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大学物理习题集第一章质点运动学1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(f)=6/-2 .试求：(1)第 2 s内的位移和平均速度；(2)1s末及2s末的瞬时速度，第 2 s内的路程；(3)1s末的瞬时加速度和第2 s内的平均加速度.I解 答 (1)质点在第1s末的位置为:x(l)=6X l2-2 X l3=4(m).在第 2s 末的位置为：x(2)=6X22-2X 23=8(m).在第2 s内的位移大小为：Ax=x(2)-x(1)=4(m),经过的时间为A s i s,所以平均速度大小为：v=Ax/A/=4(m-s).(2)质点的瞬时速度大小 为:v(0=dr/dZ=12/-6?因 此 项)=12X1-6X12=6(m-sT),v(2)=12X2-6X22=0质点在第2 s内的路程等于其位移的大小，即 As=Ax=4m.(3)质点的瞬时加速度大小 为:a(0=dv/d/=12-12Z,因 此 Is末的瞬时加速度为：。=12-12X1=0,第 2s 内的平均加速度为:a=v(2)-v(l)/A/=0-6/1=-6(m-s2).I注意I 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.1.2-一 质点作匀加速直线运动，在 f=10s内走过路程s=3 0m,而其速度增为 =5 倍.试证加速度为q=2(l)s,并由上述数据求出量值.(+1)产 证明 依题意得必=w 0,根据速度公式V 产%+小，得a=(n-l)Vo/6(1)根据速度与位移的关系式匕2=%2+2於，得 7 =(M2-1)VO2/2S,(2)(1)平方之后除以(2)式证得：.=2(1)；计算得加速度为：.=2(5-1)3 0 m g).(5+1)1021.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5。的夹角的初速度65m s从西边起跳，准确地落在坑的东边.已知东边比西边低7 0 m,忽略空气阻力，且取g=lO n r b.问：(1)矿坑有多宽？他飞越的时间多长？(2)他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？一I解答 方法一：分步法.:(1)夹角用。表示，人和车(人)在竖直方向首先做竖直上抛运动，:7 0 m 初速度的大小为%)=vosine=24.87(nrs).图 L3取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式v,-v0=at,这里的”就是fa=_g；当人达到最高点时，匕=0,所以上升到最高点的时间为?i=v)，o/g=2.49(s).再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：202=2心，可得上升的最大高度为：=v,c2/2g=30.94(m).人从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为;%=+A=100.94(m).根据自由落体运动公式s=gt2/2,得下落的时间为:4=y =4.49(S).因此人飞越的时间为:t=h+t2=6.98(s).人飞越的水平速度为;)=v0cos9=60.05(m-s-1),所以矿坑的宽度为：x=%/=419.19(m).(2)根据自由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：匕尸卬=69.8(m-s),落地速度为:v=(vx2+vv2)1,2=92.08(ms1),与水平方向的夹角为：(p=arctan(vv/vx)=49.30,方向斜向下.方法二：一步法.取向上为正，人在竖直方向的位移为y=y g*/2,移项得时间的一元二次方程1 2gt-%sin 例+y=0,解得：/=(%sin 6 士 s i n2/9-2 g y)g .这里y=-70m,根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根,计算时间为：t=6.98(s).由此可以求解其他问题.1.4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即 dWd/=%A k为常数.(1)试证在关闭发动机后，船在/时刻的速度大小为1=+左/;v%(2)试证在时间/内，船行驶的距离为X=工仙(%左/+1).证明(1)分离变量得=-履/,故V可得：_L=_+.V%瞪=4*-0%(2)公式可化为y=，14-vkt由于 u=dr/也，所以：dr=At=-d(l+v0Zr/)1 +vkt 左(1+%七)积 分 及=(1+:反 严+%)0 o 看 卢，)因此 x=ln(v0A:/+l).证毕.k 讨论 当力是速度的函数时，W/=/(v),根据牛顿第二定律得/=加。.由于 Q=d2x/d/2,而 dx/dt=v,a=dv/d/,tridv分离变量得方程：d/=,f(v)解方程即可求解.在本题中，上已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的次方成正比，则dv/dr=-kvn.(1)如果=1,则得曳二一%山，v积分得 Iny=+C.当 1 =0 时，v=v0，所以 C=lny(),因此 Inv/o=-kt,得 速 度 为：丫 =好,.而 dy =肝 4,积分得:X =-Qk+C.-k当，=0时，x =0,所 以 C =v（A，因此x =%（1 七-）.dv尸（2）如果 W 1,则得=-k d t,积分得=-k t +C.V 1-/7v,-w 1 1当 f=0 时，v =v o 所以-=C,因此-=-+（M V）k t.-n v-限如果=2,就是本题的结果.