统计学第四章-综合指标课件.ppt

统 计 学 主编主编 郑葵郑葵 张宇张宇第四章 综合指标第一节第一节 总量指标总量指标第二节第二节 相对指标相对指标第三节第三节 平均指标平均指标第四节第四节 标志变异指标标志变异指标第五节第五节 偏态系数和峰度系数偏态系数和峰度系数学习要点及目标学习要点及目标 1.掌握总量指标的含义、种类、计算方法和应用条件；2.掌握相对指标的含义、种类、计算方法和应用条件；3.掌握平均指标的含义、种类、特点、计算方法和应用场合；4.掌握标志变异指标的含义、种类、特点、计算方法和应用场合。第一节第一节 总量指标总量指标一、总量指标的含义和作用（一）总量指标的含义 总量指标是反映某种社会经济现象在一定时间、地点和条件下达到的总规模或总水平的统计指标。总量指标通常用绝对数表示，所以也称为绝对指标或绝对数。（二）总量指标的作用1.总量指标是认识社会经济现象的起点。2.总量指标能够为制定政策、编制计划、实行社会经济管理提供依据。3.总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。二、总量指标的基本分类（二）总量指标按其反映的时间状况不同，可分为时期指标与时点指标 1.时期指标 也称流量指标，是表明社会经济现象在一段时期内发展过程的总量指标。例如：一定时期的产品产量、工资总额、商品销售额等都是时期指标。2.时点指标 也称存量指标，是表明现象在某一时点（瞬间）上所处状况的总量指标。例如：某一时间点上（如年末、季末、月末等）的人口数、设备台数、商品库存量、固定资产价值，商业银行存款余额等都是时点指标。3.时期指标与时点指标的区别（1）时期指标具有可加性，而时点指标不具有可加性；（2）时期指标和时点指标与所属时间的关系不同；（3）时期指标是通过连续登记取得，而时点指标则通过间断登记取得。二、总量指标的基本分类（三）总量指标按其计量单位不同，分为实物指标、价值指标和劳动指标 1.实物指标 是反映现象的使用价值，根据事物的属性和特点，采用实物计量单位计量的总量指标。2.价值指标 是以货币为单位来计量的总量指标，反映社会经济现象的价值量，如国民生产总值、工业增加值、销售收入、产品成本等。3.劳动指标 是以劳动时间为单位计算的总量指标。如“工时”、“工日”等。三、计算和使用总量指标应注意的问题1.要明确总量指标的含义和计算范围；2.总量指标的计算必须建立在同度量的基础之上。第二节第二节 相对指标相对指标一、相对指标的含义和作用（一）相对指标的含义 相对指标又称相对数，它是两个有联系的统计指标的比值，是说明社会经济现象之间数量对比关系的统计指标。例如：如我国2009年国民经济和社会发展统计公报称，全年国内生产总值同比增长8.7%，人口自然增长率为5.05，居民消费价格指数为99.3%,城镇居民人均可支配收入17175元，城镇居民家庭恩格尔系数为36.5%等,这些都是相对指标。二、相对指标的表现形式（一）有名数 用分子和分母的双重单位表示，主要用以表现事物的强度、密度和普遍程度。如：人口密度用“人/平方公里”表示，城市人口拥有公共汽车用“辆/万人”表示等。（二）无名数 无名数是一种抽象化的数值，常以系数、倍数、成数、百分数、千分数、翻番数、百分点等表示。三、相对指标的种类和计算方法 相对指标的种类结构相对指标比例相对指标比较相对指标动态相对指标强度相对指标计划完成相对指标（一）结构相对指标 结构相对指标又称结构相对数，是说明总体内部各个组成部分在总体中所占比重的相对指标。其计算公式为：例例如：某班有如：某班有5050名学生，男生名学生，男生3030人，女生人，女生2020人，则男生比重为人，则男生比重为60%60%，女生比重为，女生比重为40%40%。结构相对数是描述总体特征的重要指标，它既可以说明总体内部构成状况，还可以用来分析总体内部构成的变化，反映事物发展变化的过程及趋势。（三）比较相对指标（横向对比）反映同一时期的同类现象在不同地区、部门和单位之间数量对比关系的相对指标，可以说明同类现象在同一时间内各地区发展的不均衡程度。通常用百分数或系数表示。分子和分母是同类指标且可以互换位置。