高中数学人教版选修2-2教案.pdf

高中数学人教版选修2-2全套教案目 录目 录.I第一章导数及其应用.1i.i.i 变化率问题.1导数与导函数的概念.41.1.2 导数的概念.61.1.3 导数的几何意义.91.2.1 几个常用函数的导数.1 31.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.1 6 1 2 2复合函数的求导法则.2 01.3.1 函数的单调性与导数（2课时）.2 31.3.2 函数的极值与导数（2课时）.2 81.3.3 函数的最大（小）值与导数（2课时）.3 21.4 生活中的优化问题举例（2课时）.3 51.5 .3定积分的概念.3 9第二章推理与证明.4 3合情推理.4 3类比推理.4 6演绎推理.4 9推理案例赏识.5 1直接证明 综合法与分析法.5 3间接证明-反证法.5 5数学归纳法.5 7第3章 数系的扩充与复数的引入.6 93.1 数系的扩充和复数的概念.6 93.1.1 数系的扩充和复数的概念.6 9 3.1.2复数的几何意义.7 23.2复数代数形式的四则运算.7 53.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义.7 53.2.2 复数代数形式的乘除运算.7 9第一章导数及其应用1.1.1 变化率问题教学目标：1 .理解平均变化率的概念；2 .了解平均变化率的几何意义；3 .会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最 大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二.新课讲授（一）问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？4 2 气球的体积-单位:L）与半径“单位:力”）之间的函数关系是V（r）=1加如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）分析：r（V）=33 V4万（1）当V从0增加到1时，气球半径增加了 ）-0）*0.6 2（加）气球的平均膨胀率为 再 二9 a 0.6 2（力/L）（2）当V从1增加到2时，气球半径增加了*2）*1）+0.1 6（力n）气 球 的 平 均 膨 胀 率 为 0.1 6（力/L）可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.思考：当空气容量从V i增 加 到V2时,气球的平均膨胀率是多少？川）-,（匕）v2-v,第1页 共86页问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度/?（单位：与起跳后的时间f （单位：s）存在函数关系 =-4.9 r+6.5 r+I O.如何用运动员在某些时间段内的平均速S度粗略地描述其运动状态？思考计算：O W f 4 0.5和1 4/42的平均速度y在0 W f 4 0.5这段时间里，v =4.0 5（m/s）；0.5-0在1 W f W 2这段时间里，v =8.2（m/s）探究：计算运动员在O W f W竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题:4 9运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数力=-4.9产+6.5什1 0的图像，结合图形可知，人（|）=%（0）,_以 黑）-以。）所以1，=-6 5-04 90(s/2)，虽 然 运 动 员 在 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 为0（5/加），但实际情况是运动员仍然运动，并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.（二）平均变化率概念：1 .上述问题中的变化率可用式子 ）二王）表 示,称 为 函 数1 x）从占到心的平均变化率x2-x2.若殳A x =x2-X,V=/（苫2）-/（X。（这里A x看作是对于x i的一个“增量”可用x i+A x代替必,同样y=A y=/(x2)-/U i)3 .则平均变化率为包=二=/（W上s）-WA x A r x2-X）A rX 1oX2X三.典例分析例1,已 知 函 数 外)=-+x的 图 象 上 的 一 点4一1,一2)及 临 近 一 点8(-1 +A x,-2 +A y),则包=AJC解：-2 +A y=-(-1 +A r)2+(-1 +A r),.A y (l +A x)2+(1 +A x)2.=-=3 A rA x Z例2.求y=/在x =/附近的平均变化率。2 2解：A y=(X o+A x)2-X o2,所以 竺=/土竺A r A x=%-+2 3 +*F=2/+A xA x所以y=/在x =/附近的平均变化率为2%+A r四.课堂练习1.质点运动规律为5 =产+3,则在时间(3,3 +A/)中 相 应 的 平 均 速 度 为.2.物体按照s=3*+/+4的规律作直线运动，求在4 s附近的平均变化率.2 5 +3 43.过曲线丫中=/上 两 点 尸(1,1)和。(1+A x j+A y)作曲线的割线，求出当A x H).1时割线的斜率.五.回顾总结1 .平均变化率的概念2 .函数在某点处附近的平均变化率六.布置作业第3页 共86页导数与导函数的概念教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2,过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数/在点(2,4)处的切线斜率。A y /(2 +A r)-/(x).A 心 心、亡生.八)=4+A x,故斜率为4A x A x2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是V=f2 1,求，=时的瞬时速度。