图 1.7如果一可加W1,1.5 一质点沿半径为0.1 0 m 的圆周运动，其角位置(以弧度表示)可用公式表示：6=2+4 t 求:(1)f=2 s时，它的法向加速度和切向加速度；(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，。为何值？(3)在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答(1)角速度为。=明/也=1 2 金=4 8(r a d s“),法向加速度为 a“=r(o2=2 3 0.4(m-s-2)；角加速度为 =dw/d/=2 4/=4 8(r a d-s-2),切向加速度为0 =%=4.8(m V2).(2)总加速度为q =(a/+见2 严，当 q =a/2 时，有 4 a,2=a,2+a,2,即 an=at V3 .由此得厂 口 2=r/百，即(1 2 )2 =24/6，解得 尸=6/6.所以 0=2+4/3=2(1 +A/3/3)=3.1 5 4(r a d).(3)当时，可得力=r co,即：2 4/=(2)2,解 得：f=(l/6 严=0.5 5(s).1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v =3 0 0 m-s“，方向与水平线夹角为3 0。而斜向下,此后飞机的加速度为a =2 0 百 m V 2,方向与水平前进方向夹角为3 0。而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?解答 建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为Vox=VOCOS0,v()y=vosin 0.加速度的大小为ax=ac o sa,ay=asin a.运动方程为 x =vOxt+；a/，y=；ayt2 17即 x =v0 cos 0 t +a cos a t ,令y =0,解得飞机回到原来高度时的时间为：f =0 (舍去)；/=2%sin=0 0 .asma将，代入x的方程求得x=9000m.注意 选择不同的坐标系，如 x方向沿着。的方向或者沿着”的方向，也能求出相同的结果.1.7 一个半径为R=1.0 m 的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘，其自山端拴一物体4在重力作用下，物体/从静止开始匀加速地下降，在 加=2.0s内下降的距离=0.4m.求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.解答 圆盘边缘的切向加速度大小等于物体4 下落加速度.由于 M/q A/,所以 0 =2/z/Az2=0.2(m-s-2).物体下降3s末的速度为v=az/=0.6(m-s1),这也是边缘的线速度，因 此 法 向 加 速 度 为=0.36(m-s-2).1.8 一升降机以加速度1.22mg2上升，当上升速度为2.44m-s时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m.计算：(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间；(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.解答 在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为螺帽做竖直上抛运动，位移为h2=v0t-g t2.由题意得6=加-无，所以/?=；(“+g)/，解得时间为/=j2/?/(a+g)=0.705(s).算得2=-0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.注意 以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a+g，而初速度为零，可列方程h=(a+g)上/2,由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离.1.9 有架飞机从工处向东飞到8 处，然后又向西飞回到”处.已知气流相对于地面的速度为,AB之间的距离为/,飞机相对于空气的速率v 保持不变.21(1)如果=0 (空气静止)，试证来回飞行的时间为%=一；(2)如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为=Jl-w2/v2(3)如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为(=/0.y/-U2/v2I证明I(1)飞机飞行来回的速率为也路程为2/,所以飞行时间为，o=2/v.(2)飞机向东飞行顺风的速率为v+,向西飞行逆风的速率为，c因此 k x=k X +k 2X 2 即：k =k+k 2.图 2.42.5 如图所示，质量为加的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角0）及线中的张力T.（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度用沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成夕角；（4）用与斜面平行的加速度6把小车沿斜面往上推（设仇=6）；（5）以同样大小的加速度4 （历=6）,将小车从斜面上推下来.解答（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力图 2.5的作用，摆线偏角为零，线中张力为T=m g.(2)小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力.由于t an。