分形理论及其在农业学科的应用.ppt

汇报人：杨艳山（2012112001）分形(fractal)概念是法国数学家 Mandelbrot 于 20 世 纪 70 年 代 中 期 在 其 著 作“Fractals:Form,Chance and Dimensions”中 提 出 的。对 于 什 么 是 分 形，Mandelbrot 给其下的原始数学定义较为简单，即“分形是其豪斯道夫维数严格大于 拓扑维数的集。后来经众多研究者的修 正，给出了分形较为全面而恰当的定义，该定义认为 分形是具有下列性质的集：（1）具有精细结构,即在任 意小的比例尺下，都可呈现出更加精致的细节；（2）其 不规则性在整体和局部均不能用传统的几何语言加 以描述；（3）具有某种自相似的形式，但不是完全数学 意义上的自相似性,而是统计的自相似性，或是近似的 自相似性；（4）一般 DfDt,即豪斯道夫维数严格大于拓 扑维数；（5）该集常可由极简单的方法来定义，可能由 迭代产生；（6）其大小不能用通常的测度（例如面积、长度、体积等）来量度。一般而言，分形结构有 2 个明 显的特征：一是自相似性（selfsimilarity），即重复放大分形的细部（分形元）又可看到本身相似结构的再度 出现，并且这种出现过程具有随机性，只有大小的区别，而没有形状的不同，亦即标度不变性；二是缺乏平 滑性（no smoothing），分形总是凹凹凸凸，弯弯曲曲，到 处都不连续，亦不可微分2 分形理论在农业科学与工程中的应用农业土壤农业气象植物根系结构农产品分级农业机械摩擦磨损中的分形模型农业机器故障诊断中的分形应用土壤是由大小、形状不同的固体组分和孔隙以一定的形式连结所形成的多孔介质。土壤系统具有高度的非线性性和动态性特征，是已知的最为复杂的系统之一。分形理论作为一门新兴的非线性科学，应用于土壤学科已有十几年的历史。现在已可以用分形维数定量描述土壤结构、土壤水力学特性等过去只能定性描述的性质，如颗粒表面积、颗粒直径的分布、土壤空 隙结构、孔径大小分布、土壤中植物的根系分布、土壤胶体表面吸附变化特性等。同时，分形理论可提供定量描述从小尺度到大尺度情形下的空间变异性的方法，因而可用于建立更通用的具有空间变异性的土壤物质运移过程模型，适用各种尺度的预测。目前,国内外已有众多研究者应用分形理论对农田土壤性质进行深入的分析，取得了颇有意义的研究结果，主要内 容涉及：土壤结构，土壤水力学性质、土壤特性的空间变异性等因子的分形特征。有关农业生态系统土壤分形特征的研究工作始于20世纪80年代，起步相对较晚，但取得了重要的进展气候变化一直是各国气候学家和政府极关注的 一个重要问题，因为它直接影响人类的生存环境及经 济与社会的发展。气候变化对农业的影响是当今世界生态学研究的热点领域之一。有关农业气象学及边界层气象学的研究十分引人注目。要研究在不同时空尺度下形成的要素场的综合效应并非易事。以前的研究多立足于人工观测或风洞模拟或理论模拟分析，不仅 人力物力消耗比较大，而且观测数据的连续性相对较 差，风洞模拟数据与实际数据的相似性也仍然是一个 没有定论的问题，理论模拟分析结果则需要实测数据 来验证。同时，这些研究大多把随时间的变化假定为 一些确定性的函数，或者将它们以一定时间内的平均值作为边界条件输入模型，即假定为平稳时间系列过 程。从动态意义上来说，要研究系统内的各处能量随 时空的变化规律，以及“涨落”的幅度，用这些简化了的模型难以真实地描述。而通过研究气候时空分布的分形特征，可以使我们进一步认识一个地区气候变 化内在的规律性和制约机制。这在预测该地区未来气候的演变趋势等方面，具有重要的指导意义。近年来，人们已提出了几种描写湍流风速的分形模型。这些模 型利用分形的概念生成一个时间序列，用以近似代替 实际的风速时间序列，并应用于理论和工程实践中，取得了较好的效果。从 19 世纪中期开始，植物学家就开始探索植物形态结构中的数学规律。20世纪50 年代以后，更多的数学家和植物学家致力于用数学的方法来研究植物的生长和形态结构，但由于所用数学方法大多属于对植物整体及各器官的解析或统计描述，难以反映植物形态结构在整个生长过程中的特点，因而具有局限性。生长在土壤环境中的根系是一个典型的分形结构。因此，分形理论及方法就成为根系结构研究上最有效的手段，这不仅体现在分维数是根系长度、体积、重量定量分析的基础，而且还体现在分形几何为根系形态的描述提供了许多有意义的概念和参数。杨培岭等研究了冬小麦根系在不同发育阶段、不同水分环境的分形特征，结果表明，分形维数反映了植物根系在时间、土壤层次和环境影响下发育程度的差异，根系发育程度高，其分形维数高。廖成章等在研究马尾松根系结构与分形维数的关系时发现，根系结构径级含量分布的分形维数不仅能够表征根系结构特征，而且还能反映植物的生长状况，根系结构的各径级含量对根系径级含量分布的分形特征影响很大，同时单一根系径级含量的集中程度对分形维数的数值也会产生重要影响。