数值分析7-4-5-牛顿法-弦截法课件.ppt

7.4 牛顿法/*Newton Method*/一、牛顿迭代法的公式二、牛顿迭代法的改进与推广原理：将非线性方程线性化泰勒展开/*Taylors expansion*/取 x0 x*，将 f(x*)在 x0 做一阶泰勒展开:在 x0 和 x*之间。将(x*x0)2看成高阶小量，则有：一、牛顿迭代法的公式线性/*linear*/xyx*x0只要 每一步迭代都有 f(xk)0，而 且，则 x*就是 f 的根。牛顿迭代法的基本思想将非线性方程 f(x)=0 的求根问题归结为计算一系列线性方程的求根问题。例 用牛顿迭代法求方程在 x=0.5 附近的根。取解 其牛顿迭代公式为取初值 x0=0.5，迭代结果见下表易见故k 0 1 2 3xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714 k 0 1 2 3 xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675例 2 计算 的近似值,=10-6 x0=0.88解：令 x=问题转化为求f(x)=x2-0.78265=0 的正根由牛顿迭代公式xk+1=xk-(xk)/(xk)=xk/2+0.78265/2xk迭代结果满足了精度要求,故0.884675设 f C2a,b，若 x*为 f(x)在a,b上的根，且 f(x*)0，则存在 x*的邻域定理（局部收敛性）Newtons Method产生的序列 xk 收敛到x*，且满足使得任取初值 Newtons Method 有，只要，就有 p 2。重根是线性收敛的。由泰勒展开：在单根/*simple root*/附近收敛快只要 f(x*)0，则令 可得结论。注：Newtons Method 收敛性依赖于x0 的选取。x*x0 x0 x0 正割法/*Secant Method*/Newtons Method 一步要计算 f 和 f，相当于2个函数值，比较费时。现用 f 的值近似 f，可少算一个函数值。x0 x1切线/*tangent line*/割线/*secant line*/切线斜率 割线斜率需要 2 个初值 x0 和 x1。收敛比Newtons Method 慢，且对初值要求同样高。例用弦截法求方程在x=0.5 附近的根。取解 取x0=0.5，x1=0.6 作为初始近似根，令其弦截法迭代公式为迭代结果见下表k 0 1 2 3 4 xk 0.5 0.6 0.56754 0.56715 0.56714易见故取初值 x0=0.5，牛顿迭代结果见下表k 0 1 2 3xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714