=m a/m g,所以 0=ar ct an(q 念)；绳子张力等于摆所受的拉力：T(3)小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力,合力沿斜面向下，所以6 =外T =m gc o s(p.(4)根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，。角的对边是 m bc o s中,邻边是加g+m bs i n p,由此可得：八 m bc o sq)t an /=-=ma=m-x d广利 用v=d x/d t,可得d2x d v d x d v dvd/2 d/因此方程变为-=V-d/dx d r,mvdvkdx积分得 J+C2x利用初始条件，当 =沏 时，v=0,所 以。=依0，因此1-mv22 k k-v=即+证毕.讨 论 此 题 中，力是位置的函数：片 作)，利用变换可得方程：w vd v=X x)d x,积分即可求解.1 mv如果人工)=必，则 得22*=-哈1 9mv=-Z r I n x+C(1)当=1时，可 得2利用初始条件工=X 0时，v=0,所 以C=l nx(),因此 mv2=Z:I n 2 x,即v=0X1 2 k i.mv=-x+C(2)如果勿W l,可 得2 -n因此C=-十利用初始条件x=xo时，v=0,所以 一 1即v=2k 1(Z 7-1)/7 7 X -当=2时，即证明了本题的结果.2.9 一 质 量 为 加 的 小 球 以 速 率 为从 地 面 开始竖直向上运动.在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比 例 系 数 为 七 求：(1)小球速率随时间的变化关系v(z)；(2)小球上升到最大高度所花的时间T.解答(1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程d v/=-m g -k v =m d/,d vd/=-m-分离变量得m d(mg+Av)mg+kv k mg+kv,t =-I n（m g +k v）+C积分得 k .mC=I n（，%g +E（）当r =0时，v=v0所以 k ,t _ m n m g+h _ m m mS 1 k +v因此 k m g +k v0 k m g/k +vQ（小球速率随时间的变化关系为v=（%+等）e xp（一 与 一 等k m k .（2）当小球运动到最高点时口 =0,所需要的时间为7=生 I n 也4=l n（l +组）k m g I k k m g 讨论（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由于v=d x4k,所以+等）e xp（-4-等业即,m（y.+m g/k）,/k t.m gd r=-d e xp（）一 一-d/k m k ,积分得x=/（%+%）e xp（-与-些，+Ck m k ,当/=0时，x=0,所以C、=做 V。+m g /k）k ,因此k m k .（2）如果小球以小的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为f m g -k v =用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为一等一（等_%）e xp（一 与k k m,这个公式可将上面公式中的g改为唔得出.山此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数为=m g/k.2.1 0如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半 径 为R.一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为设物体在某时刻经/点时速率为为，求此后时刻，物体的速率以及从4点开始所经过的路程.解答 物体做圆周运动的向心力是山圆环带对物体的压力，即 A v0N=mv2/R.物体所受的摩擦力为f=-N k N，d负号表示力的方向与速度的方向相反.根据牛顿第二定律得 图21v2 d u/=u,m-=m A R d/,=+C积分得：R v .d v即当/=0 时，v=v0所以 ，出1 v-%因此 R v%.解 得 I+/W/R由于dY=%出=A d(l +J R)1+/W/R 4 1+出 川/火，积分得x=l n(l +)+C“R ,x=I n (1 +A-2-)当 1 =0时，X=XQ,所以C=0,因此%R2.1 1 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子.今逐渐增大圆环的转动角速度3,试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置.直径的夹角6表示.解答 珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F =m gt gf).珠子做圆周运动的半径为r =R sm d.根据向心力公式得F=?g tg。=m aT R sm O,可得9二R心COS 0,8 =a r c c os7解得 R：以珠子所停处的半径与竖直图 2.1 2(二)力学中的守恒定律2.1 2 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动.弹力尸=-丘，而位移x=/c os”/,其中A,4和3都是常数.求在，=0至 h=的时间间隔内弹力予小球的冲量.解答 方法一：利用冲量公式.根据冲量的定义得d i=F d t =-k A c o sc o d,积分得冲量为r/2a)(-k A c os a)t)6tk A .皿 kA=-S i n 6 9/=-0)o(1)方法二：利用动量定理.