第三章--机器人动力学-机器人教学课件.ppt

第三章 机器人动力学机器人是主动机械装置，原则上，它的每个自由度都具有单独传机器人是主动机械装置，原则上，它的每个自由度都具有单独传动。从控制的观点来看，机械手系统是冗余、多变量和本质非线性动。从控制的观点来看，机械手系统是冗余、多变量和本质非线性的自动控制系统，也是复杂的动力学耦合系统。每个控制任务本身的自动控制系统，也是复杂的动力学耦合系统。每个控制任务本身就是一个动力学任务。因此研究机器人的动力学问题就是为了进一就是一个动力学任务。因此研究机器人的动力学问题就是为了进一步讨论控制问题。步讨论控制问题。分析动力学问题主要采用下列两种理论：分析动力学问题主要采用下列两种理论：1.动力学基本理论动力学基本理论牛顿欧拉方程牛顿欧拉方程力的动态平衡法；力的动态平衡法；2.拉格朗日力学，特别是拉格朗日方程。拉格朗日力学，特别是拉格朗日方程。3.还有高斯原理和阿佩尔（还有高斯原理和阿佩尔（Appel）方程式以及旋量对偶和凯恩（方程式以及旋量对偶和凯恩（Kane）等等方法来分析动力学问题的。方法来分析动力学问题的。2023/5/261 第三章 机器人动力学牛顿欧拉法从运动学出发求得加速度，并消去各内作用力。拉格牛顿欧拉法从运动学出发求得加速度，并消去各内作用力。拉格朗日方法，它只需要速度而不必求内作用力，是比较直接的方法。朗日方法，它只需要速度而不必求内作用力，是比较直接的方法。对于动力学，有两个相反的问题：一是动力学的正问题：已知机对于动力学，有两个相反的问题：一是动力学的正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度。主械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度。主要应用于仿真研究；二是动力学的逆问题：已知机械手的运动轨迹，要应用于仿真研究；二是动力学的逆问题：已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度、加速度求各关节所需要的驱动力或力矩。即各关节的位移、速度、加速度求各关节所需要的驱动力或力矩。主要是实时控制的需要主要是实时控制的需要 一般机器人的动态方程由一般机器人的动态方程由6个非线性微分方程联立表示，实际上个非线性微分方程联立表示，实际上除了一些简单的情况外，不可能求得方程的一般解。在实际控除了一些简单的情况外，不可能求得方程的一般解。在实际控制时往往对动态方程作出某些假设，进行简化处理制时往往对动态方程作出某些假设，进行简化处理。2023/5/2623.1 惯性矩 首先，在图首先，在图31里通过把质点的平移运动改作回转运动的分析，里通过把质点的平移运动改作回转运动的分析，来了解惯性矩的物理意义。来了解惯性矩的物理意义。若将力若将力F作用到质量为作用到质量为m的质点时的平移运动，看的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量，则作是运动方向的标量，则可以表示为：可以表示为：（31）式中：式中：表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为r的回转运动，则得到加速度和力的关系式为：的回转运动，则得到加速度和力的关系式为：（32）（33）2023/5/2633.1 惯性矩 式中，式中，和和N是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将式（是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将式（32）、）、（33）代入（）代入（31），得：），得：（34）令令 ，（，（34）可以变为：）可以变为：（35）式（式（35）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，I相当相当于平动时的质量，称为惯性矩。于平动时的质量，称为惯性矩。求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的微小物求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的微小物体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物体的质量体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物体的质量dm及其微小物体体积及其微小物体体积dV的关系可用密度的关系可用密度 表示为：表示为：2023/5/2643.1 惯性矩（310）（39）例例3 32 2 试求上例的杆绕重心回转时的惯性矩试求上例的杆绕重心回转时的惯性矩I IC C。解：由于该杆是重心位于中心的匀质杆，因此，可先就杆的一半解：由于该杆是重心位于中心的匀质杆，因此，可先就杆的一半来求解，然后再加倍即可。假定来求解，然后再加倍即可。