计算公式：例如：例如：20042004年美国人均国内生产总值年美国人均国内生产总值37 61037 610美元，中国人均国美元，中国人均国内生产总值为内生产总值为1 1001 100美元，则美国人均美元，则美国人均GDPGDP是中国的是中国的34.234.2倍倍(3(3 76101 100=34.2)76101 100=34.2)。（四）动态相对指标 动态相对指标又称发展速度，是反映同类指标数值在不同时间对比关系的相对数。用以说明现象发展变化的方向和程度。通常用百分数表示。一般情况下，把作为比较基础的时期叫做基期，而把用来与基期对比的时期叫做报告期。计算公式：（五）强度相对指标 强度相对指标是反映两个性质不同但有联系的统计指标之间数量对比关系的相对指标。用来反映现象的强度、密度和普遍程度。计算公式：强度相对数一般采用复名数形式，由分子指标和分母指标的计量单位组成，如人均国民生产总值“元/人”，人口密度“人/平方公里”、某城市家庭汽车普及率“辆/百户”等。有的强度相对数用次数、倍数、系数、百分数或千分数表示，如资金周转次数、流通费用率、人口出生率、死亡率等。强度相对数的两种形式（1）正指标正指标：是指标数值大小与现象的发展程度或密度成正向变化的强度相对指标。即指标数值越大，现象的发展程度或密度越高，反之则越低。（2）逆指标逆指标：是指标数值大小与现象的发展程度或密度成反向变化的强度相对指标。即指标数值越大，现象的发展程度或密度越低，反之就越高。【例】某地区2007年总人口为1200万人，有60000个零售商业机构，则该地区零售商业网点密度指标是多少？解：零售商业网点密度指标是衡量一个国家或地区商业发展水平的统计综合指标，可以用以下两种方法计算。（1）正指标：说明：平均每万人拥有50个零售商业机构。（2）逆指标：说明：每个零售商业机构为200人服务。1.计划数为绝对数（1）短期计划完成情况检查 a.计划完成情况检查【例】某企业2009年产品计划产量100万台，全年实际生产105万台。则 b.计划执行进度检查【例】某企业2009年计划产量100万台，至第三季度末已生产了80万台，则2.计划数为相对数 当计划任务数为相对数，而且以提高（或降低）百分数表示时，则不能以实际提高（或降低）百分数与计划提高（或降低）百分数直接对比，应在原有基数100%的基础上提高（或降低）才能对比。【例】某企业本年产量计划比上年提高10%，实际提高了15%，则：计算结果表明，该企业本年产量超额4.55%完成计划。3.计划数为平均数 当计划任务为平均数时，计划完成程度的计算公式为：需要说明的是，在分析计划完成情况时，要注意计划任务数的性质差异。凡是计划指标是以最低限额规定的，如产品产量、利润、销售额等指标，计划完成相对数等于或大于100%，才算完成或超额完成计划；反之，凡是计划完成相对数是以最高限额规定的，如原材料消耗、单位成本、流通费用等，其计划完成相对数等于或小于100%，才算完成或超额完成计划。第三节第三节 平均指标平均指标 平均指标又叫平均数，是同质总体中各单位某一数量标志值（变量值）在具体时间、地点、条件下达到的一般水平，是反映总体某一数量标志值分布集中趋势的重要指标。测度总体分布的集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。平均数按其计算方法的不同，可分为数值平均数和位置平均数。一、数值平均数数值平均数（一）算术平均数 算术平均数也称均值，是同一总体内总体标志总量与总体单位总量之比。算术平均数是数据集中趋势的最主要测度值，在统计学中具有重要的地位。其基本的计算公式为：2.加权算术平均数 适用于根据分组资料计算平均指标。如果掌握的资料是经过分组整理后的单项数列或组距数列，并且每组次数不相同时，计算平均数应采取加权算术平均数的方法。具体方法是：（1）将各组变量值分别乘以各组变量值出现的次数求得各组的标志总量，并加总得到总体标志总量；（2）将各组的次数相加得到总体单位总数；（3）最后用总体标志总量除以总体单位总数，即得到加权算术平均数。计算公式为：简写成 式中：表示各组变量值；为各组次数（或频数），k为组数。