概率论与数理统计第二章随机变量及其分布第15节课件学习教案.pptx

会计学 1概率论与数理统计第二章 随机变量(su j bin lin)及其分布第1 5节课件第一页，共111 页。1、有些试验结果本身与数值有关(yugun)（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上(min shn)出现的点数；四月份哈尔滨的最高温度(wnd)；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；第1 页/共110 页第二页，共111 页。2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关(wgun)，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立(jinl)了一种对应关系.第2 页/共110 页第三页，共111 页。这种对应关系在数学上理解为定义了一种(y zhn)实值单值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家(dji)接触到的函数不一样！第3 页/共110 页第四页，共111 页。（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而(yn r)在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有(jyu)一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.称这种定义(dngy)在样本空间S上的实值单值函数X=X(e)为随量机 变简记为 r.v.第4 页/共110 页第五页，共111 页。而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母 x,y,z,w,n等.随机变量通常(tngchng)用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示第5 页/共110 页第六页，共111 页。有了随机(su j)变量,随机(su j)试验中的各种事件，就可以通过随机(su j)变量的关系式表达出来.引入随机变量(su j bin lin)的意义 如：单位时间内某电话(dinhu)交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件收到不少于1次呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 第6 页/共110 页第七页，共111 页。随机变量概念的产生(chnshng)是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件(shjin)及事件(shjin)概率随机变量(su j bin lin)及其取值规律第7 页/共110 页第八页，共111 页。我们(w men)将研究两类随机变量：如“取到次品(cpn)的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量(su j bin lin)离散型随机变量连续型随机变量例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.随机变量的分类第8 页/共110 页第九页，共111 页。这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同(xin tn)或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.随机变量连续型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点(tdin)和描述方法.第9 页/共110 页第十页，共111 页。例如(lr)，连续掷一颗骰子两次，观察(gunch)两次出现的点数之和。其样本空间为S=(i,j),i,j=1,2,3,4,5,6.我们(w men)关心的并不是第一次、第二次出现的点数，而是两次出现的点数之和是多少。如果以 X 表示两次出现的点数之和，则对于每个样本点e=(i,j),X都有一个值与之对应,X=i+j，其可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.X取不同的值，代表着不同的随机事件。(X是离散型)第10 页/共110 页第十一页，共111 页。再如，在一批灯泡中任取一只，测试(csh)其寿命。其样本空间为 如果用X表示灯泡的寿命值,则每一个灯泡的测试结果即每一个样本点都对应(duyng)着 X 的一个值，且X取不同值对应(duyng)着不同的事件。如 X=1000（小时）表示“灯泡的寿命为1000小时”，（小时）表示“灯泡的寿命为小于或等于1500小时”。（X是连续型）在上述两例中，试验的结果本身就是数量性质的随机现象，可直接用某一变量来表示(biosh)。但还有一些试验的结果不能直接用数量表示(biosh)。第11 页/共110 页第十二页，共111 页。例如考察一台机器在一年内是否发生故障这一随机现象，可能的结果共有两个，“完好”或“故障”。它们并不表示为数量；又如掷硬币(yngb)的试验也一样。对这些试验的结果，我们可以把它们数量化，如引入一个只取两个值(1或0)的变量X，用“X=1”表示机器完好这一随机事件，用“X=0”表示机器发生故障(gzhng)这一随机事件。