小球的速度为 v=d x/d t =-c o A sin c o t f设小球的质量为加，其初动量为pi =加修=0,末动量为p z =m g =-m c o A,小球获得的冲量为/=P2-Pi=-加 4,可以证明k =m a匕因此/=-k A la).2.1 3 一个质量m=5 0 g,以速率的u=20nrs作匀速圆周运动的小球，在 1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？解答 小球动量的大小为p=wv,但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义P=P2-P 得：5 2=R+酝，由此可作矢量三角形，可得：Ap=V2p=V2wv.因此向心力给予小球的的冲量大小为/=3=1.41(N-s).注意 质点向心力大小为尸=加;/几方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量，口 丁 TI -r t-m-R 42TTR/T T 7 tm v-=m v火 4 2.假设小球被轻绳拉着以角速度c o =v/R运动，拉力的大小就是向心力F =m /R =m c o v,其分量大小分别为Fx=F c o sG=F c o sc o t,Fy=F sin O=Fsincw6给小球的冲量大小为d/v=Fxd t =F c o sc o t d t,d lv=Fvd t =F sin c o t d t,积分得T/4 pF cos cotdt=sin cotocoF=m vCOT/4Fsin69/d/F=m vCD合冲量为7740F-COS 69/0)r/40I -+/；=6m v与前面计算结果相同，但过程要复杂一些.2.1 4 用棒打击质量0.3kg,速率等于2 0 m 的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度.求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s,求球受到的平均冲力？解答 球上升初速度为-=4 皿=14(m-sT),其 速 度 的 增 量 为=M+v；=24.4(m-s-).棒给球冲量为I =n iA v=7.3(N s),对球的作用力为(不计重力)：尸=f=366.2(N).vx2.1 5 如图所示，三个物体/、B、C,每个质量都为M,8 和 C 靠在一起，放在光滑水平桌面上,两者连有一段长度为0.4 m 的细绳，首先放松.B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连.已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳 子 长 度 一 定.问/和 8起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？(取g =1 0 m s-2)解答 物体Z受到重力和细绳的拉力，可列方程M g-T =Ma,物体8在没有拉物体。之前在拉力7作用下做加速运动,加 速 度 大 小 为 可 列 方 程：T=Ma,联立方程可得：a=g/2=5(m-s2).根据运动学公式=%+#/2,可得8拉 C 之前的运动时间；t =J 2 s/a=o.4(s).此时8的速度大小为：v =a/=2(m-s-1).物体/跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动.4和 8拉动C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2 Mv =3 Mv ,因此C 开始运动的速度为：v,=2 v/3 =1.3 3(m-s1).2.16 一炮弹以速率小沿仰角6的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此4 5。仰角上飞，一块沿4 5。俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？解答炮弹在最高点的速度大小为V=VOCOS 0,方向沿水平方向.根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得w v/2 =v c os4 52 ,所以 v =v/c os4 5 =四 CO S 6.2.1 7 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R.设马对雪橇的拉力总是平行于路面.雪橇的质量为相，它与路面的滑动摩擦因数为.当把雪橇由底端拉上4 5。圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？解答 取弧长增加的方向为正方向，弧位移#的大小为由=R d f).重力G的大小为：G =m g,方向竖直向下，与位移元的夹角为冗+仇 所做的功元为d%=d?=G c os(e+7 r/2)小=-m g R sin 0d 0,积分得重力所做的功为5。45掰 二1 (一/g A si n 6)d 6 =m g R c os 0o,V 2=-(l-摩擦力了的大小为：=9g e os仇方向与弧位移的方向相反，所做的功元为d W2=f d s=f c os江 d s-ukm g c os B R d e积分得摩擦力所做的功为m g图 2.1 7/(-77A.m g R c os )d 045-pkm gR sin 0-马 2o要 使 雪 橇 缓 慢 地 匀 速 移 动，雪 橇 受 的 重 力 G、摩 擦 力 和 马 的 拉 力 户 就 是 平 衡 力，即F+G +f =Of或者 户=一(6+/).拉力的功元为：d%=A d =-(G-d J +/-d S)=-(d%+d%),拉力所做的功为V 2 V 2%=-(+%)=(1一3+才 出)照，由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功.2.18 一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动.