【例】某车间100名工人日产零件数资料如表4-2所示，要求：计算该车间工人的平均日产量。表4-2 按日产零件数分组的工人人数资料按日产零件数分组的工人人数资料日产量（件）工人数（人）日总产量（件）6570758085102540187650175030001440595合 计1007435解：该车间工人的平均日产量实际上，我们还可以将公式（4-2）变形为如下形式，即 （公式4-3）当我们掌握的资料不是各组变量值出现的次数，而是频率时，可以直接用公式（4-3）计算算术平均数。3.算术平均数的数学性质 性质1：各变量值与其算术平均数的离差之和等于零。简单算术平均数为：加权算术平均数为：性质2：各变量值与其算术平均数的离差平方和最小。简单算术平均数为：加权算术平均数为：（二）调和平均数 调和平均数是总体各单位变量值倒数算术平均数的倒数，又称为倒数平均数。习惯上用H表示。调和平均数法适用于只有各组变量值和各组标志总量，而缺少总体单位数时计算平均指标。调和平均数的计算方法有简单调和平均数和加权调和平均数两种。1.简单调和平均数 变量值倒数简单算术平均数的倒数。简单调和平均数适用于总体中各组标志总量相等的情况。其计算公式为：2.加权调和平均数加权调和平均数：变量值倒数加权算术平均数的倒数。其计算公式为：加权调和平均数实际上是加权算术平均数的一种变形。【例】已知某公司甲种商品在三个市场上的销售价格和销售额资料如表4-5所示，试计算甲种商品在三个市场上的平均销售价格。表4-5 甲种商品平均价格计算表甲种商品平均价格计算表解:甲种商品的平均销售价格为 市场市场 价格（元价格（元/件）件）销售额（元）销售额（元）销售量（件）销售量（件）ABC2.002.502.4060 00050 00060 00030 00020 00025 000合计170 00075 000（三）几何平均数1.概念：几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。适用于对比率数据的平均，而且各比率的乘积等于总的比率。主要用于计算平均速度或平均比率。2.几何平均数的计算（1）简单几何平均数适用于未分组的原始资料 （其中：为连乘符号）（2）加权几何平均数适用于分组资料 二、位置平均数（一）众数 1.含义 众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用 表示。2.众数的特点（1）众数适合在数据量较多时使用；（2）众数是一个位置代表值，它不受极端值的影响；（3）一组数据可能没有众数或有多个众数（众数的不唯一性）；（4）主要用于测度分类数据的集中趋势，当然也适用于顺序数据和数值型数据集中趋势的测度值。3.众数的计算方法（1）未分组数据、分类数据和顺序数据的众数观察次数，出现次数最多的数据就是众数；（2）单项式分组数据观察次数，出现次数最多的变量值即为众数；（3）组距式分组数据确定众数 如果所掌握的资料是组距数列，则需要先通过观察次数找到出现次数最多的数据所在的组，假定变量值在众数所在组以及众数所在组前后两组呈均匀分布，然后，按照比例法计算众数的近似值。组距数列计算众数公式为：式中：L表示众数所在组的下组限；1表示众数所在组与下一组次数之差；2表示众数组次数与上一组次数之差；i表示众数所在组的组距。（二）中位数 1.中位数的含义 一组数据排序后，处于中间位置上的那个变量值，用表示。2.中位数的特点 （1）中位数是一个位置代表值，不受极端值的影响；（2）主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据；（3）各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即3.中位数的计算方法（1）未分组数据计算中位数 根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，最后确定中位数的具体数值。中位数位置的确定公式为：，式中：n为数据个数。