数字图像处理概述 (8).ppt

图像的傅立叶变换21 一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的一维连续函数，当f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)具有有限个间断点、具有有限个极值点、绝对可积时，则傅立叶变换对一定存在。在实际应用中，这些条件基本上都是可以满足的。一维连续函数的傅立叶变换对定义为：式中，x为时域变量，u为频域变量。（1）（2）一维连续函数的傅立叶变换对的符号表示为：f(x)为实函数，其傅立叶变换F(u)通常为复函数，若F(u)的实部为R(u)，虚部为I(u)，则复数形式：指数形式：式中，振幅谱：相角：振幅谱的平方称为f(x)的能量谱：（3）（4）（5）（6）（7）图像的傅立叶变换21 一维连续函数的傅立叶变换 一维连续函数的傅立叶变换推广到二维，如果二维函数满足狄里赫莱条件，则它的傅立叶变换对为式中，x，y为时域变量，u，v为频域变量。（8）（9）图像的傅立叶变换22 二维连续函数的傅立叶变换振幅谱：相角：能量谱：（12）（13）（14）图像的傅立叶变换2二维连续函数的傅立叶变换对的符号表示为：若F(u,v)的实部为R(u,v)，虚部为I(u,v)，则 复数形式：指数形式：（10）（11）2 二维连续函数的傅立叶变换设f(x)|f(0),f(1),f(2),f(N-1)为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为：式中：x，u=0，1，2，,N1。注意在式（16）中的系数1/N也可以放在式（15）中，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。3 一维离散函数的傅立叶变换 由于连续傅立叶变换在计算机上无法直接使用，计算机只能处理离散数值，为了在计算机上实现傅立叶变换计算，必须把连续函数离散化，即将连续傅立叶变换转化为离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform，简称DFT)。（15）（16）图像的傅立叶变换2由欧拉公式可知 将式（17）代入式（15），并利用cos()=cos()，可得 可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。（17）（18）图像的傅立叶变换2 3 一维离散函数的傅立叶变换 图像的傅立叶变换23 一维离散函数的傅立叶变换 一维离散傅立叶变换的复数形式、指数形式、振幅、相角、能量谱的表示类似一维连续函数的相应的表达式。F(u)傅里叶频谱、相位谱和能量谱分别表示如下F(u)=R(u)+jI(u)傅里叶频谱相位谱能量谱将一维离散傅立叶变换推广到二维，则二维离散傅立叶变换对定义为：像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数，只要两式系数的乘积等于1/MN即可。二维离散函数的复数形式、指数形式、振幅、相角、能量谱的表示类似二维连续函数的相应的表达式。（19）（20）图像的傅立叶变换24 二维离散函数的傅立叶变换 二维离散函数的复数形式、指数形式、振幅、相角、能量谱的表示类似二维连续函数的相应的表达式。图像的傅立叶变换24 二维离散函数的傅立叶变换 傅里叶频谱 相位谱能量谱二维离散傅立叶变换的基本性质表二维离散傅立叶变换的基本性质图像的傅立叶变换2设二维离散函数为f1(x,y)和f2(x,y)，它们所对应的傅立叶变换分别为F1(u,v)和F2(u,v)。（1）线性性质 式中，a，b为常数。此性质可以节约求傅立叶变换的时间。若已经得到了f1(x,y)和f2(x,y)及F1(u,v)和F2(u,v)的值，则a f1(x,y)+bf2(x,y)的傅立叶变换就不必按照前面介绍公式（19）来求，只要求得aF1(u,v)+bF2(u,v)就可以了。图像的傅立叶变换2（2）比例性质 对于二个标量a和b，有（22）式说明了在空间比例尺度的展宽，相应于频域比例尺度的压缩，其幅值也减少为原来的，如图1所示。（22）图像的傅立叶变换2图1 傅立叶变换的比例性（3）可分离性 由式（19）和式（20），可以把此两式变成如下形式：（23）（24）利用这个性质，一个二维的离散傅立叶变换（或反变换）可通过进行两次一维离散傅立叶变换（或反变换）来完成。图像的傅立叶变换2例如，以正变换为例，先对f(x,y)沿y轴进行傅立叶变换得到F(x,v)，再沿着x轴对 进行一维离散傅立叶变换,得到结果，显然对f(x,y)先沿x轴进行离散傅立叶变换，再沿y轴进行离散傅立叶变换结果一样。反变换也是如此。（26）（25）图像的傅立叶变换2（4）频率位移及空间位移 频率位移：（27）空间位移：（28）这一性质表明，当用 乘以f(x,y)，求乘积的傅立叶变换，可以使空间频率域uv平面坐标系的原点从（0，0）平移到（u0，v0）的位置；同样，当用 乘以F(u,v)，并求此乘积的离散傅立叶反变换，可以使空间xy平面坐标系原点从（0，0）平移到（x0，y0）的位置。