设质点最初的速率是小,当它运动1 周时，其速率变为均/2,求：(1)摩擦力所做的功；(2)滑动摩擦因数；(3)在静止以前质点运动了多少圈？解答(1)质点的初动能为：&=?诏/2,末动能为：E2=WV2/2=w v o2/S,动能的增量为：=E2-E=-3WV02/8,这就是摩擦力所做的功W.(2)由于(1 匹=-fA s=-R k N d s=-k m gv d e,积分得：%=(一 4 加 g r)d 8 =-27 T L ikm gr由 于%=A,可得滑动摩擦因数为1 6 7 r g/(3)在自然坐标中，质点的切向加速度为：at=f/m =根据公式匕2 _八 2 =2。岛 可得质点运动的弧长为3=V；=片 _ 8 勿2。2%g 3 ,圈数为 =s/2it r=4/3.I 注意I 根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：小=皿,可 得 s =-/；由此也能计算弧长和圈数。2.19如图所示，物体力的质量根=0.5 k g,静止于光滑斜面上.它与固定在斜面底B端 的 弹 簧M相 距 s =3m.弹簧的倔强系数k =4 0 0 N-m L 斜面倾角为4 5。.求当物体N 由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？解答 取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体力和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程图 2.1 9.1 ,m gs s i n 0-m gx s i n +k x整理和一元二次方程1 2.3k x-m g xs i n 0+m gs s i n =0解得m g s i n 8 J (m g s i n 0)2+2k m g s i n 0 x-k=0.2 4(m)(取正根).2.2 0 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞.如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直.I 证明 设一个小球碰撞前后的速度大小分别为和 V,另一小球的在碰撞后的速度大小为也，根据机械能守恒得1 2 1 2 1 2m v0=m v+w v2即 V0=V12+V2；根据动量守恒得：瓦=R+瓦，其中各动量的大小为:Po =皿 0、P l=%也和。2 =加 2,对矢量式两边同时平方并利用法书2 =mmv2 c os e得：A）=Py+Pl+2 Pl p2 c os 0,即.W2VQ=zw2V 12+m2v +2/w2V jV2 c os 0化简得：vo =片+M+2 V M e o s e,结合机械能守恒公式得：2 v i 2 c o s 0 =0,由于M和也不为零，所以：8 =兀/2,即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直.2.2 1 如图所示，质量为1.0 k g 的钢球如系在长为0.8 m 的绳的一端，绳的另一端。固定.把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0 k g 的钢块g 作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度.解答 钢球下落后、碰撞前的速率为：%二廊.钢球与钢块碰撞之后的速率分别为4 和 v f,根据机械能守恒和动量守恒得方程1 2 1、2上 1、2mv=5加 产 1+5掰2n 2加 匕=加 4 +团2V2整理得叫5-吟）=%吟加|（匕 一 丫|）=掰2 险.将上式除以下式得：修+h,=序，代入整理的下式得图 2.2 1解得加 匕 一m 匕=/%匕+加2匕，耳二（仍一%）匕m1+加2碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为%=止=-L （生二心）2呼=（班-吗）2/2 g 2g 町+加2 1 皿+加2=o.3 6（m）.讨论 如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程1 2 1 2 1 、2 1 、22 掰昌+-m2v2=-miV；+-m2v2mvx +m2V2=町匕+m2v2.同理可得%+%=%+%._（4 一相 2）W+2加 2 y2从 而 解 得 叫+加2将下标1和2对调得+/2v2），或者 叫+加2_(m2 /w1)v2+2m wmx+m2v _ 2(?/+加2匕)%,或者/W +掰2myx+m-,v2后一公式很好记忆，其 中 外+”2代表质心速度.2.22质量为根的物体，从质量为/的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为几 张角为兀/2,如图所示，所有摩擦都忽略，求：（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？（2）在物体从Z滑到8的过程中，物体对槽所做的功名（3）物体到达8时对槽的压力.解答（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得1 ,1 2mgR=mv+MV根据动量守恒定律得：0=mu+MV.因此mgR-1m v,+1-MVy 9=-m1 v?4-1-(mv)?2 2M 2 2M,解得v=晅M +m,从而解得：+（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量W-M V12 M+m.