=-=2tn+Z,故斜率为4A r A r二、知识点讲解上述两个函数/(x)和 V 中，当加;(加)无限趋近于0 时，竺(竺)都无限趋近于一个常数。A r A x归纳：一般 的，定 义 在 区 间(a,b)上 的 函 数/(x),e(a,b),当 A r 无 限 趋 近 于 0 时，包=/(儿+Ar)-无限趋近于一个固定的常数人,贝燧/(x)在 x=x 处可导，并称A 为/(x)在A x A xx=4 处的导数，记作 尸(与)或 尸(%)1*=%，上述两个问题中：(1)/(2)=4 ,(2)(%)=2%三、几何意义：我们上述过程可以看出/(x)在 x=用处的导数就是/(x)在 x=/处的切线斜率。四、例题选讲例 1、求下列函数在相应位置的导数(1)f(x)=x2+1,x =2(2)/(x)=2 x-l,x =2第4页 共86页(3)/(x)=3 ,x =2例 2、函数/(x)满足/(I)=2,则当x无限趋近于0时,(1)/(l +x)T.一2x(2)/(l +2 x)-/X变式:设f(x)在 X=X o 处可导,(3)”与+处)-/(%)无限趋近于1,则/，(/)=(4)-4 A r)-1(X o)A x无限趋近于1,则/(%)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(5)当无限趋近于0,2A 一 /(X 2 2&)所对应的常数与/,(x.)的关系。A x总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。例 3、若/(x)=(x 1 尸，求 尸(2)和(/(2)注意分析两者之间的区别。例 4：已知函数/(x)=,求/(x)在 x =2处的切线。导函数的概念涉及：/(x)的对于区间(a,b)上任意点处都可导，则/(x)在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为/(x)的导函数，记 作/,(JC)五、小结与作业第5页 共86页1.1.2导数的概念教学目标:1 .了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2 .理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3 .会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念.教学过程：创设情景（-）平均变化率（二）探究：计算运动员在O W f W奂这段时间里的平均速度，并思考以下问题：4 9运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数力（。=-4.9*+6.5什10的图像，结合图形可知，力（竺）=6（0）,4 9_ 6右）-（0）所以 v =-与-=0（.VI m）,65-04 9虽然运动员在0 4/4筹 这 段 时间里的平均速度为0（5/相），但实际动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员态.二.新课讲授情 况 是 运的 运 动 状1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，f =2时的瞬时速度是多少？考察f =2附近的情况：0时，在 2,2+4 这段时间内力-爪2+4)_ 4.9 A J+1 3 3-双2+At)-%一 4 9 户 一 1 332(2+4)-t i t=13.1(2+A0-2 AZ 2=-4.9 4-13.1当小=一0.01 时，A/=-13.05 1；，当4=0.01 时，A/=-13.05 1；P当Az=-0.001 时，Az =-13.09 5 1,当 加=0.001 时，Az =-13.09 5 1；,当=-().001 时，=13.09 9 5 1；,当4=0.001 时,4=7 3.09 9 5 1；。当4=-0.0001时，4=7 3.09 9 9 5 1；当4=0.0001 时,4=-13.09 9 9 5 1：。当=-0.00001 时，4=7 3.09 9 9 5 1；+当&=0.00001 时，A/=-13.09 9 9 5 1；P.,.第6页 共86页思考：当，趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当，趋近于0时，即无论r从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度S都趋近于一个确定的值-13.1.从物理的角度看，时间kd间隔无限变小时，平均速度：就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在f =2时的瞬时速度是-为了表述方便，我们用l im加 0/?(2+加)一/?(2)t=13.1表 示“当f =2,Af趋近于0时，平均速度3趋近于定值-13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2导数的概念从函数y m在x=x（）处的瞬时变化率是：l im X。+）（/）=l im竺-Ax 加 一。AX我们称它为函数y =/（x）在x =不 出的导数，记作（X。）或y ，即尸 0)=l im/(x()+Ar)-/(X o)说明：（1）导数即为函数y/x）在后刖处的瞬时变化率(2)Ax =x-x0,当 Ax f 0时，xf%,所以/(工0)二、m )。x-x0三.典例分析例1.（1）求函数y=3/在x=l处的导数.分析：先求A 元/(1 +Ax)-f(1)=6 AX+(AX)2再 求 包=6+A x再求l i m 包=6A r 心 一。A r解：法一(略)3 x2-3 -I2 3(X2-12)法二：yf L.=l i m-=l i m-=l i m 3(x +1)=6i x-1 x-l (2)求函数兀V)=-工2+x在x =-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：=-(-1 +AX)2+(-1 +AX)-2 =3_A x A xn.A y-(一 1 +A x)+(-1 +A x)-2 八 八、公f(-1)=l i m =-=h m (3 -A x)=3加 TO A x A x A i。