05+++差异量数-spss-教学课件.ppt

第五讲 差异量数请大家看下面这张图，这是A、B、C三个平行班在某次数学考试上的得分情况。三个班的平均数差别不大，而各班的离散程度却有很明显的不同。在这三个班中，B班的分数分布（高、狭）范围最窄，最整齐；C班的分数分布（平、宽）范围最广，变异最大。这是用图所进行的直观分析和判断。若用一个统计量概括地说明数据的变异程度或离散程度的特征，这个统计量就是差异量。ABCv描述数据离散程度的统计量称为差异量。差异量越大，表明数据越分散、不集中；差异量越小，表明数据越集中，变动范围越小。v一组数据的离散程度，常常通过数据的离中趋势特点进行分析。集中量和差异量的比较联系：都是一组数据的特征量，区别：从不同角度来反映数据的特征。1.集中量如果在数轴上表示，它是一个点，而差异量则可表示为一段距离。2.这段距离越宽，说明数据的离散程度越大，数据的集中量代表性越差；反之，数据则比较整齐，分布范围比较窄，数据的集中量代表性越好。第一节 标准差和方差方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体的方差用 表示。标准差（standard deviation）是方差的算术平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准差用 表示。标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。一、标准差的概念及适用条件（一）概念标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差的算术平均数的算术平方根。用符号表示。其中Xi为原始数据；N为数据个数；为一组数据的算术平均数。（4.1)（二）适用条件 1、一组数据的一般水平适合用算术平均数描述时，其离散程度宜用标准差描述。2、计算其它统计量时，如相关系数等，要用到标准差。3、在推断统计中，尤其是进行方差分析时，常用方差（标准差的平方）表示数据的离散程度。解：先求四年一班的平均数和标准差。算得再求四年二班的平均数和标准差。得 从以上计算可知，两班平均数都是73分，说明两班的平均水平相同。但它们的标准差不同，说明两班成绩的差异程度很不相同。一班的差异程度较小，平均分数73的代表性就较大；二班的差异程度较大，平均分数73的代表性就小些。2、原始数据法为了减少计算量，可将公式4.1进行转换，使公式中参与运算的变量皆为原始数据。公式为证明：某年级144名学生语文成绩如下表，求其标准差。组别 Xc f Xc-(Xc-)2 f(Xc-)265-69 67 3 14.20 201.68 605.04 60-64 62 6 9.20 84.67 507.99 55-59 57 42 4.20 17.65 741.37 50-54 52 58-0.80 0.64 36.99 45-49 47 30-5.80 33.62 1008.72 40-44 42 5-10.80 116.61 583.05 144 3483.16 解：将算得的f(Xc-)2=3483.16 及N=144代入公式（4.3），得52名学生数学成绩方差和标准差计算表成绩组中值Xc 频数f F*Xc F*XC2计 算95 97.5 2 195 19012.590 92.5 2 185 17112.585 87.5 3 262.5 22968.7580 82.5 5 412.5 34031.2575 77.5 8 620 4805070 72.5 11 797.5 57818.7565 67.5 9 607.5 41006.2560 62.5 5 312.5 19531.2555 57.5 4 230 1322550 52.5 2 105 5512.545 47.5 1 47.5 2256.25合计52 3775 280525三、方差和标准差的性质v 方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有可加性和可分解性特点。v 标准差是一组数据方差的算术平方根，它不可以进行代数计算，但有以下特性：如果 则 如果则四总方差的合成 v 方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。v 需要注意的是，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一种特质，只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。