（3）物体在槽底相对于槽的速度为v=v-V =物体受槽的支持力为N,则m(1+-)v=MM+m 2(A/+MgRMv2N-mg-m R,因此物体对槽的压力为y2 2mN=mg+m =(3d-)mg2.23在实验室内观察到相距很远的一个 质 子（质量为,即）和一个氮核（质量为4/np）沿一直线相向运动：速率都是出,求两者能达到的最近距离.解答当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得4/M pV o-mpvQ=（4mp+m v,因此 v=3v（/5.质子和氮核都带正电，带电量分别为e 和 2 e,它们之间的库仑力是保守力.根据能量守恒定律得|叫 说+1 (4mp)片=1 (5m)v2+k 2 2 P 2 q,2 e2 5 2 2 8 2k一=j m p(%_ y-)=机/j因 此rm 2 55 k e2rm=-所以最近距离为：4WPVO.2.2 4 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆.问：囹 2 2 4(1)摆球对悬挂点的角动量守恒吗？(2)求出/时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？(3)计算摆球在。角时对悬挂点角动量的变化率.解答(1)由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩/不变；由于角动量 =mW,所以角动量不守恒.(2)当单摆逆时针运动时、角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变.(3)质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此角动量的变化率为=M=FJ=mgl s in 0 GMmE=-2.2 5 证明行星在轨道上运动的总能量为 4+4 .式 中 M 和 他 分别为太阳和行星的质量，打和 2分别为太阳和行星轨道的近H 点和远11点的距离.证明 设行星在近日点和远日点的速度分别为V I和艺，山于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为E=1 2丁GMmr和1 2 GMmE=mv2-2 r2(1)(2)它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒.行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程m v r =m 2,即 也门=也 尸2(3)将(1)式各项同乘以r/得：Er =w(v ir j)2/2 -GMn n y,(4)将(2)式各项同乘以厂2?得：Er 2=W(V2 2)2/2 -GMm r (5)将(5)式 减(4)式，利 用(3)式，可得：E(r22-r2)=-GMm(r2-r),(6)由于 不等于尸2，所以：(尸2+)E=-G A/W,GMmE=-故 斗十弓.证毕.(三)刚体定轴转动2.26质量为用的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R 和&，求对通过其中心轴的转动惯量.解答 设圆柱体的高为，其体积为夕=兀(&2 尺-)，体密度为p =M/V.在圆柱体中取一面积为5=2兀 应/,厚度为“的薄圆壳，体积元为d K=S d r =2n r Hd r,其质量为d m =p d K,绕中心轴的转动惯量为d/=Jd w =2 即/d r,总转动惯量为I=2兀pH p r3dr=二 兀加 2=(后+吊)2.27 一矩形均匀薄板，边长为a和6,质量为“，中心。取为原点，坐标系O X T Z如图所示.试证明：(1)薄板对0 X轴的转动惯量为.?一,IOz M(a2+b2)h/I(2)薄板对O Z轴的转动惯量为“1 2 11/证明薄板的面积为S =a b,z/一质量面密度为c=MS 图2.2 7(1)在板上取一长为。，宽为3的矩形元，其面积为d S =4P,其质量为A m=a d S,绕X轴的转动惯量为d lox=y2d m =aay2d y,积分得薄板对0 X轴的转动惯量为=(jab3=Mb212 12同理可得薄板对。丫 轴的转动惯量为=Ma2OY 12(2)方法一：平行轴定理.在板上取一长为6,宽为d r的矩形元，其面积为d S =hd x,质量为A m =ad S,绕过质心的O Z 轴 的转动惯量等于绕轴的转动惯量d/z =b2d m/U.根据平行轴定理，矩形元对O Z轴的转动惯量为d lo z=x2d m+d/0 N=(r bx2d x+b2 d m/i2,积分得薄板对O Z轴的转动惯量为a/2 Ioz (jb J x2dx H-b?allall Jdm=J/9峥 2+/)(yhx3方法二：垂直轴定理.在板上取一质量元d/w,绕0 Z轴的转动惯量为d 7o z =/d z.由于/=f +/，所以(Ho z=(x2+y2)d m =d IOY +d【o x，因此板绕0Z轴的转动惯量为1 ,2.28 一半圆形细杆，半径为火，质 量 为 求 对 过 细 杆二端A T轴的转动惯量.解答 半圆的长度为C =J t R,质量的线密度为2 =M/C.在半圆上取一弧元d y =7?d 0,其质量为d/n=2 d 5,到 4 r轴的距离为/=R s i n仇 绕此轴的转动惯量为d i半圆绕44 轴的转动惯量为I AT?3 J s i n2 0A 0=小(1 -co s 2 6)d 6o()2-AR3=-M R2222.2 9 如图所示，在质量为，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔.圆孔中心在圆盘半径的中点.求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.解答 大圆的面积为S =7J?2,质量的面密度为。=MS大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为/”=M 7?2/2.