2023年题库线性代数.pdf

行列式一、选择题1.3 阶行列式0-11-101中第二行第一列元素的代数余子式A2 产（）（容易）-101A.-2B.1C.-1D.201 -11,-1o1-12.行列式1-101中第二行第一列元素句 的代数余子式4 2户（）（中档）-11 -10A.-2B.-1C.1D.2a2a32%i 2 q 2 2 a”3.设行列式3a22a23=4,则行列式a2 a22。23=（）（容易）。3132333a3i 3a32 3a33A.1 2B.2 4C.36D.48a1%3-2a2 3%4.设行列式生I 022a23=2,则一%2%2-3/3 =（）（容易）a1 432。33一。3 1 2。32 333A.-1 2B.-6C.6D.1 2a1233。3a2 Ba*5.设行列式。.1 02223=2,则-a3l-a32 一/=（）（较难）a1 a32a3321 _ 3】a22 32 23 一 033A.-6B.-3C.3D.6（较难）6.设行列式。产aaa2b仄b2c +ac2+a2，2=a囚a2b c%。h c2，则 D i=(A.0C.26x yz2 x 2)2 zB.D2D.3D27.设行列式4 01 1A.23C.2311,则行列式h11=(B.lD.3）（难）8.设 A 为三阶矩阵，A.-9C.1且甲=3,贝 i j卜34=()(较难)B.-lD.99.设 A 为 3 阶矩阵，A.-8C.2|A|=1,则卜2 AT|=()(较难)B.-2D.81 0.设 A 为 3 阶方阵，且A.-32C.81 2 5=4,则 卜 2 A|二()(中档)B.-8D.321 1.已知行列式12A.-3C.235-2akx=0,则数。二+z =0()(中档)B.-2D.31 2.若齐次线性方程组A.-22 x+6 +k x-2 y +z=0z =0有非零解，B.-l则 k=()）（容易）c.oD.2xi+x2+x3=413.已知非齐次线性方程组（玉+/+忍=3 无解，则数斫（）2%+2ax2-4D.1二、填空题1 1 114,2 4 6=（中档）4 16 369 8 7 615.22 32 4223 33 43（较难）1 2 3 42007 200816.2009 2010（较难）1 2 317.11 12 13=（较难）101 102 1032 1 018.若 1 3 1=0,则仁（中档）k 2 1l-k-219.若=0,则仁（容易）2 k-l2 0.已 知 行 列 式1 1%十%-伉a2-b2,a,b、则Ia2 b2_ _ _ _ _ _（容易）21.四阶行列式中，项 的1。22。43。14的符号是（中档）22.四阶行列式中具有因子0 3的1的项为（较难）3 0 4 023.行 列 式:1 11 中第4 行各元素的代数余子式之和为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（难）（31 （）（）5 3-2 2则 7 Ai 2+9A 22+3A 32+6A 42=x al 2 3 72 4.设 Ai 2(i=l,2,3,4)是行列式y a2 2 8 9中元素配的代数余子式,z a32 2 3w a42 9 62 5.设3 阶行列式。3的第2列元素分别为1,-2,3,相应的代数余子式分别为-3,2,1,则3=（较难）kx+y+z=52 6.已知非齐次线性方程组,x+6-z =3 有无穷多个解，则 1=2x-y+z=7三、计算题0 1 2 02 7.计算4 阶行列式D=1 0 1 2（一般）2 1 0 10 2 1 0abc2 8.计算3 阶行列式D=a2 h2c2（一般）。+a3 b+b3c+c31122 9.计算4 阶行列式D=121（较难）1 2 1121135-123 0.计算4 阶行列式列=-415230-31（较难）20-34四、分析、证明题1 2 3 431.计算4 阶行列式D=2 3 4 1（较难）3 4 1 24 1 2 332.