微积分5.5有理函数的积分课件.ppt

5.5 有理函数的积分有理函数的积分一、一、有理函数的积分有理函数的积分二二*、可化为有理函数的积分、可化为有理函数的积分1我们把由两个多项式的商所表示的函数我们把由两个多项式的商所表示的函数,称为称为有理函数有理函数.其中其中m,n是非负整数是非负整数,互质互质.一、有理函数的积分一、有理函数的积分其一般形式为其一般形式为2当当n m时时,(x)为假分式为假分式,当当n m时时,f(x)为真分式为真分式;利用多项式的除法利用多项式的除法,总可化为一个多项式与一个真分式之总可化为一个多项式与一个真分式之和和.例例如如 多项式的积分问题已解决多项式的积分问题已解决,因此有理函数积分的关键因此有理函数积分的关键,就在就在于如何计算一个真分式的不定积分于如何计算一个真分式的不定积分.为了计算真分式的不定积为了计算真分式的不定积分分,我们不加证明地给出有关真分式我们不加证明地给出有关真分式一次因式和二次质因式的乘积一次因式和二次质因式的乘积,即即 由代数学知由代数学知,多多项项式式在实数范围内总能分解成一在实数范围内总能分解成一(1)3有下列有下列k个部分分式之和，即个部分分式之和，即(2)若分母若分母 中含有因式中含有因式则真分式则真分式分解后分解后其中其中为常数为常数.(5.5.1)4(4)若分母若分母有形如有形如(5.5.1)式的形式式的形式,则真分式则真分式可以唯可以唯一地分解为如下部分分式之和一地分解为如下部分分式之和,即即(5.5.2)其中其中等都是常数等都是常数.6例例1式式(5.52)的部分分式中的部分分式中,可采用比较等式两端可采用比较等式两端x同次幂的系数同次幂的系数方法或者取特殊值来确定方法或者取特殊值来确定.求求解解由于由于则可设则可设比较等式两端比较等式两端x同次幂的系数同次幂的系数,得得7解得解得得得8例例3 求求解解又因为又因为所以所以10二二*、可化为有理函数的积分、可化为有理函数的积分1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分在在sinx,cosx和常数经过有限次四则运算构成的函数称为和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角三角有理函数有理函数,记为记为由三角函数知识由三角函数知识,sinx和和cosx都可以用都可以用的有理式来表示的有理式来表示即即11例例4求求解解由万能置换公式由万能置换公式,令令则则13解法二解法二解法三解法三注注三角函数有理式可用万能代换三角函数有理式可用万能代换,但很多三角函数有理式但很多三角函数有理式化为有理函数都较复杂化为有理函数都较复杂,故在对三角函数有理式积分时故在对三角函数有理式积分时,应先应先考虑其他方法考虑其他方法,最后再考虑万能置换最后再考虑万能置换.152.简单无理函数的积分简单无理函数的积分求简单无理函数的积分求简单无理函数的积分,其主要方法是利用适当变换其主要方法是利用适当变换(第二换第二换元积分元积分)将其有理化将其有理化,转变为有理函数的积分转变为有理函数的积分.例例6求求解解令令则则从而从而16