小圆的面积为S =7t J,质量为相=(T S,绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为I c=，疗2/2,根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为=I c+w(/?Z 2)2./，”=/c+/(y)2=m(2r-+R2)i i r2；ar r r2(2 r2+/?2)=-M (2r2+R2)剩余部分的转动惯量为/=-2/“=匆(上 一/热2.3 0 飞轮质量机=60 k g,半径K=0.2 5m,绕水平中心轴。转动，转速为90 0 r 加布.现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力户，可使飞轮减速.闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.(1)设尸=1 0 0 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？(2)若要在2 s 内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力产？解答 设飞轮对闸瓦的支持力为N ,以左端为转动轴，在力矩平衡时有：0.5M-1.2 5尸=0,所以：N=2.5尸=2 50(N).闸瓦对飞轮的压力为;N =N=2 50(N),与飞轮之间摩擦力为：f=n N=1 0 0(N),摩擦力产生的力矩为：M=J R.飞轮的转动惯量为：/=%尸/2,角加速度大小为：0=-M/l=-2f/m R =-40/3(r a d-s-2),负号表示其方向与角速度的方向相反.飞轮的初角速度为t w o =3 O 7i(r a d-s-).根据公式 co =0+43 当 =0 时，t =-a)o/=7.0 7(s).再根据公式/=,病+2 偌，可得飞轮转过的角度为。=_ g2/2 6=3 3 3(r a d),转过的圈数为 =J/2n=53r.注意 圈数等于角度的弧度数除以27t.(2)当 f=2 s,(0=3(/2时，角加速度为 =-。=-7.5兀.力海一为M =-10,摩擦力为/=他欠=-加印/2=(7.5)2 7t.闸瓦对飞轮的压力为N=，需要的制动力为F =N/2.5=(7.5)2兀=176.7(N).2.31轻绳绕于厂=0.2m的飞轮边缘，以恒力F=9 8 N拉绳，如 图(a)所示.已知飞轮的转动惯量/=0.5kg-m2,轴承无摩擦.求(1)飞轮的角加速度.(2)绳子拉下5m 时，飞轮的角速度和动能.(3)将重力尸=98N的物体挂在绳端，如 图(b)所示，再 求上面的结果.解答 恒 力 的 力 矩 为 M=19.6(N-m),厂、厂对飞轮产生角加速度为夕=M f=39.2(radT).I y(2)方法一：用运动学公式.飞轮转过的角度为。=s/r=25(rad),由于飞轮开始静止，根 据 公 式 疗=2仇 可得角速度为 由=J 2 =44,27(rad.s)；飞轮的转动动能为Ek=lc o2/2=490(J).方法二：用动力学定理.拉力的功为沙=bs=490(J),F=98N(a)尸=98N(b)图 2.31根据动能定理，这就是飞轮的转动动能&.根据公式&=/4/2,得角速度为=J 2 E J I=44,27(rad-s-1).(3)物 体 的 质 量 为=尸 在=10(kg).设绳子的张力为T,贝 iJP-T =?q,T r =I p.由于q=夕 厂，可得Pr =m/p +I,解得角加速度为(3=Prw f +/=21.8(rad-s-2).绳子的张力为T 忆J Pr m r +1=54.4(N).张力所做的功为W=T s=272.2(J),这就是飞轮此时的转动动能E .飞轮的角速度为丘 飞 2 E J 1=33(radN).2.3 2 质量为m,半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示.盘与水平面的摩擦因数为，圆盘从初角速度为3。到停止转动，共转了多少圈？解答 圆盘对水平面的压力为义=777g,压在水平面上的面积为S =成 2,压强为p =N/S =m g/n R2./厂-V。/当圆盘滑动时，在盘上取一半径为八对应角为曲 面积元，/(其面积为 6S =r d d d r,/对水平面的压力为d N =p d S =p r d r d ff,所受的摩擦力为 g M N-pd仇 周其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为d M=r d f=/j p Kd r d O,总力矩为 2M =瓦=飞 m g R圆盘的转动惯量为/=求 2/2,角加速度大小为”=一 亚I 3R,负号表示其方向与角速度的方向相反.根据转动公式丁=3 0?+2夕仇当圆盘停止下来时。=0,所以圆盘转过的角度为0=a=3aR一 邛 8g,转过的圈数为6 _ 3 破？n 2%16%/g 注意 在圆盘上取一个细圆环，其面积为由=2兀,“，这样计算力矩等更简单。2.33一个轻质弹簧的倔强系数为4=2.0N-m L它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为%=80g的物体相连，如图所示.定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r=0.05m,质量为m =100g.先用手托住物体协，使弹簧处于其自然长度，然后松手.求物体如下降a=0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑.解答 根据机械能守恒定律可列方程其中/=m r2/2,a）=v/r,可得2m gh-k h2=/W|V2+m v2/2,解得v=h-k h2+2 =1,48(m-s-1).2.34均质圆轮/的质量为M，半径为公,以角速度。绕。杆的/端转动，此时，将其放置在另