第 7 页 共 86页例 2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第的 时，原油的温度(单位：C)为/(X)=X2-7X+15(04X4 8),计算第2%时和第6/2时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2/i时和第6%时，原油温度的瞬时变化率就是f (2)和 1(6)根据导数定义，V =/(2 +A x)-/(x0)Ar A.r(2+AX)2-7(2+A)+15-(22-7X2+15)A.=-=Ax-3Ar所 以/O A丫 A x-o同理可得：/(6)=5在第2人时和第6人时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和 5,说明在2/7附近，原油温度大约以3 七/7的速率下降，在第6/z附近，原油温度大约以5 /6 的速率上升.注：一般地，/(%)反映了原油温度在时刻与 附近的变化情况.四.课堂练习1.质点运动规律为5=产+3,求质点在f=3 的瞬时速度为.2.求曲线了40)=工 3在 x=1时的导数.3.例 2 中，计算第3时和第弘时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.五.回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念2.导数的概念六.布置作业第8页 共86页1.1.3导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：创设情景(-)平均变化率、割线的斜率(-)瞬时速度、导数我们知道，导 数 表 示 函 数 在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数)，力)在x=xo附近的变化情况，导数/V o)的几何意义是什么呢？二.新课讲授(-)曲线的切线及切线的斜率：如 图3.1-2,当 匕(乙，/(当)(=1,2,3,4)沿 着 曲 线/。)趋近于点P(x J(x )时，割 线 的 变 化 趋 势 是 什 么？我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即A x-0时，割线尸与趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.第9页 共86页问题：割线产乙的斜率kn与切线P T的斜率k有什么关系？切线尸7的斜率上为多少？容易知道，割线P P”的斜率是勺=/（/）一/（%），当点匕沿着曲线无限接近点P时，心无限趋近于切线%一%P T 的斜率 k,即 k=lim/S o+M D=/（X。）-AJC说 明（1）设切线的倾斜角为a,那么当A x-O时，割线PQ的斜率，称为曲线在点尸处的切线的斜率.这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质一函数在X=X。处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数方知）在x=xo处的导数等于在该点（x0 J（x。）处的切线的斜率，即/（为）=iim/词-.J U k说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：求出P点的坐标；求出函数在点2处的变化率/（%）=lim/（玉）+以）/（X。）=左,得到曲线在点（x J（x）的切线-Ax的斜率；利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数7U）在x=xo处求导数的过程可以看到，当时，/（小）是一个确定的数，那么，当X变化时，便 是X的一个函数，我们叫它为Ax）的导函数.记作：/（X）或y,即：=y=lim+A%注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（=）函数/*）在点X。处的导数/（X。）、导 函 数/（X）、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数/（与），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数3）函数/（x）在点/处的导数/（%）就是导函数/（x）在x=x0处的函数值，这也是 求函数在点七处的导数的方法之一。三.典例分析例1:（1）求曲线）三小）=+1在点尸（1,2）处的切线方程.第10页 共86页(2)求函数y=3/在点(1,3)处的导数.翻小.(1+AX)2+U-(12+1)r 2盘 +-2解：L=i=hm-=lim-=2,Ar-0 A%Ar-0 A%所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y 2=2(x l)即2x y=03x2-3-12 3(x2-I2)(2)因为 y I1=Hm-=lim-=lim3(x+1)=6X=X71 X-XT1 X X f l 所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y 3=6(x 1)即6x y 3=0(2)求函数犬x)=x 2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.凶-(-l +ZLr)2+(-l+)-2解：=-=3-ZUAr Axn vAy-(1 +Ax)2+(1 +Ax)2 1.c 人、宝j (-1)=lim =-=lim(3-Ax)=3X T。Ax Ax X T。例2.(课本例2)如图3.13,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数所以，在f=a附近曲线下降，即函数/1。）=一4.9/+6 5丫 +10在 =乙附近单调递减.