（较难）设a、b、c是互异的实数，证明aa3b cb3 c30的充要条件是a+b+c=O33.设 /(x)=X2312犬+22 +x44-x，试证明方程f（x）=O有小于1的正根.（较难）34.问。为什么值时，线性方程组%）+2X2+3%3=42/+。工3=2有惟一解？有无穷多解？（较难）2 再 +2X2+3%=635.设非齐次线性方程组V2玉 +X2+X3=1,2+4/+/=%拟定当入取何值时,，方程组有惟一解、无解、元 +，有无穷多解？（较难）矩阵一、选择题1 .设二阶矩阵A=/b|,则A*=(c d)）（易）A.-d b、c-a2 .设A与8均 为 可 逆 矩 阵，则下列各式中不对的的是（）（易）A.（A+B）r=A1 +Br B.（A+B）-=A+B-C.（A B）-=BA-D.（A B）f=B3.设A与8均为 x 矩阵，满足=则必有（）（中档）A.A=0或5=0 B.A+B O C.网=（）或忸|=（）D.网+忸|=04.设阶方阵A,8,C满足A 3 C=E,则 必 有（）（中档）A.A C B=E B.CBA=E C.B A C=E D.B C A=E5.设A为阶方阵，且满足A 5 =A C,则下列结论对的的是（）（中档）A.A=O B.BHC,则 A=O C.A w。，则 B =C D.同。0,则 B=C6.设A,B,C 为同阶方阵，则(ABC)T=()(易)A.B.。加41 C.D./PZT7 .设A,B,C 为同阶可逆方阵，则（A 5 C）-=（）（易）A.A B C B.C B A1 21T1 2.设 A =（1,1,3）,B =（2,-1）,则 475=（易）21 3.设 A =（：=1）,则当 满足 时，AB=BA（较难）1 4.已知a =（1,2,3）,尸=（1,；,g）,设A =/淇 中 a，是a的转置，则 A =a a 1、1 5.设A=a a,则当a满足条件 时，A 可 逆（易）J a%C.CA B D.A CB 8 .设 A 是可逆矩阵，且 A+A B =E,则 A-i=（）（易）A.1 +B B.E+B C.B D.（E+AB）9 .设 A 是阶可逆矩阵，人是不为。的常数，贝 I （）T=（）（易）A.kA B.A-1 C.-kA D.-A knk1 0 .设 A 和 B 均为 X”矩阵，则 必 有（）（中档）（A）|A+B|=|A|+忸 I （B）AB=BA（C）|A B|=|B A|（D）（A+B）-1=A-|+B-|二、填空题,（2 4 n f-1 3 n,u1 1 .设 A =,B=，则 3A 2B=（易）（0 3 5）（2 0 5）(10 0、1 6.设 3 阶矩阵A=2 2 0,则 A*A=（易）、3 3 3,1 7.已知阶方阵A 可逆，贝A=,（A*）-：（中档）1 8 .设 A,5 均为阶矩阵,|A|=2,忸|=3，则|2 A*b|=（难）1 9 .设矩阵A 满足A?+A 4 E =O,其中E 为单位矩阵，则（A-6 尸=（中档）1 -12 0.设矩阵4=,B=A2-3A+2E,B-=(中档)2 3三、计算题1 1 r2 1.设 A=-1 1 1T 2 1、8=1 3-1 ,求(A-8)(A+8)及(中档)3 1 2,1 3 7、2 2 .设 A =2 2 3 6-4 1,1 2 3、2 3.设 A=1 1 1、3 1 L-1 2 4、B=1 -3-1 ,求 2 A-3 6 和 A/B.(中档)、5 1 2),1 -1 1、(1)求 A i；(2)设 A X=1 1 03 1 4,求 X.（中档）0 12 4.若 A X+B =X,其中 A=-1 12 5.设3 阶方阵A 的随着矩阵为4*,且|A|=g,求|（3A）T -2 A .（中档）2 6.已知A P=B,其中 1 0 0、1 0 0、B=0 2 0,P=2-10 0 0 -1；(2 1 1,求 4 及 A t（难）四、证明题2 7.已知”阶方阵A满足矩阵方程A?3A 2 E=0.