射 线。尸就是4 4 0B 的平分线.请你证明。尸平分44议一议如 图 L 1 3,已知乙4cB=LBDA=9 0 ,要使9A B D A,还需要什么条件？把a第一章证明(二)它们分别写出来.工随堂练习“1 .判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.1 .已知：如图，。是 4 5 C的 边 的 中 点，DE 1 AC,DF LAB,垂足分别为E,F,且DE =DF.求证：Z U B C是等腰三角影.2 .如图，D E C和B网 都是直角三角形，N D E C=9 0 .(1)已知 4 5 =C D,D E=B F,求证：A E =CF,AB/CD-,(2)如果 4 E =C尸，A B/C D,那么=DE =BF 吗?2.直角三角形联系拓 I3.在如图所示的三角影纸片A B C中，/。=9 0,/5 =30。,按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形(图中虚线表示折痕).先将点B对 折 到 点4,将对折后的纸片再沿4D对折.(1)由步骤可以得到哪些等量关系？(2)请证明4 C D丝A I E D；(3)按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角影？第 一 章 证 明（二）国3线段的垂直平分线我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗?定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知：如 图 1-14,直线垂足是C,且 4C=B C,尸是MV上的任意一点.求证：P A=P B.要 想 证 明 可 以 考 虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.证明：M NLAB,LP CA=ZPCB=90.ACBC,P C=P C,AP CA g AP CB（SAS）./.弘=依（全等三角形的对应边相等）.想 一 想，了底能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗?a3.线段的垂直平分线如果是，请你证明它.定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.漱 做 f用尺规作线段的垂直平分线.已知:求作:线段（如 图1-15）.线 段 的 垂 直 平 分 线.作法:1.分 别 以 点4和 点B为圆心、以大于）/15的长为半径作弧，两弧相交于点C和 点D.第 一 章 证 明（二2.作直线CD.直线C D就 是 线 段 的 垂 直 平 分 线.请你说明CD为什么是4笈的垂直平分线，并与同伴进行交流.因为直线CD与线段4 8的 交 点 就 是 的 中 点，所以我们也用这种方法作线段的中点.1.如 图，已 知43是 线 段CD的垂直平分线，E是4 5上的一 点，如 果E C 7 c m,那 么E D _ c m ；如果L E C D=6 0 ,那 么/E D C（第1题）8习一题*i .后一个三角形，用尺规作它三条边的垂直平分线.观察这三条垂直平分线的位鬟关系，你发现了什么？再换一个三角形试一试.2.以线段从5为底边的所有等腰三角形的顶点之间有什么关系？a（3.线段的垂直平分线3.如 图，在4 8 C 中，已知.4C=27,4 5 的垂直平分线交4 5 于点 0,交 4 c 于 点 E,国;后的周长等于5 0,求 8 c 的长.（第 3 题）（第4 题）4.如 图，A,&表 示 两 个 仓 库，要 在 4,5 一侧的河岸边建造一个 码 头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？,5.已 知 直 线 2和 2上的一点P,用尺规作2 的垂线，使 它 经 过 点 2如 果 点尸在直线，外呢？剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线.观察这三条垂直平分线，你发现了什么？当用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？与同伴进行交流.小明发现三角形三条边的垂直平分线相交于一点，接着他想证明它.他是这样想的：要想证明三条直线相交于一点，只要能证明其中两条直线的交点在另一条直线上即可.你同意他的想法吗？卓第 一 章 证 明（三，如 图1-16,在 ABC中，设AB,BC的垂直平分线相交于点尸，连接AP,BP,CP.点P在线段4 3的垂直平分线上，R4=依（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.同理，PB=PC.PA=PC.点P在月C的 垂 直 平 分 线 上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.AB,BC,4 c的垂直平分线相交于点尸.定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.