（3）当 =与时，曲线/i）在 弓处的切线的斜率。2）。，所以，在1=/2附近曲线下降，即函数（x）=-4.9x2+6.5x+10在f=G附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线/,的倾斜程度小于直线。的倾斜程度，这说明曲线在/,附近比在，2附近下降的缓慢.例3.（课本例3）如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=/（f）（单位：吆/m L）随时间/（单位：min）第11页 共86页变化的图象.根据图像，估计1 =0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/）在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线/在此点处的切线的斜率.如图3.1 4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作f =0.8处 的 切 线，并 在 切 线 上 去 两 点，如（0.7,0.9 1）,（1.0,0.4 8）,则 它 的 斜 率 为：k0.4 8-0.9 11.0-0.7-1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:所以 尸（0.8），1.4t0.20.40.6().8药物浓度瞬时变化率/（f）0.40-0.7-1.4四.课堂练习1 .求曲线广外）=/在 点（1,1）处的切线;2 .求曲线y =五 在点（4,2）处的切线.五.回顾总结1 .曲线的切线及切线的斜率；2 .导数的几何意义六.布置作业第 12页 共 86页1.2.1 几个常用函数的导数教学目标：1 .使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数？=。、y =x、y =x y 的导数公式；X2 .掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.教学重点：四种常见函数y =c、y =x、y =X 2、y 的导数公式及应用X教学难点：四种常见函数y =c、y =x、），=/、的导数公式x教学过程：一.创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那 么，对于函数y =/（x）,如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.新课讲授1 .函数y =/（x）=c 1 的导数根据导数定义，因 为 :13+故）/（乃=2 =0A x A x A x所以 y =l i m =l i m 0 =0A rf 0 A r Ax-0函数导数y=cy=oy =0表示函数y =c图像（图 3.2-i）上每一点处的切线的斜率都为0.若 y =c表示路程关于时间的函数,则/=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2 .函数y =/(x)=x的导数因 为 竺=/(x +A r)-/(x)=x +A x-x =A x A x A x所以 y =l i m =l i m 1 =1Ar-0 A r函数导数y=xy=1），=1 表示函数y =x图像（图 3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1.若 y =x表示路程关于时间的函数,则 y =l 可以解释为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动.第 13页 共 86页3 .函数y =/(x)=/的导数因吟f(x+A%)-/(x)_ (x +A x)2-x2A x A xx2+2 x A x 4-(A x)2-x2.二-4-=2 x +A rA x所以 y =l i m =l i m (2x+A x)=2xA r AX TO函数导数y =x2yf=2x =2 表示函数旷=2 图 像（图 3.2-3）上点（x,y）处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 x 表示路程关于时间的函数，则 y =2 x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2 x.4 .函数y =/(x)=的导数X1 _ 1因 为 包=/(x +A D-/(x)=x +A-xA x A x A x_ x-(x +A x)_ 1x(x +X2+X-AX所以 yr=l i m =l i m(-)=-20 AX-+x A x x-函数导数1y =Xy=-1J 2X（2）推广：若 y =/（1）=尤”（。*）,则 r（x）=x”r三.课堂练习1 .课本叫 探 究 12 .课本P 3 探究24.求函数y =6的导数第14页 共8 6页四.回顾总结五.布置作业函数导数y=cy=0y=x=1y=x2y-2x1丁 二 一X1y=/(x)=x(e。*)y=nx”第 15页 共 86页 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1 .熟练掌握基本初等函数的导数公式；2 .掌握导数的四则运算法则；3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：创设情景四种常见函数y=c、y=x、y=/、的导数公式及应用新课讲授(-)基本初等函数的导数公式表函数导数y=cy =0y =/(x)=x (e Q*)y=y =s in xy=c o s xy-c o s xy=-s in xy=f(x)=axy=ax-I n t z (a 0)y =/(x)=e y =exfM=l o g,X,1 5/W=l o g V U)=1 (a 0且a w l)xlna第16页 共86页/(x)=lnxf(x)=1X（二）导数的运算法则导数运算法则1./(x)g(x)=/(x)g(x)2-/(x g(x)=/(x)g(x)/(x)g(x)3./(x)g(x)/(x)g(x)/(x)g(x)g(x)f(g(x)H O)（2）推论：-c f x）（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三.