七数培优竞赛讲座第4讲--数轴——数与形的第一次碰撞.doc

第四讲 数轴数与形的第一次碰撞 为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象 数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来 数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想数形结合思想 利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在： 1运用数轴直观地表示有理数； 2运用数轴形象地解释相反数； 3运用数轴准确地比较有理数的大小；4运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题例题 【例1】(1)数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是一2，且A、B两点的距离为3，那么点D对应的数是 (江苏省竞赛题)(2)在数轴上，点A、B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是 (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)确定B点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系 【例2】 如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF，则与点C所表示的数最接近的整数是( ) 思路点拨 利用数轴提供的信息，求出AF的长度 【例3】比较与的大小 思路点拨 因为表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由无意义得出，据此3个数把数轴分为6个部分【例4】（1）阅读下面材料并回答问题28(02南京市) (1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点 A在原点，如图1，ABOBb=ab当A、B两点都不在原点时， 如图2，点A、B都在原点的右边ABOBOAb|a|= b a=|a b|； 如图3，点A、B都在原点的左边，ABOBOAb|a|= b a=|a b|；如图4，点A、B在原点的两边，ABOBOAb|a|= b (a)=|a b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|ab| (2)回答下列问题： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3的两点之间的距离是 ； 数轴上表示x和1的两点A和B之间的距离是 ,如果AB2用么x为； 当代数式x+1十x2取最小值时，相应的x的取值范围是 (2002年南京市中考题) 注： 有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求 从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括： (1)数轴上堵塞点所表示的数是正负性； (2)数轴上的点到原点的距离 (1)字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围内赋予宇母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”，但这种方法不能作为解题的规范过程(2)纯粹的代数的方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚至简单化(2)试求x-1十x2+x3+x1997的最小值 (天津市竞赛题) 思路点拨 对于(1)，阅读理解从数轴上看，的意义；对于(2)由于x的任意性、无限性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝对值的几何意义，利用数轴入手，借助(1)的结论解题 【例5】 (1)工作流水线上顺次排列5个工作台A、B、C、D、E，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短? (2)如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短? (3)当流水线上有n个工作台时，怎样放置工具箱最适宜?思路点拨 把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决本例的模型数轴，将问题转化为例4的形式求解学力训练1在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则 2在数轴上的位置如图所示，则中最大的是 3有理数在数轴上的位置如图所示，若 ，则，则1000m ( “希望杯”邀请赛试题)4如图，工作流程线上A、B、C、D处各有1名工人，且ABBCCD1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱的安放位置是 5有理数在数轴上的位置如图，化简的结果为( ) Aa+c B-a-2b+c Ca+2b-c D-a-c 6如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数，且=10，那么数轴的原点应是( ) AA点 BB点 CC点 DD点 (第15后江苏省竞赛题)7的最小值是( ) A2 B0 C1 D一l8数所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是( ) A B= C D不确定的 (江苏省竞赛题)9已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3求所有满足条件的点B与原点O的距离的和 (北京市“迎春杯”竞赛题)10已知两数，如果比大，试判断与的大小11有理数满足，用“<”将连接起来 12的最小值是 13已知数轴上表示负有理数的点是点M，那么在数轴上与点M相距个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是 (山东省竞赛题)14若，则使成立的取值范围是 (武汉市选拔赛题)15如图，A、B、C、D、E为数轴上的五个点且ABBC=CD=DE，则图中与P 点表示的数比较接近的一个数是（ ） A一l B1 C 3 D5 (河南省竞赛题)16设，则下面四个结论中正确的是( ) A没有最小值 B只有一个使y取最小值 C有限个(不止一个)y取最小值 D有无穷多个使y取最小值17不相等的有理数在数轴上对应点分别为A、B、C，若，那么点B( ) A在A、C点右边 B在A、C点左边 C在A、C点之间 D以上均有可能18试求的最小值19电子跳蚤落在数轴上的某点K。，第一步从K。向左跳1个单位到Kl，第二步由Kl向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到，第四步由K3向右跳4个单位到K4，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94，试水电子跳蚤的初始位置Ko点所表示的数20如图，在数轴上（未标出原点及单位长度）点A为线段BC的中点，已知点A、B、C对应的三个数之积为负数，这三个数之和与其中一数相等，设为三数中两数的比值，求的最大值和最小值21某城镇沿环形路上依次排列有五所小学：A1、A2、A3、A4、A5，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各校的电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最少总台数(湖北省荆州市竞赛题) 参考答案