证明A可逆，并求出其逆矩阵/T .(中档)2 8.已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得A*=0 .试证明矩阵E-A可逆,并写出其逆矩阵的表达式(为阶单位阵).(较难)2 9.设A是阶矩阵，满 足A4,=E (E是 阶 单 位 矩 阵,是A的转置矩阵),同()，求|A+/.(较难)30 .设n阶矩阵A和8满足条件A+B =AB.(1)证明A -E为可逆矩阵；1 -3 0、(2)已知6=2 1 0，求矩阵A0 2,向量组的线性相关性一、选择题1.设3阶 方 阵A=%,%,其 中 见 =1 2 3)为A的 列 向 量，若忸忤|因+2 a 2，%，%卜6,则 同=()(较易)A.-1 2 B.-6 C.6 D.1 22 .设A =ai,a2,ay,其 中a,(i =l,2,3)是 三 维 列 向 量，若 同=1 ,则|4a,2 a,-3a2,a3|=()(中档)A.-2 4 B.-1 2 C.1 2 D.2 43.设 向 量 组a尸(1,2),a2=(0,2),4=(4,2),则()(中档)A.a,a2,4线性无关 B.夕不 能 由%,a 2线性表达C.4可 由 线 性 表 达，但表达法不惟一D.4可 由a”a 2线 性 表 达，且表达法惟一4.设囚,4，L 为维向量，下列结论对的的是（）（较难）A.若左乌+网。2+1+“a =0 则线性相关B.若任意一组不全为零的数匕，无 2,&,有 Si+%2%+L +（“产。，则，的,L 线性无关C.若线性相关，则 对 任 何 一 组不全为零的数勺&，心有k9+k2a2+L +kmam=0D.若Oa+O%+L+0%,=0,则a”a2，L 线性相关5.下列命题中错误的是（）（较易）A.只具有一个零向量的向量组线性相关B.由3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关6.设名,1 2，。3，%是三维实向量，贝 I（）（较易）A.%,%，。3，。4 一定线性无关C.%,1 2，%，。4 一定线性相关7.已知向量组囚,。2，。3 线性无关,A.四必能由。2,%,夕线性表出C.必能由四,。2,P线性表出B.%一定可由4，%，%线性表出D.一定线性无关夕线性相关，则（）（较易）B.%必能由四，4 线性表出D.夕必能由%,。2，%线性表出8.设维列向量组%，L ,4（加 ）线性无关,则维列向量组凡,L ,总线性无关的充足必要条件是（）（难）A.向量组%,%L 可由向量组4,4L，乩线性表达B.向量组幺2，L ,凡 可 由 向 量 组，线性表达C.向量组四,里1 电 与向量组尸i，&L，&等价D.矩阵A=,a2，L ,4,）与矩阵8 =（凡 4 L ,凡）等价9.设向量组（I ）a1,a?,L ,%可由向量组（I I）凡&L应线性表达，则（）（中档）A.若向量组（I ）线性无关，则Ys；B.若向量组（I ）线性相关，则 6；C.若向量组（I I）线性无关，则r W s；D.若向量组（H）线性相关，则1 0 .已知i，是Ar =人的两个不同的解，a.a?是相应齐次方程组4 r =0 的基础解系，匕，也是任意常数，则=匕的通解是（）（较难）A.%乌+女2(q+%)+)C.&乌+左2(4 B.ki+&2(_%)+D.%乌+左2 (河夕2)+-二、填空题1 1 .设a=(L 1,T),夕=(-2,1,0),/=(-1,-2,1),贝 1 3 a 夕+5y=.(较易)1 2 .设向量a=(6,-2,0,4),p=(-3,1,5,7),向量丫满足 2 a+y=3 B，则1-1 3 .已知向量组%=（1,七-3）,a?=（2,4,-6）线性相关，则数公.（较易）1 4 .已知向量组%=（1,2,3）,%=T，2）,%=（2,3,k）线性相关,则数A.（中档）1 5 .已知向量组%=（1,2,3）,%=（3,-1,2）,%=（2，3,k）线性无关，则数A.