（X是离散型的）第12 页/共110 页第十三页，共111 页。解：分析(fnx)再如 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得(bu de)把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当 0.15 X1000 0.1时，报童(botng)赔钱 故报童赔钱 X 666（X是连续型的）报童赔钱 卖出的报纸钱不够成本 由此可知，随机试验的结果往往可以用一个变量来表示，变量取什么值由试验的结果决定，而试验结果又是样本空间的一个子集。为此，我们给出随机变量的定义。第13 页/共110 页第十四页，共111 页。定义定义(dngy)(dngy)：设随机(su j)试验的样本空间为S=e。X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称 X=X(e)为随机(su j)变量。随机变量一般用大写的字母如X,Y,Z 等表示(biosh),而随机变量的取值一般用小写的字母如x,y,z表示(biosh)。随机变量X X 常常简记为 rr.v.X。随机变量与一般的变量用着本质的区别，主要表现在：(1)取值的随机性-即X取哪个值在试验之前无法知道.(但在试验之前X的所以可能取值是已知的)(2)取值的统计规律性-即X取某个值或在某个区间内取值的概率是完全确定的。第14 页/共110 页第十五页，共111 页。随机变量的引入，使我们能用其来描述各种随机现象，使我们有可能(knng)利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论。在实际(shj)中，常用的随机变量有如下两类：(1)离散(lsn)型随机变量 这类随机变量的主要特征是它们可能取的值是有限个或无限可列个；除了离散型随机变量以外的随机变量。(2)非离散型随机变量 非离散型随机变量的情况比较复杂，在实用中,常遇到的是它的一个特殊情形-连续型随机连续型随机变量变量。这类随机变量的主要特征是它们可能的取值充满了某个有限或无限的区间。第15 页/共110 页第十六页，共111 页。第二节 离散型随机变量(su j bin lin)及其分布律 离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值。为了全面地描述离散型随机变量，我们不仅要知道(zh do)它可能取的值是哪一些，而且还要知道(zh do)它取这些值的概率是多少。只有这样，才能确切地掌握离散型随机变量的统计规律性。设离散型随机变量(su j bin lin)X所有可能的取值为X取各个可能值的概率，即事件的概率为则称上述一系列等式为离散型随机变量X的分布律的分布律。第16 页/共110 页第十七页，共111 页。离散型随机变量X的分布律也可以用表格(biog)形式给出：由概率的定义可知，离散型随机变量的分布(fnb)律具有以下两个性质：第17 页/共110 页第十八页，共111 页。例1：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过。以X表示(biosh)汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律。解：以p表示每组信号灯禁止汽车通过(tnggu)的概率，则以p=1/2代入并列(bngli)成表格，得第18 页/共110 页第十九页，共111 页。例2：一袋中装有5只球，编号(bin ho)为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出X的分布律。解：列成表格(biog)，得第19 页/共110 页第二十页，共111 页。几个常用的离散型随机变量(su j bin lin)的分布（一）两点分布(fnb)（贝努利分布(fnb)）如果离散型随机变量(su j bin lin)X只取a，b两个值，且其分布律为则称离散型随机变量X服从两点分布(贝努利分布)或称离散型随机变量X的分布为两点分布。当 a=0，b=1 时，又称（0 1）分布则称E为贝努利试验贝努利试验。第20 页/共110 页第二十一页，共111 页。（二）（二）贝努利试验 贝努利试验(shyn)(shyn)、二项分布、二项分布则称E为贝努利试验(shyn)。将贝努利试验独立重复(chngf)地进行n次，则称这一串重复(chngf)的独立试验为n重贝努利试验。若在n重贝努利试验中，事件A发生的次数为X，则X的可能的取值为0,1,n。而人们所关心的问题是：事件A恰好发生k次的概率是多少？则：第21 页/共110 页第二十二页，共111 页。则有显然(xinrn)，-二项概率(gil)公式第22 页/共110 页第二十三页，共111 页。如果离散(lsn)型随机变量X可能取的值为0,1,2,n。且其分布律为则称离散(lsn)型随机变量X服从二项分布，记为特别(tbi)地，当n=1时，即为（0-1）分布。事件A至少出现m次的概率为第23 页/共110 页第二十四页，共111 页。例1：某人(mu rn)进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解：解：将一次射击(shj)看成是一次试验（贝努利试验）设击中的次数(csh)为X，则X的分布律为所以所求概率为第24 页/共110 页第二十五页，共111 页。例2：某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.02，问至少(zhsho)必须进行多少次独立射击，才能使至少(zhsho)击中一次的概率不少于0.9。