由各部分的标准差合成总标准差的计算方法某年级四个班的学生人数分别为50人、52人、48人、51人。期末数学考试各班一平均成绩分别为90分、85分、88分、92分，标准差分别为6分、5.5分、7分、8.2分。求四个班成绩的总标准差。解：设N1=50，N2=52，N3=48，N4=51 五、方差和标准差的意义v 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，是统计分析中最常用的差异量。v 标准差具备一个良好的差异量应具备的条件，如：反应灵敏，有公式严密确定，简明易懂，适合代数运算等等。v 应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。第二节 全距、百分位差和四分位差全距 R（range）全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。R Xmax Xmin百分位差（百分位距）v百分位差是指两个百分位数（percentile）之差。v常用的百分位距有两种：P90P10和 P93P7。v用几个百分位距能较好地反映一组数据的差异程度。例：某研究者对100名小学生进行智商测试，数据经过整理，结果如下，现要计算这100名学生智商的解：根据百分位数的计算公式：计算得四分位差一、四分差的概念及适用条件（一）概念四分差又称四分位距，用符号Q来表示。四分差是指在一个次数分布中，中间50%的次数的全距之半，也就是第3四分位数Q3与第1四分位数Q1之差的一半。所谓第3四分位数是指在这一点的下端有占总次数75%的数据，在其上端有占总次数25%的数据；所谓第1四分位数中指在这一点的下端有占总次数25%的数据，在其上端有占总次数75%的数据。如图4-1。图4-1 四分差与四分位数Q1、Q2、Q3之间的关系（二）适用条件通常与中位数配合使用。即一组数据的集中趋势宜用中位数描述时，差异情况要用四分差描述。1、一组数据有极端值出现时。2、一组数据的两端有个别数据模糊不清时。二、四分差的计算方法公式为 式中：Q为四分差；Q1为第1四分位数；Q3为第3四分位数。（4.6）（一）未分组资料Q1和Q3的求法首先将一组数据按大小顺序排列，然后用数据个数N除以4，则第（N/4+1/2）位置对应的数据为第1四分位数Q1，第（3N/4+1/2）位置对应的数据为第3四分位数Q3。例 求下列18个数据的四分差：51，60，58，63，74，88，66，70，71，75，81，86，52，57，61，65，90，77。解：按从小到大排序：51，52，57，58，60，61，63，65，66，70，71，74，75，77，81，86，88，90。由于N=18，所以Q1=18/4+1/2=5，即第5个位置所对应的数据为60；Q3=18*3/4+1/2=14,即第14个位置所对应的数据为77。将Q1与Q3代入公式4.6,得Q=（77-60）/2=8.5（二）分组资料Q1和3的求法对于已编制成次数分布的资料,计算Q1和Q3的公式分别为(4.7)(4.8)例 某校144名学生的外语成绩次数如下，求其四分差。X 次数f 由下向上累加次数90-94 1 14485-89 3 14380-84 5 14075-79 16 13570-74 18 11965-69 22 10160-64 30 7955-59 25 4950-54 16 2445-49 3 844以下 5 5表5-5 某校144名学生外语成绩次数分布表解：首先确定Q1和Q3所在组，方法同确定中位数。由于N=144，N/4=36，3N/4=108，所以Q1在55-59组，Q3在70-74组。最后将求得的Q1和Q3代入公式（4.6），得即144名学生外语成绩的四分差为7.27分。平均差平均差（average deviation 或者 mean deviation）是指一组数据中，每一个数据与该组数据的平均数离差的绝对值的算术平均数，通常用AD或MD表示。本书中均以AD表示。原始数据计算公式次数分布表计算公式（53）（54）平均差意义明确，计算容易，反应灵敏。但计算时要用绝对值，不适合代数运算，因此在进一步统计分析中应用较少。第三节 差异系数一、差异系数的概念及应用时机（一）概念差异系数是一组数据的标准差与平均数的比率，又称相对标准差，用符号CV表示。公式为（4.9）CV属于相对差异量数，不具有测量单位。差异系数越大，表时离散程度越大；差异系数越小，表明离散程度越小。