典例分析例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p （单位：元）与时间f （单位：年）有如下函数关系p ）=P o（l +5%）,其中P o为f =0时的物价.假定某种商品的P o=l，那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?解：根据基本初等函数导数公式表，有p （f）=l.O 5 l n l.O 5第17页 共86页所以 p(10)=1.05 l n l.05 0.08(元/年)因此，在 第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.(1)y =3-2x +31+1(3)y =x-s in x -I n x；,、x(4)y ；-4X1 +I n x(6)y=(2x=5x +1)ex,、s in x-x c o s x(7)y =-c o s x +x s in x【点评】求导数是在定义域内实行的.求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为5284c(x)=(80 x 0)y=/(x)=ey=ex/(x)=loga Xf M =o xf(x)=1 *(。0且。，1)xlna/(x)=lnxf W=1X/(X)士 g(x)=/(x)士 g(x)/(x)g(x)=/(x)g(x)/(x)g(x)(-)导数的运算法则导数运算法则1.2.3./(X)g(x)/(x)g(x)-/(x)g(x)(g(x)*O)g(X)(2)推论：kf(x)=c 7(x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)新课讲授第20页 共86页复合函数的概念 一般地，对于两个函数 =/()和 =g(x),如果通过变量“，y 可以表示成X的函数，那么称这个函数为函数y=/()和 =g(x)的复合函数，记 作 y=/(g(x)。复合函数的导数 复合函数=g(x)的 导 数 和 函 数 y=/()和 M =g(x)的导数间的关系为=y“,M；,即 y 对 X的导数等于y 对 M的导数与“对X的导数的乘积.若 y=/(g(x)，则 y =/(g(x)=/(g(x)g (x)三.典例分析例 1 求 y=s i n (ta n x2)的导数.【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.例 2求 y=-a.的导数.【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.例 3求 y=s i n4x+C O S%的导数.【解 法-1 y=s i n 4x+co s 4x=(s i n2x+co s2%)22 s i n2co s2x=1 s i n22 x21 3 1=1 (1 co s 4 x)=H co s 4x.y =_s i n 4 x.4 4 4【解法二】y =(s i n4x)/+(co s4x),=4 s i n3x(s i n x)r+4 co s3x(co s x Y=4 s i n3x co s x+4 co s3x(s i nx)=4 s i n x co s x(s i n x-co s x)=_ 2 s i n 2x co s 2 x=_ s i n 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步.例 4曲线y(x+1)(2-x)有两条平行于直线y=x 的切线，求此二切线之间的距离.【解】y x 3+x 2+2 x y 3 x2-1-2x+2令 y =1 即 3/-2x 1=0,解得 x=-或 x=1.31 1 4于是切点为 P (1,2),Q ),3 2 7过点尸的切线方程为，y 2=x-1 即x y+1=0.,1 1 4 ,I-1-F 1 1 显然两切线间的距离等于点。到此切线的距离，故所求距离为-3 恚一=V2.四.课堂练习s i n 2 X1 .求下列函数的导数(l)y=s i n x s i n a；(2)y =-;(3)l o g(x2-2)2 x-l2 .求l n(2/+3 1+1)的导数第21页 共86页五.回顾总结六.布置作业第22页 共86页1.3.1函数的单调性与导数(2课时)教学目标：1.了解可导函数的单调性与其导数的关系；2 .能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用.新课讲授1.问题：图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度Zz随时间f变化的函数。)=-4.9/+6.5 f+1 0的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间，变化的函数v(f)=(f)=9.8+6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度/?随时间，的增加而增加，即 地。是增函数.相应地,n(f)=h(t)0.(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间，的增加而减少，即。)是减函数.相应地,u(f)=/?Q)0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(x)在/附近单调递增；在X =X 处，/(x0)0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(X)在X 1附近单调递减.结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(。