解：设 X 为n次射击(shj)中射中的次数，则第25 页/共110 页第二十六页，共111 页。例3：某店内有4名售货员，据以往经验(jngyn)，每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟。问该店应配置几台秤较为合理？解：观察(gunch)一名售货员是否用秤作为一次试验（贝努利试验）X 的分布(fnb)律为则观察四名售货员在某一时刻是否都在用秤就是4重贝努利试验设某一时刻需用秤的售货员人数为X，则第26 页/共110 页第二十七页，共111 页。则由此可见，配置(pizh)2台秤较为合理。第27 页/共110 页第二十八页，共111 页。例4：从某工厂的产品中进行重复(chngf)抽样检查，共取出200件样品，经检查后发现其中共有4件次品。问能否相信该厂出次品的概率不超过0.005？解：先假设(jish)该厂出次品的概率为 0.005，那么200件样品中的次品数 X 服从则200件样品(yngpn)中有4件次品的概率为这说明，当该厂出次品的概率为0.005时，检查200件产品发现有4件次品的事件是小概率事件，因为小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在居然发生了。因此，我们有理由怀疑原来的假设有问题。即该厂出次品的概率不超过0.005不可信。第28 页/共110 页第二十九页，共111 页。例5 已知100个产品(chnpn)中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此(ync)这3 次试验的条件完全相同且独立，它是3重贝努里试验.依题意，每次试验(shyn)取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：则X b(3,0.05)，第29 页/共110 页第三十页，共111 页。若将本例中的“有放回”改为(i wi)”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.请注意(zh y)：第30 页/共110 页第三十一页，共111 页。（三）（三）泊松分布 泊松分布(fnb)(fnb)如果离散(lsn)型随机变量X可能取的值为0,1,2,且其分布律为则称离散型随机变量(su j bin lin)X服从泊松分布，记为第31 页/共110 页第三十二页，共111 页。在现实生活中有许多随机现象服从泊松分布，这种情况特别集中在两个领域中，一是社会生活中的服务领域，如电话交换台在一段时间内来到的呼叫数；公共汽车站在一段时间内来到的乘客数；某地区在一天内邮递遗失的信件(xnjin)数；某一医院在一天内的急诊人数；某一地区在一段时间间隔内发生的交通事故数等。另一领域是物理学，如在一段时间内由放射性物质发出的、落在某区域内的质点数；在一段时间内由显微镜观察得到的落在某区域内血球数等。它们都服从泊松分布。第32 页/共110 页第三十三页，共111 页。第33 页/共110 页第三十四页，共111 页。例2 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证(bozhng)不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解:设该商品(shngpn)每月的销售数为X,已知X服从(fcng)参数=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m件,求满足P X m 0.95 的最小的m.进货数销售数第34 页/共110 页第三十五页，共111 页。求满足P X m 0.95 的最小的m.查泊松分布(fnb)表得P383PXm 0.05也即于是(ysh)得 m+1=10,m=9件或第35 页/共110 页第三十六页，共111 页。例3（15题）利用(lyng)泊松逼近二项分布第36 页/共110 页第三十七页，共111 页。练习题第37 页/共110 页第三十八页，共111 页。第38 页/共110 页第三十九页，共111 页。第39 页/共110 页第四十页，共111 页。第40 页/共110 页第四十一页，共111 页。第41 页/共110 页第四十二页，共111 页。第42 页/共110 页第四十三页，共111 页。第三节 随机变量(su j bin lin)的分布函数 对于非离散型随机变量X，由于其取值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来刻画它。另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于0（这一点在下一节将会讲到）。再着，在实际问题的讨论中，对有些随机变量，例如误差，元件的寿命T等，我们并不会对误差，寿命T=1251.3(h)的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某个值的概率，因而我们现在考虑随机变量所取的值落在一个区间的概率：第43 页/共110 页第四十四页，共111 页。为此，现引入随机变量的分布(fnb)函数的概念。定义定义(dngy)(dngy)：设X是一个(y)随机变量，x是任意实数，函数称为X的分布函数。分布函数具有以下几个性质：(1)F(x)是x的不减函数，第44 页/共110 页第四十五页，共111 页。