议一制（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？3.线段的垂直平分线（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？做一做q已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.已知:线段a,h（如图1-1 7）.求作：A A B C,使 且 8C =a,高=M请你写出作法.C习题 上1 .已知线段a,求 作 以a为底、以;a为高的等腰三角形.这个等腰三角形有什么特征？问题解 决,2 .为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心.在选址过程中，有人建议该体育中心所在位鬟应与该市的三个城 镇 中 心（图 中以P,Q,R表 示）的距离相等.（1）根据上述建议，试在图（1）中画出体育中心G的位置；（2）如 果 这 三 个 城 镇 的 位 置 如 图（2）所 示，N R P Q是一个钝语 第 一 章 证 明(二)（第2题）角，那么根据上述建议，体 育 中 心C应在什么位置？(3)你对上述建议有何评论？你对选址有什么建议？3.如 图，某市三个城镇中心月，5,C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了三种连接方案：(1)AB+BC；(2)4 D+8 c(D 为 8 c 的中点)；(3)0A+。5+。，(0为4 4 3。三边的垂直平分线的交点).要使铺设的光缆长度最短应选哪种方案？(第3题)4.角平分线国4.角平分线还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？如 图1-18,O CA A O B的平分 线，点P在。上，PDVOA,PEA.OB,垂足分别为D,E.Z l=Z2,OPOP,LPDO=ZPEO=90,.APDO 经 APEO(AAS).如=PE(全等三角形的对应边相等).定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它.定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.第 一 章 证 明（三，渗做二做/用尺规作角的平分线.已知：A A O B（如 图 1-19）.求作：射 线。C,使乙40C=Z.BOC.作法：1.在。4 和0B上分别瞬 OD,0 E,使。=。.2.分别以点 为圆心、以 大 于 的 长 为 半 径作弧，两弧在Z.4 0 B 内交于点C.3.作射线0C.0 C就是44 0 3 的平分线.请你说明。C 为什么是乙4的平分线，并与同伴进行交流.善随堂练习”1.如图，AD,4 E 分别是4 5 C 中A A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？4.角平分线2.如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处5 0 0 m.在图上标出它的位置（比例尺1 ：20 0 0 0）.尺规作图不能问题我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？公 元 前5世 纪，古希腊的学者们就提出了利用尺规三等分一个任意角的问题.与这个问题同时提出的还有另外两个作图问题：倍立方 求作一个立方体，使该立方体的体积等于给定立方体的两倍；化圆为方求作一个正方形，使其与给定圆的面积相等.为了解决这些问题，数学家们花费了大量的时间和精力.这“三大几何难题”曾吸引了许多人，不时有人宣布自己用尺规解决了它们，但最终证明他们不是用第 一 章 证 明（二）了错误的方法，就是速背了直尺、圆规作图的限制，即直尺只能用来在平面上作过两点的直线，而圆规只能作绐定圆心和半径的圆或弧.直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”和“倍立方”这两个问题是不能用尺规完成的；1882年，数学家又证明了“化圆为方”也是不能用尺规完成的.这些不能用尺规完成的作图问题统称为“尺规作图不能问题”.虽然用尺规三等分任意角是不可能的，但是对于像90。或180。等特殊角，我们可以根据所学的有关结论，用尺规将它们三等分.你愿意试一试吗？&习题1 .作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么？2 .已知：如 图，在 4 5 C中，4D是它的角平分线，且 B D =CD,D E L A B,D F1A C,垂足分别为 E,F.求证：E B=FC.（第2题）4.角平分线拓r z3.如 图，在aABC中，NC=9(T,N4=30。,作4 8的垂直平分线，交A 5于 点。，交4 C于 点E,连 接5E,则5E平 分Z 45 c.请证明这一结论.你有几种证明方法？离相等.我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角形的三条角平分线相交于一点.你能证明这个结论吗？