最新数学（理科）高三一轮复习系列《一轮复习讲义》47第八章 立体几何与空间向量 8.3空间点、直线、平面之间的位置关系5.pptx

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1基础知识 自主学习PART ONE1.四个公理知识梳理ZHISHISHULI公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过 的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .两点不在一条直线上有且只有一条平行2.直线与直线的位置关系共面直线异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点平行相交任何 直线 直线(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).锐角(或直角)3.直线与平面的位置关系有、_ 三种情况.4.平面与平面的位置关系有 、两种情况.直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行平行相交5.等角定理空间中如果两个角的 ，那么这两个角相等或互补.两边分别对应平行范围：.1.分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.【概念方法微思考】2.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定.如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()基础自测JICHUZICE123456(5)没有公共点的两条直线是异面直线.()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线.()123456题组二教材改编2.P52B组T1(2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为A.30 B.45C.60 D.9012345解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角.又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60.6123453.P45例2如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；ACBD解析四边形EFGH为菱形，EFEH，ACBD.解析四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，ACBD且ACBD.(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形.ACBD且ACBD64.是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是A.垂直 B.相交C.异面 D.平行12345题组三易错自纠解析依题意，mA，n，m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.6123455.如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上.同理可知，点C也在与的交线上.6123456.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_.解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.362题型分类深度剖析PART TWO题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；师生共研师生共研(2)CE，D1F，DA三线共点.证明EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；证两平面重合.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.思维升华跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面.(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.证明EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线.题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交师生共研师生共研解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.故选D.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.思维升华跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为_.(注：把你认为正确的结论序号都填上)题型三求两条异面直线所成的角师生共研师生共研例3(2019青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为引申探究AB1，AA1t.用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角.思维升华直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG立体几何中的线面位置关系(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；证明由已知FGGA，FHHD，GHBC且GHBC，四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？BEFG且BEFG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH.EFCH，EF与CH共面.又DFH，C，D，F，E四点共面.素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.3课时作业PART THREE1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为A.4 B.3C.2 D.112345678910111213141516基础保分练解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.2.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若ab，则a，b与c所成的角相等D.若ab，bc，则ac12345678910111213141516解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.3.如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC12345678910111213141516解析由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上.又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.123456789101112131415164.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1不共面C.A，M，C，O不共面D.B，B1，O，M共面5.(2017全国)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为12345678910111213141516123456789101112131415166.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有_条.解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条.6123456789101112131415167.(2019东北三省三校模拟)若直线l平面，平面平面，则直线l与平面的位置关系为_.l或l解析直线l平面，平面平面，直线l平面，或者直线l平面.123456789101112131415168.在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_.平行123456789101112131415169.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_.1234567891011121314151610.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是_.1234567891011121314151611.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.(1)求证：直线EF与BD是异面直线；证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.12345678910111213141516(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角.解取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFG AC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.(1)三棱锥PABC的体积；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.13.平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为12345678910111213141516技能提升练14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：12345678910111213141516ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上四个命题中，正确命题的序号是_.1234567891011121314151615.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC4，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为_.拓展冲刺练1234567891011121314151616.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?12345678910111213141516(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值.8.3空间点、直线、平面之间的位置关系第八章立体几何与空间向量