（中档）1 6 .设向量组四，a2,e r；线性无关，则向量组/%-%，加（“一%，线性无关的充足必要条件是常数/,相 满 足 条 件。（难）1 7 .设线性无关的向量组四,。2,，可由向量组四，人，,A 线性表达，则 r 与s 的关系为.(中档)1 8 .已 知 向 量 组%=(1,2,-1),%=(2,0,，),%=(0,-4,5)的 秩 为 2 ,则数t=.(中档)1 9 .向量组(Z|=(1,2,0),a2=(2,4,0),a3=(3,6,0),a4=(4,9,0)的秩为.(中档)2 O .n 阶矩阵A 的各行元素之和为0,且R(A)=n-l,则方程组Ar =O 的通解为_ _ _.(较难)三、解答题-2 2 1 4 J2 1 .把向量=表达成向量组%=,a2=,a3=的线性组合.(简朴)2 2 .设囚(1)。为什么值时，不 能 由 线 性 表 达；(2)a 为什么值时，夕能由4，。2，。3，4唯一的线性表达，并写出线性表达式.(较难)2 3 .拟定常数a,使向量组q=(1 1 )r,a2=(1 a l)r,a3=(o 1 1)，可由向量组用=(1 1 a),尾=(-2 a 4)r,=(-2 a a)，线性表达，但是向量组片血，夕 3 不能由向量组?，%线性表达。(难)2 4 .设向量组=(1,3,0,5 尸,a2=(l,2,1,4)T,a3=(l,1,2,3)T,a4=(l,0,3,k)拟定在的值，使向量组四,%，。3，。4 的秩为2,并求该向量组的一个极大线性无关组.(简朴)25.设 向 量 组%=（2,1,3,1尸，%=（1,2,0,1）T,a3=（-l,1,-3,0）T,a4=（l,1,1,1）T,求 向 量 组 的 秩 及 一 个 极 大 线 性 无 关 组，并用该极大线性无关组表达向量组中的其余 向 量.（中 档）x-8X2+10玉+2几=026.求 齐 次 线 性 方 程 组 卜 七+%+5工3 7 4=0的 基 础 解 系 与 通 解.（中 档）3%+8X2+6X3-2X4=0 x,+x2=527.求 非 齐 次 方 程 组2 5+9+七+2=1的 通 解 及 相 应 的 齐 次 方 程 组 的 基 础5 玉 +3X2+2X3+2X4=3解 系.（中 档）四、证明题28.设%,%,线 性 无 关，证 明%,%+2a2,%+3a3也 线 性 无 关.（简 朴）29.已 知 向 量 组 四,%,%线 性 无 关，证 明：向 量 组4+3a2,2a2+3。3，2a?+外线性 无 关.（简 朴）30.设 维 向 量 组（I）：a,a2,L,ar；向 量 组（H）：=a,-a2,/32=a2-a3,L,A-l=ar-l ar 3=%+%,证 明：R（I）=R（II）o （较 难）线性方程组一、选择题1.已知才是一个3X4矩阵，下列命题中对的的是（）（中档）A.若矩阵4中所有3阶子式都为0,则 秩（4）=2B.若1中存在2阶子式不为0,则 秩（4）=2C.若 秩（4）=2,则/中 所 有3阶子式都为0D.若 秩（4）=2,则A中所有2阶子式都不为02.设 为矩阵，赭n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充足必要条件是A的秩（）（中档）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n3 .设 1是 n阶方阵，若对任意的n 维向量/均满足4 斤0,贝 U （）（中档）A.A=0 B.A=E C.秩 C4）=n D.0 秩（4）n4 .设 为 0 义矩阵，且则齐次方程4 虑0必（）（较难）A.无解 B.只有唯一解 C.有无穷解 D.不能拟定+2 x?&=4 -15 .若方程组1 3%-七=4一2 有无穷多解，则几二（）（较难）2X2-X3=（2-3）（2-4）+（2-2）A.1 B.2 C.3 D.4$+/=46 .