n为奇数 中位数 =n为偶数（2）分组数据计算中位数 确定中位数的位置=；计算累计次数；根据中位数的位置，对照累计次数数列判断中位数所在组；对于单项数列中位数所在组对应的变量值即为中位数；对于组距数列可按以下近似公式计算中位数。式中：N/2：表示中位数所在位置；L：表示中位数所在组的下组限；Sm-1表示中位数所在组以下各组的累积次数；fm表示中位数所在组的次数；i表示中位数所在组的组距。（三）四分位数 一组数据排序后处于25%和75%位置上的值，称为四分位数，也称四分位点。四分位数是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含25%的数据。很显然，中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在25%位置上的数据（下四分位数）和处在75%位置上的数值（上四分位数）。设下四分位数为，上四分位数为，对于未分组的原始数据，各四分位数的位置分别为：如果位置是整数，那么四分位数就是该位置对应的值；当四分位数的位置不是整数时，可根据四分位数的位置，按比例分摊四分位数两侧数值的差值。三、众数、中位数和均值之间的关系 对于同一组数据计算的众数、中位数、均值三者之间具有以下关系：1.在对称的次数分配和统计分布中，众数、中位数和均值都是同一数值。即 ；2.在右偏分布（正偏分布）中，众数最小、中位数适中，均值最大，即 ；3.在左偏分布（负偏分布）中，众数最大，中位数适中，均值最小，即 四、均值、中位数、众数的应用场合1.当数据呈对称分布或接近对称分布时，三个代表值相等或接近相等，这时我们应选择均值作为集中趋势的代表值；2.当数据分布偏斜程度较大时，由于均值易受数据极端值的影响，我们可以考虑选择众数或中位数这样的位置代表值，这时它们的代表性要比均值好。第四节第四节 标志变异指标标志变异指标 集中趋势表示的是分布的中心位置或一般水平的代表值，用平均指标来测度；而离散程度反映的则是分布离散和差异程度，用离散指标或标志变异指标来测度。平均指标对一组数据的代表程度取决于该组数据的离散水平。离散指标值愈大，说明总体各单位变量值分布的离散趋势越高，平均数对该组数据的代表性愈低；反之，离散指标值愈小，说明总体各单位变量值分布的离散趋势越低，平均数对该组数 据的代表性愈高。标志变异指标（离散指标）是衡量社会经济活动的稳定性、均衡性以及风险程度的重要指标。描述数据离散程度的测度值主要有：极差、内距、平均差、方差和标准差、离散系数等。一、极差 也称全距，是一组数据最大值减去最小值之差，它是数据离散或差异程度的最简单测度值，即：显然，数据的分散程度越大，极差就越大。极差的计算很简单，但它易受极端值的影响，因为它利用了数据两端的信息。极差的计算未考虑数据的分布情况。二、内距 也称四分位差，是两个四分位数之差，即 内距=上四分位数-下四分位数=内距反映了中间50%数据的离散程度，其数据越小，说明中间的数据越集中；数值越大，说明中间的数据越分散。此外，由于中位数处于数据的中间位置，因此，内距的大小在一定程度上也说明了中位数对一组数据的代表程度。内距不受极端值的影响。三、平均差 各变量值与其算术平均数离差绝对值的平均数，称为平均差，用 表示。根据掌握资料的不同平均有以下两种计算方法。1.对于未分组资料的计算公式为：2.对于已分组资料的计算公式为：四、方差和标准差方差：是各变量值与其均值离差平方的算术平均数。标准差：是方差的正平方根，又称均方差。特点：1.反映数据离散程度最常用的测度值；2.反映了数据的分布特征；3.反映了各变量值与均值的平均差异；4.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差。（一）总体的方差和标准差方差的计算公式方差的计算公式方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式对于未分组数据：对于未分组数据：对于分组数据对于分组数据：（其中k为分组的组数）对于未分组数据：对于未分组数据：对于分组数据对于分组数据：（二）样本方差和标准差方差的计算公式方差的计算公式方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式对于未分组数据：对于未分组数据：对于未分组数据：对于未分组数据：对于分组数据对于分组数据：对于分组数据对于分组数据：注意：样本方差和标准差用自由度n-1去除！