(4)F(x)至多(zhdu)有可列个间断点，且在其间断点处是 右连续的。对离散型随机变量(su j bin lin)X，若其分布律为则其分布(fnb)函数为第45 页/共110 页第四十六页，共111 页。如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示 X落在区间 内的概率.第46 页/共110 页第四十七页，共111 页。(1)在分布函数的定义(dngy)中,X是随机变量,x是参变量.(2)F(x)是r.v X 取值不大于 x 的概率(gil).(3)对任意(rny)实数 x1x2，随机点落在区间(x1,x2 内的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.=P X x2-P X x1=F(x2)-F(x1)请注意:第47 页/共110 页第四十八页，共111 页。分布函数是一个普通的函数，正是(zhn sh)通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.第48 页/共110 页第四十九页，共111 页。设离散(lsn)型 r.v X 的分布律是P X=xk=pk,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=即F(x)是 X 取 的诸值 xk 的概率(gil)之和.一般一般(ybn)(ybn)地地则其分布函数第49 页/共110 页第五十页，共111 页。例1：设随机变量(su j bin lin)X的分布律为求X的分布(fnb)函数，并求解：第50 页/共110 页第五十一页，共111 页。即分布(fnb)函数F(x)为F(x).-1 1 2 3 x 1.。第51 页/共110 页第五十二页，共111 页。第52 页/共110 页第五十三页，共111 页。例3：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心(yunxn)的距离。试求随机变量X的分布函数。解：故得 k=1/4，于是(ysh)上面两个(lin)例子是离散型的。第53 页/共110 页第五十四页，共111 页。即分布(fnb)函数F(x)为F(x).-1 1 2 3 x 1.第54 页/共110 页第五十五页，共111 页。容易(rngy)看出，对上述的F(x)，存在(cnzi)f(t)，使得 这就是说，F(x)恰是非负函数 f(t)在区间 上的积分。在这种情况(qngkung)我们称X为连续型随机变量。第55 页/共110 页第五十六页，共111 页。第四节 连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度 如果(rgu)对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任意(rny)实数 x 有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。可以证明连续型随机变量X的分布函数 F(x)是连续函数。概率密度函数 f(x)的性质：第56 页/共110 页第五十七页，共111 页。概率密度的性质(xngzh)f(x)xo面积为1这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.v X 的概率密度的充要条件第57 页/共110 页第五十八页，共111 页。利用概率密度可确定随机(su j)点落在某个范围内的概率(3)对于(duy)任意实数 x1,x2,(x1 x2),对 f(x)的进一步理解(lji):若 x 是 f(x)的连续点，则 故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X 落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.第58 页/共110 页第五十九页，共111 页。也表明f(x)不是 X 取值 x 的概率，而是 X 在 x点概率分布的密集程度。由 f(x)的大小(dxio)可反映出X 在 x 点附近取值的概率大小(dxio)。第59 页/共110 页第六十页，共111 页。由上式，还可得：对连续型随机变量(su j bin lin)X，有因此(ync)，如A是不可能事件，则 P(A)=0,但反之不然。另外(ln wi)有：请注意与离散型的不同第60 页/共110 页第六十一页，共111 页。要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度(god)，并不反映X取值的概率.但是，这个高度(god)越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度(god)反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa第61 页/共110 页第六十二页，共111 页。以后当我们(w men)提到一个随机变量X的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者，当 X 是连续型随机变量时指的是它的概率密度，当 X 是离散型随机变量时指的是它的分布律。第62 页/共110 页第六十三页，共111 页。例：设连续性随机变量(su j bin lin)X的概率密度为解：第63 页/共110 页第六十四页，共111 页。第64 页/共110 页第六十五页，共111 页。第65 页/共110 页第六十六页，共111 页。