已知线性方程组（玉+%+&=3 无解，则数无（）（中档）2%+2ax2=41A.B.021C.一D.1x3=2 3（丸1）-3 =_（九一3）（4一1）&+/+无 3 =%-17.若方程组2x,一与=4 2有唯一解，则4 =（）（较难）A.1 或 2B.T 或 3C.1 或 3D.-1 或-322 x j -x2+x3=08 .设齐次线性方程组卜 -巧=。有非零解，贝 为（孙+冗 2 +均=0）（中档）A.-1 B.0 C.1 D.29 .设a是非齐次线性方程组/产力的解，是其导出组/0 的解，则以下结论对的的（）（较易）A.a+夕 是 的 解 B.a+尸是月产6的解C.夕-。是的解 D.a-是4Y=0的解1 0.设力是4 X 6 矩阵，r（A）=2f则齐次线性方程组月产0 的基础解系中所含向量的个数是（中档）A.1B.2C.31）.41 1 .下列矩阵不是初等矩阵的是（）（较易）0 0、A.0 0 1、0 10 o rB.0-1 0J 0,1 0 0、0-02S 0 1J 1 0 0D.0 1 -4、0 0 1二、填空题71 2 .设线性方程组1,11a11%=1有无穷多个解，则。=a）xi）12,（较难）1 3 .设 4为阶矩阵，6为阶非零矩阵，若 6的每一个列向量都是齐次线性方程组月产0的解，则|却=.（中档）1 4 .设%曾 2 是齐次线性方程组力行0 的两个解，则 4（3%+7 a 2）=.（较易）1 5 .设 n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0,且 A 的秩为nT,则齐次线性方程组Ax=0的通解为 一 .（难）1 6 .三元方程为+四=1 的通解是（中档）.%+A,X2+x3=01 7 .设 方 程 组,石+*3 =0 有非零解，且数彳0,则彳=（较难）X 1 +九七=02 0 4、1 8 .设A=-Ila,R（A）=2,求。=.（中档）J 2 6,1 9 .齐 次 线 性 方 程 组+*2+?=（）的基础解系所含解向量的个数为 2 x）-x2+3X3=0（中档）2 0.矩阵方程1用1 的解后.（中档）1 0 M U-U -2 1.设 3元非齐次线性方程组Ax=b有解a产且 （4）=2,则Ax=b的通解是（难）22.若x=*x=5 为齐次方程组AX=0 的解，则 x=。&为方程组一的 解.（中档）23.若x=7,x=%为非齐次方程组AX=匕的解，则 x=7 -772为方程组的解.（中档）三、计算题24.求下列齐次线性方程组的基础解系和通解：（较难）(1)冗 +%+2X3-x4=02x+x2+x3-x4=02xl+2X2+2X4=0(2)4X)+2X2+2X3+x4-02尢1+工2-2工3-2工4=0 x-x2-4X3-3X4=025.用相应导出组的基础解系表达下列非齐次线性方程组的通解：（较难）X -+当+2犬4=1 2X|+2X2 3刍+3%4=2X 1 一冗2+2工3+5%4=-1 Xj+-3工3+2工4=426.求该非齐次线性方程组的通解：（较难）%1 4-x2-x3-x4=12x1+为+%3+Z =44x,+3X2-X3-X4=6XJ+2 2 4 x 5 4X4=-127,拟定a 的值使下列线性方程组有解，并求其解。（较难）2x-+13+X4=1%1+2X2-&+4X4=2%1+7X2-4X3+llx4=a2 8.拟定a 的值使下列线性方程组有解，并求其解。（难）axx+x2+x3=1,Xj+ax2+x3=ax1+x2+0 X 3 =a2,2 +2X2+3X3=42 9.问 a为什么值时，线性方程组 2 +。W=2 有惟一解？有无穷多解？并在有2%j +2X2+3X3=6解时求出其通解.（较难）3 0.设非齐次线性方程组!x-v x2-x3=1,+3X2+AJC3=3X +AX2+3X3-2,（1）拟定当入取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解.（难）