考研数学]北京航天航空大学线性代数5-(1,2).ppt
第五章 矩阵的相似标准形引言 对n 阶方阵A 及可逆矩阵P,由于矩阵乘法不满足交换律,一般情形下P 1AP 不一定等于A.但对P 1AP 与A 而言,在许多地方性质相同.行列式相等:|P 1AP|=|P 1|A|P|=|A|.因此P 1AP 与A 或者都可逆,或都不可逆.称P 1AP 与A 相似,当然会有很多矩阵与A 相似,最简单的是什么矩阵？(相似标准形问题)5.1 相似矩阵定义 设A、B 为 两 个n 阶 矩 阵，如 果 存 在 一 个满秩阵P，使得则称A 与B 相似，记为 A B.相似变换：对A 作运算P 1AP(P 满秩)相似关系的等价性矩阵之间的相似关系是一种等价关系.(1)自反性 A A;E 1AE=A.(2)对称性 A B B A;P 1AP=B A=PBP 1.(3)传递性 A B 且B C A C.P 1AP=B 且Q1BQ=C(PQ)1A(PQ)=C.相似矩阵具有相同的秩(矩阵乘以可逆阵后秩不变)；相似矩阵具有相同的行列式；相似矩阵可逆时,其逆矩阵也相似.若P 1AP=B,则B1=P 1A1P.其他性质例 若A B，证明(1)kA kB,其中k为任意常数.(2)Am Bm,其中m 为正整数.(3)g(A)g(B),其中g(x)为任意一个多项式.证明 由定义,若A B，则存在可逆矩阵P,使P 1AP=B.(1)P 1kAP=kP 1AP=kB.(2)P 1AP P 1AP P1AP=Bm P 1AmP=Bm.g(x)=amxm+am 1xm 1+a1x+a0.(3)g(A)=amAm+am 1Am 1+a1A+a0E.由(2),Am Bm且P1AmP=Bm，于是P1g(A)P=amBm+am 1Bm 1+a1B+a0E=g(B).所以g(A)g(B).问题：与矩阵A 相似的矩阵中最简单的矩阵是什么？对单位矩阵E 与任何可逆矩阵P,都有P1EP=E,P1kEP=kE.单位矩阵只能同单位矩阵相似,数量矩阵也只相似于数量矩阵.比这两类矩阵简单的矩阵是对角矩阵,A 能否相似于一个对角矩阵呢？若n 阶方阵A 相似于对角矩阵,则存在满秩矩阵P,使得若上式成立,i满足什么条件呢？若记P=(P1,P2,Pn)(列向量),代入得 即若能用相似变换将A 化为对角矩阵,则满秩矩阵P 的每个列向量必满足且p1,p2,pn线性无关.5.2 特征值与特征向量定义 设A 是n 阶方阵,若有数 和n 维非零列向量x,使Ax=x成立.则称 为矩阵A 的特征值.非零列向量x称为A 的属于(或对应于)特征值的特征向量.问题：对任何方阵A,是否有特征值呢?A 有特征值时，如何求出它的全部特征值和全部特征向量呢?一 矩阵A=(aij)n n的特征值和特征向量若Ax=x,则 xAx=(E A)x=0.(1)由x是非零向量,说明齐次线性方程组(E A)x=0有非零解,(1)有非零解即特征值满足|E A|=0.定义 设A 为n 阶矩阵,E A 称为A 的特征矩阵，|E A|称为A 的特征多项式,|E A|=0 称为A 的特征方程,|E A|=0 的根即为A 的特征值(特征根).特征多项式的特征没有写出的各项的最高次数为n-2:若某项含有aij,则不会含有(aii)与(ajj).因此可得当=0 时定义 tr(A)=a11+a22+ann称为A 的迹.计算n 阶矩阵A 的特征值与特征向量的步骤:1.解特征方程|E A|=0,求出n 个特征值(r 重根算r 个);2.对每一i,求(iE A)x=0 的非零解xi是属于i的特征向量.例1 求三阶方阵的特征值和特征向量.解：特征方程所以A 的特征值为1=2,2=3=1.对1=2,解齐次方程组(2E A)x=0,即一般解为取基础解系得A 的属于1=2 的全部特征向量为k(0,0,1)(k 0).对2=3=1,解齐次线性方程组(E A)x=0,即由得一般解为取基础解系因此A 的属于2=3=1 的全部特征向量是k(1,2,1),(k 0).例2 求矩阵的特征值和特征向量.解：特征方程B 的特征值为 1=2=1,3=5.对二重特征值=1，解方程组(E B)x=0,即 即一般解为基础解系为因此属于=1的全部特征向量为k1,k2不同时为零.对3=5,解方程组(5E B)x=0,即由得一般解 取基础解系为因此B 的属于=5 的全部特征向量为k0为常数.上面两个例子中,特征方程的单根的线性无关的特征向量为1个,二重根可以是一个也可以是两个.都不超过特征根的重数.例3 若A2=A,称A 为幂等矩阵,证明幂等矩阵的特征值只可能是0和1.证明设0是A 的特征值,x是A 的属于0的特征向量,则由于即而x0,得注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值,比如E 是幂等矩阵,但其特征值只有1.二 有关特征值的几个定理定理2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式,也有相同的特征值.证明:设A B,则存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP.因此注意 其逆命题不一定成立(有相同特征多项式的矩阵不一定相似)例如任一矩阵与其转置矩阵有相同的特征多项式,因此也有相同的特征值.(E A)=E A|E A|=|(E A)|=|E A|.定理2.2 若A 是分块矩阵,即其中Ai(i=1,2,s)是方阵,则A 的特征多项式是A1,A2,As的特征多项式的乘积.因此A1,A2,As的所有特征值就是A 的全部特征值.证明将E 分块为其中Ei与Ai同阶.(i=1,2,s).则两端取行列式,由Laplace 定理有定理2.3 设n 阶矩阵A 的特征值为1,2,n(k重根算k个),则证明令=0,得而从定理可以看出,若A 的特征值有一个为零,则|A|=0.反之亦成立.推论 矩阵A 可逆A 的特征值全不为零.定理2.4 若n 阶可逆方阵A 的特征值为1,2,n，则A1的特征值为证明:由定理2.3,有意义.设xi是A 的属于i的特征向量,则左乘A1,有即由定义说明,是A1的特征值,而有n 个(k重算k个),这样是A1的全部特征值.例4 证明若 是正交矩阵Q 的特征值,则1/也是Q 的特征值.证明：由Q 是正交矩阵,|Q|=1,Q 可逆.由定理2.3,其特征值不为零,1/有意义.因为Q1=Q,由定理2.4,1/是Q 1的特征值.因此是Q的特征值.而任一矩阵与其转置矩阵有相同的特征值,所以1/也是Q 的特征值.