（二）应用时机1、比较单位不同的各组数据的离散程度时。2、比较单位相同但平均数相差较大的各组数据的离散程度时。二、差异系数的计算方法 例 某校初三学生身高的平均数为160cm；体重的平均数为50kg；标准差为7.7kg，试比较身高和体重两组数据的离散程度。解：由于身高和体重的测量单位不同，故不能以身高的标准差与体重的标准差进行比较，而应比较它们的差异系数，把数据代和公式(4.9)得由于CV体重CV身高，所以体重的差异程度大于身高的差异程度。比较计量单位不同的数据资料的差异程度 比较计量单位不同的数据资料的差异程度 例 某班数学期末考试结果，男生平均数为95分，标准差为10分；女生平均数为80分，标准差为11分。试比较男女生数学成绩的离散程度。解：虽然男女生数学成绩的单位相同，但由于其平均数相差较大，故用差异系数比较其离散程度，代入公式得比较单位相同而平均数相关较大的两组资料的差异程度。比较单位相同而平均数相关较大的两组资料的差异程度。因CV女CV男，所以女生成绩的离散程度大于男生成绩的离散程度。通常，一组数据的平均数较大，其标准差也较大；平均数较小，其标准差也较小。因此，比较单位相同但平均数相差较大的两组数据的离散程度时，若直接用标准差比较可能是不准确的。三、差异系数的应用条件v差异系数主要应用于平均数不等于零的连续数据。第四节 相对地位量数一、标准分数（一）标准分数的概念标准分数是原始数据与算术平均数之差除以标准差所得之商，用符号Z表示，计算公式为（4.10）从公式可以看出，标准分数可以为正、负或零值。它的含义是以平均数为标准，以标准差为单位表示一个数据在团体中的相对位置。标准分数为1，表明原始数据在平均数以上一个标准差的位置；标准分数为-2，表明原始数据在平均数以下2个标准差的位置。（二）标准分数的性质 当一组数据的每个数值都转化为标准分数后，则标准分数的平均数为零，标准差为1，即（三）标准分数的应用 由于标准分数的平均数为0，标准差为1，而且不带有测量单位，当一组数据服从正态分布时，其标准分数服从标准正态分布。因此标准分数具有可比性和可加性。在教育上，常用它确定各分数在团体中的相对位置，比较单位不同数据相对位置的高低或进行分数合成。例 某班外语期末考试的平均成绩为75分，标准差为10。学生张华的成绩为80，问他的成绩在班级处于什么位置？解:张华的80分不能确定成绩的确切位置。化成标准分数才可确定。说明张华的外语成绩在班级平均数以上0.5个标准差位置。例 某市中考，数学的平均成绩为102分，标准差为20，语文的平均成绩为98分，标准差为18分。一考生的数学成绩为140分，语文成绩为135分。问该生中考哪科考得好？解：由于考试科目和难度等不同，语文的1分与数学的1分并不相同，若比较两科成绩的高低，须转化成标准分数。分别为 例 某班期末考试各科成绩服从正态分布，各科成绩的平均数和标准差以及甲乙两科的各科成绩如下表。试比较甲乙两考生总成绩的高底。解：比较两考生总成绩高低的传统方法是直接将原始分数相加，按每个考生的原始总分进行比较。事实上，这种方法并不科学，因为各科成绩的离散程度不同，不具有可加性。正确做法是将原始成绩转化成标准分数，再求和比较。乙生标准分数总和大于甲生，故乙生总成绩高于甲生。科目平均数标准差甲原始分数乙原始分数甲标准分数乙标准分数语文78 10 90 86 1.2 0.8数学82 8 85 950.381.63外语85 11 92 850.640理化75 8 80 800.630.63 347 3462.853.06练 习1、求数据58，60，65，82，74，63，70，80的标准差。2、求下组分数的标准差、方差、四分位差。组限 次数80-84 875-79 1970-74 1265-69 2060-64 1855-59 1550-54 545-49 240-44 1合计 1003、求下表所列个班成绩的总标准差班级 平均数 标准差 人数1 90.5 6.2 402 91.0 6.5 513 92.0 5.8 484 89.5 5.2 434、今有一画线实验，标准线分别为5厘米及10厘米，实验结果5厘米组的误差平均数位1.3cm,标准差位0.7cm，10cm组的误差平均数为4.3cm,标准差为1.2cm,请问用什么方法比较其离散程度的大小，并具体比较之。5、某班甲、乙两考生各科成绩如下，试比较两位考生总成绩的优劣。科目 平均数 标准差 甲生分数 乙生分数语文 80 8 84 86数学 78 7 69 80外语 66 10 72 62物理 70 11 85 80化学 84 9 85 80 380 376