图像的傅立叶变换2在数字图像处理中，为了清楚地分析图像傅立叶谱的分布情况，经常需要把空间频率平面坐标系的原点移到（M/2，N/2）的位置，即令u0=M/2 v0=N/2，则（29）上式表明：如果需要将图像频谱的原点从起始点(0，0)移到图像的中心点(M/2，N/2)，只要f(x，y)乘上 因子进行傅立叶变换即可实现。图像的傅立叶变换2例1 将图2(a)所示图像的频谱进行频率位移，移到窗口中央，用MATLAB编程实现，并显示出频率变换后的频谱图。源代码如下：I=imread(saturn.bmp);%读取原图象imshow(I);%显示图像fftI=fft2(I);%求二维快速傅里叶变换sfftI=fftshift(fftI);%频率移位rr=real(sfftI);%求实部ii=imag(sfftI);%求虚部A=sqrt(rr.2+ii.2);%求模A=(A-min(min(A)/(max(max(A)-min(min(A)*255;figure;imshow(A);%显示频率变换后的频谱图像图像的傅立叶变换2图2 程序运行结果原图像经过频率移位之后的频谱图如图2(b)所示。图像的傅立叶变换2（5）周期性和共轭对称性 若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则：周期性有（30）（31）其中，a，b=0,1,2,周期性说明F(u，v)和f(x，y)都是具有周期为N的周期性重复离散函数。即当u和v取无限组整数值时，F(u，v)将出现周期重复性，因此由F(u，v)用反变换求f(x，y)，只需F(u，v)中的一个完整周期即可；空域中，对f(x，y)也有类似的性质。图像的傅立叶变换2共轭对称性可表示为：共轭对称性说明变换后的幅值是以原点为中心对称，利用此特性，在求一个周期内的值时，只需求出半个周期，另半个周期也就知道了，这大大地减少了计算量。（33）（32）图像的傅立叶变换2（6）旋转性质 令 则f(x，y)和F(u，v)分别变为 和，在极坐标系中，存在以下变换对：（34）上式表明，如果f(x，y)在空间域中旋转 角度，则相应的傅立叶变换F(u，v)在频率域中旋转同样的角度，反之亦然。图3说明了傅立叶变换的旋转性。图像的傅立叶变换2（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的傅立叶频谱 图3 傅立叶变换的旋转性（a）原图像（b）原图像的傅立叶频谱（7）平均值 二维离散函数f(x，y)的平均值定义为：由式（19）可知 对比以上两式，可得 这说明f(x，y)的平均值等于其傅立叶变换F(u，v)在频率原点的值F(0,0)。（36）（35）（37）图像的傅立叶变换2（8）卷积定理 卷积定理表明了两个傅立叶变换之间的关系，构成了空间域和频率域之间的基本关系。设f(x,y)和g(x,y)是大小分别为AB和CD的离散数组，假设在x和y方向上扩展这些数组为某个周期M和N，其数值为：MAC1（38）NBD1（39）利用增补0的方法进行周期延拓后的f(x,y)和g(x,y)有下列形式：（40）（41）图像的傅立叶变换2二维离散卷积定义为：其中，x0，1，2，M1；y0，1，2，N1。（42）设则二维离散卷积定理可由下面关系表示：（44）（43）图像的傅立叶变换2应用卷积定理的优点是避免了直接计算卷积的麻烦，它只需先计算出各自的频谱，然后相乘，再求其反变换，即可得卷积。卷积运算在图像的增强操作中常常用到。（9）相关定理 与离散卷积一样，需要用增补0的方法扩充f(x,y)和g(x,y)为 和，并按照式（38）及（39）选取M和N，则离散的二维相关定理都可由下面关系表示：式中，*表示共轭。（45）（46）图像的傅立叶变换2数字图像傅立叶变换的频谱分布和统计特性 1数字图像傅立叶变换的频谱分布 数字图像的二维离散傅立叶变换所得结果的频率成分如图4所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅立叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子进行傅立叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。图像的傅立叶变换2图4 二维傅立叶变换的频谱分布 图5 频率位移示例图5给出了二维离散傅立叶变换的频率位移特性示例。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，如果在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。图像的傅立叶变换22图像傅立叶变换的统计分布（1）傅立叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据公式（9），它反映了原始图像的平均亮度。图像的傅立叶变换2（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。