几个常用的连续型随机变量(su j bin lin)的分布（一）均匀分布 如果(rgu)连续型随机变量 X 的概率密度为则称连续型随机变量X在区间(q jin)(a,b)上服从均匀分布。记为 在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X，具有下述意义的等可能性：即它落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。第66 页/共110 页第六十七页，共111 页。如果 X在区间(q jin)(a,b)上服从均匀分布。则其概率密度为其分布(fnb)函数为第67 页/共110 页第六十八页，共111 页。公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客(chngk)的候车时间等.均匀分布常见于下列(xili)情形：如在数值(shz)计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；第68 页/共110 页第六十九页，共111 页。（二）指数分布 如果(rgu)连续型随机变量 X 的概率密度为则称连续型随机变量(su j bin lin)X 服从指数分布。其分布(fnb)函数为第69 页/共110 页第七十页，共111 页。在实际生活中，常用指数分布作为各种“寿命”分布的近似。如电子元件的寿命、动物的寿命等都假定(jidng)服从指数分布。服从指数分布的随机变量X具有一个很有趣(yuq)的性质：无记忆性。事实上，无记忆性的理论(lln)解释：已知某一元件已使用了s小时，则它总共能使用至少s+t小时的条件概率，与它从开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等。第70 页/共110 页第七十一页，共111 页。例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果(rgu)乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.解依题意(t y)，X U(0,30)以7:00为起点(qdin)0，以分为单位第71 页/共110 页第七十二页，共111 页。为使候车(hu ch)时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.所求概率(gil)为：即乘客候车时间(shjin)少于5 分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，第72 页/共110 页第七十三页，共111 页。第73 页/共110 页第七十四页，共111 页。（三）正态分布 正态分布是概率论中最重要的一种分布。一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布,如测量时的误差、农作物的收获量、炮弹弹落点的分布、人的生理特征的尺寸（身高、体重等）、学生成绩的分布等都近似服从正态分布；一般说来，如影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用又不太大，且它们是相互独立的，而影响又是可以相互叠加的，则这个(zh ge)指标服从正态分布。这一点可以用概率论中的中心极限定理加以证明。（在第五章里将会介绍）第74 页/共110 页第七十五页，共111 页。另一方面，正态分布具有很多良好的性质(xngzh)，它的分布具有“两头小，中间大”的特点，许多分布可用正态分布来近似；另外一些分布又可以用正态分布来导出。因此在理论研究中，正态分布又有十分重要的地位。如果(rgu)连续型随机变量 X 的概率密度为则称连续型随机变量(su j bin lin)X 服从参数为 的正态分布正态分布或高斯(Gauss)分布，记为第75 页/共110 页第七十六页，共111 页。xf(x)0f(x)具有(jyu)的性质：第76 页/共110 页第七十七页，共111 页。X 的概率密度为 X 的分布(fnb)函数为第77 页/共110 页第七十八页，共111 页。X 的概率密度特别(tbi)记为 X 的分布函数(hnsh)特别记为标准(biozhn)正态分布。第78 页/共110 页第七十九页，共111 页。引理：证：由此知证毕第79 页/共110 页第八十页，共111 页。于是(ysh)，则其分布(fnb)函数F(x)可写成 由于正态分布在概率计算中的重要性，再加上正态分布可化为标准正态分布来处理，因此人们已编制好了标准正态分布的分布函数(hnsh)值表(见书后附表2)。第80 页/共110 页第八十一页，共111 页。第81 页/共110 页第八十二页，共111 页。x这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间(q jin)内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.第82 页/共110 页第八十三页，共111 页。例1：将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器(rngq)内。调节器整定在 液体的温度X(以 计)是一个随机变量，且 求X小于89的概率；(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不底于0.99，问d至少为多少？