即分形维数越低，表明植物细根含量越低，表征着植物主根发达程度越高的特性，胸径、树高 也大；分形维数越高，表明植物细根含量越高，表征着 植物主根发达程度越低的特性。高照全等对桃树根系的研究发现，在不同水分条件下，桃树根系的分形维数存在明显的差异，水涝处理的分形维数最小，干旱胁迫也使分形维数变小，先干旱后复水可使分形维数变大。谢春华等根据树木根系的数码照片，采用计盒维数方法,计算并比较了高山柳、冬瓜杨、峨眉冷杉 的分形结构特征。结果表明:根系分形维数越大，根系结构越复杂，且具有多层次细微分枝结构；分形维数越小，分枝结构越简单。对上述3种树木根系结构与稳定土体能力的研究表明，根系分形维数与抗拉阻力的对数呈比较稳定的指数函数关系，说明树木根系的分形维数能够很好地揭示根系的结构特征与发育动态。因此，植物根结构的分形维数不失为一个反映植 物根系生长状况的理想的指标，这在生产经营和科研上有一定的应用价值。分维可以作为描述农产品表面几何形态的特征参数，农产品的品质与其表面状况有着显著的相关 性，因此，农产品的分维值可作为农产品分级的重要依据。任宪忠等采用网格法研究了4 种小麦籽粒的 长度、宽度、厚度、单粒质量等参数间的分形特性。研 究表明，对于研究的 4 种小麦籽粒，各参数间的分形 维数在 01 之间，厚度与宽度间的分形维数差别较大，因此，计算维数时选择适合的样品数量，可根据厚 度与宽度间的分形维数来区分不同品种的小麦籽粒。水果的外部颜色是衡量水果品质的一个重要指标，冯 斌等用分形思想来精确描述色度点的空间分布，把各色度点在水果表面的分布在统计意义上看成一个 分形结构，用分形维数大小来描述色度点的空间分布。研究表明：水果的色度均匀时，对应的分形维数较 高，色度不均匀时，对应的维数较低，其正确率平均可达 95%。由此可见，分形维数在各等级间有明显的变化规律，可作为水果着色分级的特征指标。拖拉机等农业机械 由于作业环境差，摩擦发热很容易引起摩擦副中润滑油膜的破坏，导致机器的非正常运转。对于摩擦发热 的问题，传统的研究模型只能预测接触区的最大和平均温升，不能确定实际接触面上的温度分布。为此，引入分形理论，针对不同的滑动方式对摩擦升温分布规律进行了研究。对 MB 分形模型进行改进，将接触模型与弹塑性接触力学和热传导的基本原理相结合，分别对弹塑性接触慢速滑动、弹性接触慢速滑动和弹性接触快速滑动等情况，推导出了温度分布密度函数和温升累积分布函 数，所得温升分布情况与实际情况的变化趋势基本吻合。因此，这个温升分布模型为研究摩擦温升分布对 润滑油的劣化、表面氧化和热机械磨损等情况的研究 提供了条件。农机设备故障主要的特点是不均匀性和差异性、多样性、随机性、可预测性、突变性和规律性等。毋庸置疑，农机设备故障的许多方面都存在着分形的特征。目前，分形理论在这方面的应用主要是通过两个途径：一是分析磨屑的分形特征，间接获得机器的磨损率，为机器故障诊断、预测磨损状态提供依据；二是测量机器运行的特征信号，从中提取信号的分形维数，基于分维数分析机器的故障状态。前一种方法多适用于机器摩擦副的故障诊断，后一种方法适用于旋转机械的故障诊断。对 PEEK 磨屑轮廓进行分析发现，磨屑的磨损率随载荷的增大而增大，这正好与比磨损率随载荷的变化规律相对应。虽然这种对应关系还不清楚，但可以认为磨屑的分形维数可度量PEEK 磨损量。即只要预先知道磨屑的分形维数与材料的磨损率的关系，则可以从磨屑的分形维数获得磨损率，这就为在线诊断机器故障、预测机器磨损状况提供条件。蒋东翔等利用计算机模拟了旋转机械6种运行状态下的振动信号时间波形图，并对它们进行了分维数的计算。研 究发现：分维数对碰磨故障特别敏感，主要是因为碰摩故障产生的振动波形极不规则、谐波成分非常丰富。另外，对部件松动、油膜涡动、蒸汽震荡等故障也比较敏感，但对不平衡故障不很敏感，因为不平衡故 障的振动波基本上是规则的正弦波。随着科学技术在近现代的蓬勃发展，新思维、新理念、新发现推动着新兴学科、交叉学科不断涌现。许 多传统学科一方面派生出新的分支学科，另一方面又 在与其它学科的融合中形成新的综合性学科。分形理论作为一种崭新的研究手段正渗透到各个学科领域，应用于不同学科中的各个复杂系统，它不仅可以解决用传统方法无法或很难解决的许多问题，而且可以探 索新的规律。分形理论已开始在农业中应用，并解释了很多现象，也解决了一些问题。但是从总体上看，无 论是在深度或广度上都还不够。某些领域还只是侧重 于分形维数的计算，基本上仅涉及到问题的几何方面，问题的其它方面的分析和计算往往在单独阶段进行。所以，分形理论在农业科学中的应用道路还很长，我们应在现有的研究基础上向着更高层次的方向发展。