假定x x为离杆中心的距离，则得到：为离杆中心的距离，则得到：解：微小物体的质量用线密度解：微小物体的质量用线密度（M/LM/L）表示，所以其惯性矩表示，所以其惯性矩为为 。因此将。因此将dIdI在长度方向积在长度方向积分，即可得到：分，即可得到：2023/5/2663.2 牛顿、欧拉运动方程式 图图3 33 3所示的单一刚体的运动方程式可用下式来表示：所示的单一刚体的运动方程式可用下式来表示：（311）式中，式中，m m（标量）是刚体的质量；标量）是刚体的质量；是绕重心是绕重心C C的惯性矩阵；的惯性矩阵；F FC C是作用于重心的平动力；是作用于重心的平动力；N N是惯性力是惯性力矩；矩；VcVc是重心的平移速度；是重心的平移速度；为角速为角速度。式（度。式（3 31111）及式（）及式（3 31212）分别被称为牛顿运动方程式及欧）分别被称为牛顿运动方程式及欧拉运动方程式。拉运动方程式。IcIc的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元素间的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元素间的惯性矩。的惯性矩。（312）2023/5/2673.2 牛顿、欧拉运动方程式 下面我们来求图下面我们来求图3 34 4所示所示1 1自由度机械自由度机械手的运动方程式。这种场合，由于关节轴手的运动方程式。这种场合，由于关节轴制约连杆的运动，所以可以把式（制约连杆的运动，所以可以把式（3 31212）的运动方程式看作是绕固定轴的运动。）的运动方程式看作是绕固定轴的运动。假定绕关节轴的惯性矩为假定绕关节轴的惯性矩为I I，取垂直纸面取垂直纸面的方向为的方向为Z Z轴，则得到：轴，则得到：（3 31313）2023/5/2683.2 牛顿、欧拉运动方程式 式中：式中：（3 31515）（3 31616）对对于于一一般般形形式式的的连连杆杆，在在式式（3 31313）中中，由由于于I I 除除第第三三分分量量以以外外，其其它它分分量量皆皆不不为为零零，所所以以 I I 不不是是零零向向量量。I I 的的第第1 1，2 2分分量量成成了了改改变变轴轴方方向向的的力力矩矩，但但在在固固定定轴轴的的场场合合，与与这这个个力力矩矩平衡的平衡的约约束力生成式（束力生成式（3 31414）的第）的第1 1，2 2分量，不分量，不产产生运生运动动。一般的机械手都是将多个刚体用关节连接的连杆机构，应该当一般的机械手都是将多个刚体用关节连接的连杆机构，应该当作刚体系统来处理。作刚体系统来处理。2023/5/26103.3 拉格朗日运动方程式 拉格朗日运动方程式可表示为：拉格朗日运动方程式可表示为：（3 31717）（3 31818）式式中中，q是是广广义义坐坐标标，是是广广义义力力，拉拉格格朗朗日日运运动动方方程程式式也也可可表表示为：示为：这里，这里，L L是拉格朗日算子；是拉格朗日算子；K K是动能；是动能；P P是势能。是势能。2023/5/26113.3 拉格朗日运动方程式 所以用所以用 置换式（置换式（3 31717）的广义坐标后得到下式：）的广义坐标后得到下式：（3 31919）它与前面的它与前面的结结果完全一致。果完全一致。下面推导图下面推导图3 35 5所示的所示的2 2自由度自由度机械手的运动方程式。机械手的运动方程式。在推导时，把在推导时，把 1 1，2 2当作广义当作广义坐标，坐标，1 1，2 2当作广义力求拉格朗当作广义力求拉格朗日算子，代入式（日算子，代入式（3 31717）即可得）即可得到。到。2023/5/26133.3 拉格朗日运动方程式 式中，式中，是第是第i i个连杆质量中心的位置向量。个连杆质量中心的位置向量。（3 32424）（3 32525）（3 32626）（3 32727）2023/5/26153.3 拉格朗日运动方程式 应该注意到各连杆的动能可用质量中心平移运动的动能和绕应该注意到各连杆的动能可用质量中心平移运动的动能和绕质量中心回转运动的动能之和来表示。质量中心回转运动的动能之和来表示。由式（由式（3 32424）（）（3 32727），得到式（），得到式（3 32020），（），（3 32222）中的质量中心速度平方和为：中的质量中心速度平方和为：利用式（利用式（3 32020）（）（3 32323）和式（）和式（3 32828），（），（3 32929），通过），通过下式下式 （3 32828）（3 32929）2023/5/26163.3 拉格朗日运动方程式（3 33333）（3 33434）（3 33737）（3 33535）（3 33636）2023/5/26183.3 拉格朗日运动方程式（3 33838）（3 33939）（3 34040）是惯性力；是惯性力；是离心力；是离心力；表示加在机械手上的重力表示加在机械手上的重力项，项，g g是重力加速度常数。是重力加速度常数。对于多于对于多于3 3个自由度的机械手，也可用同样的方法推导出运动方个自由度的机械手，也可用同样的方法推导出运动方程式，但随自由度的增多演算量将急剧增加。程式，但随自由度的增多演算量将急剧增加。2023/5/2619