如 图1-2 0,设 4 B C的角平分线B M,CN相交于点P,过点P分别作5 C,AC,45的垂线，垂足分别是&F,D.第 一 章 证 明（二 是 A B C 的角平分线，点 尸 在 上，.PD =PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理，PE=PF.PD =PF.点尸在乙氏4 c 的平分线上（在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）./.A4B C三条角平分线相交于点P.定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.例 如图 1-2 1,在中，AC =B Cf Z C =9 0 ,40是 4 5 C 的角平分线，D E 1 A B,垂足为（1）已知C D=4 c m,求 4C的长；（2）求证：AB =AC +C D.（1）解：；4D是 4 反7 的角平分线，D C 1 AC,D E LAB,D =C D =4 c m（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.AC =B C,/=/a 4 c（等边对等角）.Z C=9 0,=1 x 9 0。=4 5。.2图 1-214.角平分线AB DE=90-45=45./.B=D以等角对等边).在等腰直角三角形助中，BD=V 2PS1=4 V T cm(勾股定理),AC=BC=CD+BD=(4+4 V T)cm.(2)证明：由(1)的求解过程易知，RtA/lCD 空 RtAAED(H L)./.AC=AE.：BE 二 DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD.1 .已知：如 图，ZC=9 0 ,Z S =3 0 ,4D是R t A 4 3 c的角平分线.求 证：B D =2 CD.2 .已知：如 图，4 B C的外角NC5 D和N 3 C E的平分线相交于点工 求 证：点E在ND4E的平分线上.第一章证明(二)3.已 知：如 图，P是2 4 0 5平 分 线 上 的 一 点，P C L O A,P D L0 B,垂 足 分 别 为C,D.求 证：(1)0 C =0 D；(2)0 P是CD的垂直平分线.何 题 蝌r4.如 图，有两条公路相交于？1处，现 计 划 修 建 一 个 油 库，要求到两条公路的距离相等，那么该如何选择油库的位置？如果再增加一条公路，与这两条公路都相交(不经过4处)，那么如何选择油库的位置才能保证油库到三条公路的距离相等？复习题回 顾 与 思 考/普,，一二一 8 一 佗.以 8-圮一批一 佗 一 批-P一批-佗-1.2.3.4.说说作为证明基础的几条公理.向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？任意画一个角，用尺规将其二等分、四等分.，复习题1 .请将下面证明中每一步的理由填在括号内：已 知：如 图，D,E,尸 分 别 是 BC,CA,48上 的 点，DE/BA,DF/CA.求 证：A FD E=JLA.证 明：.DE/BA(/.A FD E=L B F D (/DF/CA(/.乙 BF D=Z A (/.A FD E=L A (2 .已知：如 图，4 D C 8,4 D=C 5 .求 证：色C D 4 .第 一 章 证 明（二）3 .已知：如 图，BD,C E是4 5 C的 高，S L B D =CE.求 证：/1 5 C是等腰三角形.4.在 4 3 C中，已 知24,乙B,/C的度 数 之 比 是1 ：2 ：3,4 5=求A C的长.5 .已 知：如 图，A N 1 0 B,B ML O A,垂足 分 别 为N,M,O M=ON,B M与A N相 交 于 点P.（第3题）6 .已知：肪V是线段儿笈的垂直平分线，C,D是 的V上的两点.求证：（1）L A B C,是等腰三角影；（2）A C A D=A C B D.7.任 意 作 一 个 钝 角，求作它的角平分线.8 .已知线段a,求 作 以a为底、以为为高的等腰三角形.9 .如 图，在4 5 C 中，A B A C =90,A B=A C =a,4 0 是4 5 C的 高，求4。的长.（第9题）复习题Q 理解，1 0.如 图，A I B C的 高5 D与C E相 交 于 点O,OD=0 0 4 0的延长线 交5 c于 点M,请你从图中找出几对全等的直角三角形，并给出证明.1 1.如 图，在48C 中，Z C =900,ZA=30,4 5的 垂 直 平 分 线 分 别 交45,4 c于点 D,E.求证：A E =2CE.1 2.如 图，在 四 边 形5 C D E中，/C=N 3ED=90。，2 3 =60。，延 长 C D,B E,得到R tA A B C.已知 CD=2,DE=1,求RtZ43C的面积.1 3.求 证：等腰三角形的底角必为锐角.，.-”问题解14.你 能 用 尺 规 作 出 一 个45。的角吗？联系拓，15.如 图，在 4B C中，4 3=4 C,4 5的 垂 直 平 分 线 交4 5于点第 一 章 证 明（二）D,交4 c于 点E,已知BCE的 周 长 为8,A C-B C =2,求A B与BC的长.