样本方差自由度一组数据中可以自由取值的数据的个数。当样本数据的个数为 n n 时，若样本均值x x 确定后,只有n n-1-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x x1 1=2=2，x x2 2=4=4，x x3 3=9=9，则 x x=5 5。当 x x=5=5 确定后，x x1 1，x x2 2和x x3 3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x x1 1=6=6，x x2 2=7=7，那么x x3 3则必然取2 2，而不能取其他值。样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差 时，它是 的无偏估计量五、离散系数(变异系数)离散系数是一组数据的标准差与相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。用于对不同组别不同组别数据数据离散程度的比较。消除了数据水平高低和计量单位的影响。离散系数的计算公式为：或式中：表示总体离散系数；表示样本离散系数。离散系数大的说明该组数据的离散程度也大，离散系数小的说明该组数据的离散程度也小。【例】某投资者想购买在上海证券交易所上市的股票A和股票B中的一种。从前几个月两种股票的收盘价格可以发现两者的标准差差别很大，=2元，=8元，两种股票收盘价格的平均数分别为 =4元，=80元，问：若投资者欲选择风险小的股票投资，应该购买哪种股票？解：该题需要计算两种股票的离散系数来测量和比较两种股票的风险。从离散系数看，一段时期以来股票A比股票B的市场价格波动要大。因此，若投资者欲选择风险小的股票投资，应该购买股票B。六、各种测度值应用的场合 反映数据离散程度的各个测度值，适用于不同类型的数据。对于顺序数据，主要是用内距来测度其离散程度；对于数值型数据，主要用方差或标准差来测度其离散程度；当需要对不同总体或样本数据的离散程度进行比较时，则使用离散系数。第五节第五节 偏态系数和峰度系数偏态系数和峰度系数 集中趋势和离散程度是数据分布的两个重要特征，但要全面了解数据分布的特点，我们还需要知道数据分布的形状是否对称、偏斜的程度以及分布的扁平程度等。偏态和峰度就是对分布形状的测度。一、偏态及偏态系数 偏态是对数据分布偏斜方向及程度的测度。其测度值称为偏态系数，用SK来表示。对于分组数据计算偏态系数，可采用下面的公式：（SK是离差三次方的平均数再除以标准差的三次方）1.当分布对称时，离差三次方后正负离差可以相互抵消，因此SK的分子等于0，即SK=0；2.当分布不对称时，就形成了正或负的偏态系数SK（1）当SK0时，表示正偏离差值较大，判断为正偏或右偏。（2）当SK0时，表示负偏离差值较大，判断为负偏或左偏。SK的数值越大，表示偏斜的程度越大。二、峰度及峰度系数 峰度是对数据分布平峰或尖峰程度的测度。其测度值为峰度系数，记为K。（K是用离差四次方的平均数再除以标准差的四次方减去3）峰度通常是与标准正态分布相比较而言的。1.如果一组数据服从标准正态分布，则峰度系数的值等于0；2.若峰度系数的值明显不等于0，表明分布比正态分布更平或更尖，通常称为平峰分布或尖峰分布 （1）当K0时，为尖峰分布；（2）当K0时，为平峰分布。本章小结1.总量指标是反映总体在一定时间、地点条件下达到的总规模或总水平的统计指标，它是计算相对指标和平均指标的基础；2.相对指标是两个有联系的总量指标之比，掌握六种相对指标的含义、计算方法及应用场合；3.平均指标是反映总体各单位某一变量值分布的集中趋势，掌握三种数值平均数和两种位置平均数的含义、计算方法及应用场合；4.标志变异指标是说明变量值分布差异程度的重要指标，它反映总体分布的离中趋势。掌握方差、标准差、离散系数的含义与计算方法。