解：解：(1)所求概率(gil)为(2)按题意需求(xqi)d满足第83 页/共110 页第八十四页，共111 页。即亦即第84 页/共110 页第八十五页，共111 页。例2：设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差(wch)X具有概率密度为(1)求误差的绝对值不超过(chogu)30的概率；(2)如果接连测三次，各次测量是相互独立的。求(3)至少有一次误差的绝对值不超过(chogu)30的概率。解：第85 页/共110 页第八十六页，共111 页。(2)三次(sn c)中至少有一次误差的绝对值不超过30的逆事件即三次(sn c)的误差的绝对值都超过30。故所求的概率(gil)为第86 页/共110 页第八十七页，共111 页。解P(X h)0.01或 P(X h)0.99，下面我们(w men)来求满足上式的最小的h.看一个(y)应用正态分布的例子:例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何(rh)确定?设车门高度为h cm,按设计要求第87 页/共110 页第八十八页，共111 页。因为(yn wi)XN(170,62),故 P(X0.99因而=2.33,即 h=170+13.98 184设计车门高度为184厘米时，可使男子(nnz)与车门碰头机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足的最小的 h.所以.第88 页/共110 页第八十九页，共111 页。这一节，我们介绍了连续型随机变量(su j bin lin)及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、正态分布.其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍(jisho)为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.第89 页/共110 页第九十页，共111 页。第五节 随机变量(su j bin lin)的函数的分布 在分析和解决实际问题时，经常要用到一些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量-随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径d(r.v.),而关心的却是其截面积(也是r.v.)在本节中我们将论述(lnsh)如何由随机变量X的分布导出它的函数 Y=g(X)(g(.)是已知的连续函数)的分布。第90 页/共110 页第九十一页，共111 页。（一）离散型随机变量(su j bin lin)的函数的分布例1：设随机变量(su j bin lin)X的分布律为解：由X的分布(fnb)律可得第91 页/共110 页第九十二页，共111 页。由此可得第92 页/共110 页第九十三页，共111 页。第93 页/共110 页第九十四页，共111 页。（二）连续型随机变量的函数(hnsh)的分布例2：设随机变量(su j bin lin)X的概率密度为求随机变量(su j bin lin)Y=2X+8 的概率密度。解：第94 页/共110 页第九十五页，共111 页。第95 页/共110 页第九十六页，共111 页。例3：设随机变量(su j bin lin)X的概率密度为求随机变量(su j bin lin)的概率密度。解：解：第96 页/共110 页第九十七页，共111 页。例如(lr)，得 的概率密度为第97 页/共110 页第九十八页，共111 页。定理定理(dngl(dngl)：设随机变量(su j bin lin)X的概率密度为Y=g(X)是连续型随机变量(su j bin lin)，其概率密度为第98 页/共110 页第九十九页，共111 页。事实上，我们利用现在的定理还可以证明更一般的情形：服从正态分布的随机变量的线性函数(hnsh)仍旧服从正态分布。利用此一结论可解决下列(xili)例题。第99 页/共110 页第一百页，共111 页。解 设随机变量 服从正态分布，证明 也服从正态分布.第100 页/共110 页第一百零一页，共111 页。下面(xi mian)具体举一例第101 页/共110 页第一百零二页，共111 页。例4：某物体(wt)的温度 T 是一个随机变量，且有已知的概率密度。解：第102 页/共110 页第一百零三页，共111 页。例5：设随机变量(su j bin lin)X在(0,1)上服从均匀分布，解：第103 页/共110 页第一百零四页，共111 页。小结(xioji)对于连续型随机变量，在求 Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件(shjin)g(X)y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X)y.这一节我们介绍了随机变量(su j bin lin)函数的分布.离散型的“算数值”，连续型的“算导数”第104 页/共110 页第一百零五页，共111 页。练习题第105 页/共110 页第一百零六页，共111 页。第106 页/共110 页第一百零七页，共111 页。第107 页/共110 页第一百零八页，共111 页。第108 页/共110 页第一百零九页，共111 页。第109 页/共110 页第一百一十页，共111 页。感谢您的观看(gunkn)。第110 页/共110 页第一百一十一页，共111 页。