心x2+12x-15=0你 知道黄金比为什么是0.618吗？你能为一个矩形花园檐供多种设计方案吗？你能根据输品的销售利润作出一定的决策 吗?与一元一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型.第一章一元一次方程1.花边有多宽块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图2-1所示，它的长为8 m,宽为5 m.如果地毯中央长方形图案的面积为18 r i?,那么花边有多宽？图21如果设花边的宽为#m,那么地毯中央反方形图案的长为 m,宽为 m.根据题意，可得方程观察下面等式：KF+1 12+122=132+142.你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？1.花边有多宽如果设五个连续整数中的第一个数为明那么后面四个数依次可表示为，.根据题意,可得方程如 图 2-2,一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米？由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m,如果设梯子底端滑动力 m,那么滑动后梯子底端距墙m.根据题意，可得方程由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2%)(5-2JC)=18,%2+(%+1)2+(%+2 =(%+3 y+(%+4 产,第二章一元二次方程上述三个方程有什么共同特点？上面的方程都是只含有一个未知数万的整式方程,并且都可以化成加2+b%+c =O （a,b,c为常数，a尹0）的 形 式，这 样 的 方 程 叫 做 一 元 二 次 方 程（q u a d r a t i ce q u a t i o n w i t h o ne u nk no w n）.我们把o x2+6%+c =0 （a,b,c为常数，a羊0）称为一元二次方程的一般形式，其中弧2,以，C分别称为二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.*随堂练习，1.根据题意列出方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.2.把方程（3 4 +2 产=4（*-3）2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.O等号两边都是关于未知数的整式的方程,称为整式方程.L4U1.花边有多宽O习题241.根 据 题 意，列出方程：(1)有 一 面 积 为54必 的 长 方 形，将 它 的 一 边 剪 短5 m,另一边 剪 短2 m,恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？(2)三 个 连 续 整 数 两 两 相 乘，再 求 和，结 果 为2 4 2,这三个数分别是多少？2.把下列方程化成一元二次方程的一段形式，并写出它的二次项系效、一次项系数和常数项：，问题解决,3.从 前 有 一 天，一 个 醉 汉 拿 着 竹 竿 进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，受着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这 个 醉 汉 一 试，不多不少刚好进去了.他知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程.“尺”是我国一种传统的氏度单位.3尺-1米.第 二 章 一 元 二 次 方 程在前一课的问题中，地毯花边的宽(m)满足方程(8-2%)(5-2%)=18,也就是2/_ 13%+11=0.你能求出%吗？(1)%可能小于。吗？说说你的理由.(2)%可能大于4 吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流.(3)完成下表：X00.511.522.52 d -13%+11(4)你知道地毯花边的宽 (m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流.瀚做一做“在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离为(m)满足方程(%+6-+72=102,也就是/+12x-15=0.(1)小明认为底端也滑动了 1 m,他的说法正确吗?为什么？(2)底端滑动的距离可能是2 m 吗？可能是3 m 吗？为什么？1.花边有多宽(3)你能猜出滑动距离为(m)的大致范围吗?(4)%的整数部分是几？十分位是几？小亮把他的求解过程整理如下：00.511.52/4 12*15-15-8.75-25.2513所以 1 x 1.5.进一步计算：X1.1L2131.4炉+12”-15-0.590.842.293.76所以 1.1 一 个 小 球 以1 5 m/s的初速