,6)内，如果f(x)O,那么函数y =/(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,那么函数y =/(x)在这个区间内单调递减.说明：(1)特别的，如果f(x)=O,那么函数y =/(x)在这个区间内是常函数.3.求解函数y =/(x)单调区间的步骤：(1)确定函数y =/(x)的定义域；(2)求导数 y (x)：(3)解不等式f(x)O,解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数f(x)的下列信息：当 l x 0；当 x4,或 x l 时，/(%)0 ；当x =4,或x =l 时，f(x)=0试画出函数y =/(x)图像的大致形状.解：当l x 0,可知y =/(x)在此区间内单调递增；当x4,或x l时，/(x)0因此，/(x)=d+3 x在R上单调递增，如图3.3-5 (1)所示.(2)因为/(x)=x 2 2 x 3,所以，/(x)=2 x-2 =2(x-l)当f(x)0,即xl时，函数/(x)=x 2 2 x 3单调递增：当/(x)0,即x l时,函数/(x)=2 x 3单调递减;函 数/。)=/-2-3的图像如图3.3-5 (2)所示.(3)因为/(x)=s i nx-x x e (0,乃)，所以，/(x)=c os x-l 0,即 时，函数/(X)=X2-2X 3；当 f(x)0,即 时，函数/(x)=x 2 -2 x 3；函数/(%)=2 d+3 f 2 4 x+1的图像如图3 3-5 (4)所示.注(3)、(4)生练例3 如 图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.分析：以 容 器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：f(6),(2)f(A),(3)-(0,(4)-(。)第25页 共86页思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些.如图3.3-7 所示，函数y =/(x)在(0)或(。，0)内的图像“陡峭”，在 他，+8)或(-c o,a)内的图像“平缓”.例4 求证：函数y =2 x3+3 x?-1 2 x+l在区间(2,1)内是减函数.证明：因为 y =6 x?+6 x 1 2 =6(2 +x 2)=6(x-l)(x+2)当x e(2,1)即 2x l 时，y 0 为增函数，f(x)0；当f a时，函数力。)单调递减，/)0；这就说明，在f =a附近，函数值先增(f 0)后 减(t a,。)0.(4)从最高点到入水，运动员离水面的高度6随时间，的增加而减少，即 力)是减函数.相应地,第28页 共86页v(f)=/(f)处的切线的斜率.在x =x 0处，/,U0)0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(x)在/附近单调递增：在彳=七处，/,(x0)0,切线是“左上右下”式的，这时，函数/(x)在 不 附近单调递减.结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(。,6)内，如果f(x)O,那么函数y =/(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,那么函数y =/(x)在这个区间内单调递减.说明：(1)特别的，如果f(x)=O,那么函数y =/(x)在这个区间内是常函数.3.求解函数y =/(x)单调区间的步骤：(1)确定函数y =/(x)的定义域；(2)求导数 y (x)：(3)解不等式f(x)O,解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间.三.典例分析例1.已知导函数f(x)的下列信息：当 l x 0；当 x4,或 x l 时，/(%)0；当x =4,或x =l 时，f(x)=0试画出函数y =/(x)图像的大致形状.解：当l x 0,可知y =/(x)在此区间内单调递增；当x4,或x l时，/(x)0因此，/。)=/+3%在7?上单调递增，如图3.3-5(1)所示.(2)因为/(x)=/-2 x-3 ,所以，/(x)=2x-2=2(x-l)当f(x)0,即x l时，函数/(x)=x2-2x 3单调递增；当f(x)0,即x l时，函数/(x)=x22x 3单调递减；函数/(X)=32-2 x-3的图像如图3.3-5(2)所示.(5)因为/(x)=sinx-x xw(0,乃)，所以，/(x)=c osx-l 0因此，函数/(X)=s in x-x在(0,乃)单调递减，如图3.3-5(3)所示.(6)因为/(x)=2丁+3x)-24x+l,所以.当/(x)0,即 时，函 数/。)=/一2%一3；当/(x)0,即 时，函数/(X)=X22X 3；函数/(x)=2%3+3/-24x+1的图像如图3.3-5(4)所示.注(3)、(4)生练例6 如 图3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度6与时间f的函数关系图像.分析：以 容 器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图像上，(A)符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.解：(g(B),(2)(4),(3)T(D),(4)7(C)思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”;反之，函数的图像就“平缓”一些.如图337所示，函数y=/(x)在(0,与 或(。，0)内的图像“陡峭”，在 ,+8)或(-8,a)内的图像“平缓”.例7 求证：函数y=2 x3+3 f1 2x+l在区间(一 2,1)内是减函数.第 30页 共 86页证明：因为 y =6 x?+6 x-1 2 =6(x?+x 2)=6(x-l)(x +2)当xe(2,1)即 2 x 1 时，y 0 为增函数，f(x)0 为减函数.2例8 已 知 函 数/。