2021届山东省青岛二中高三上学期10月月考数学试题(解析版).docx

2021-2021学年山东省青岛二中高三(上)10月月考数学试卷一选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简两个集合，再取交集.【详解】因为，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知函数.若有零点，则（ ）A. 是的充分不必要条件B. 是的必要不充分条件C. 是的充要条件D. 是的不充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简因为有零点，则，即.，再由集合法判断.【详解】因为函数有零点所以，即.因为不能推出，但能够推出.所以是的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查常用逻辑用语中的逻辑条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.若、不全0，必须且只需()A. B. 、中至多有一个不为0C. 、中只有一个为0D. 、中至少有一个不为0【答案】D【解析】【分析】本题首先可以通过题意中的“、不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果【详解】“、不全为0”包含三种情况，分别是“为0，不为0”、“不为0，为0”、“、都不为0”，故、中至少有一个不为0，故选D【点睛】本题的重点在于对“不全为”、“至多有一个”、“只有一个”、“至少有一个”等连接词的意思的判断，能否明确理解上述连接词的词义是解决本题的关系，考查推理能力，是简单题4.设实数满足，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由，确定，得到在上是单调递减函数，可知，再由在上单调递增，得到，从而得到三个数大小.【详解】实数满足，在上单调递减函数，故，在上单调递增，则，的大小关系为，故选:：B.【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想，属于中档题.5.已知数列满足，则（ ）A. 10B. 20C. 100D. 200【答案】C【解析】【分析】由题可得数列是以为首相，为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求出【详解】因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则【点睛】本题考查由递推公式证明数列是等差数列以及等差数列的通项公式，属于一般题6.已知函数满足，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得 ，所以在上单调递减，在上单调递增；根据定义域可知，；所以再分，当进行讨论求解.【详解】根据题意可得， ，在上单调递减，在上单调递增；根据题意可知，；当时，解得； ；当时，不符合题意（舎）；当时，解得综上，的取值范围为.故选：:A.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，还考查了分类讨论思想方法，属于中档题.7.函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数是奇函数，排除选项BD，时， ，所以时，函数是增函数，排除选项C.得到结论.【详解】因为函数是奇函数，排除选项BD，当时， ，所以时，函数是增函数，排除选项C.故选：:A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，还考查了数形的思想方法，属于中档题.8.已知是定义在上的奇函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，先根据已知条件求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的图像和性质解不等式得解.【详解】构造函数，因为为奇函数，所以=xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，因为当时，单调递减，x0时，函数F(x)单调递增，因为f(-1)=0,所以F(-1)=(-1)f(-1)=0.F(1)=0.因为f(x)0，所以，所以，所以x1或-1x0.故选B【点睛】本题主要函数奇偶性的判断，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则.在有两个不相等实根求解.【详解】因为所以.因为函数在其定义域内既有极大值也有极小值，所以只需方程在有两个不相等实根.即，令，则.在递增，在递减.其图象如下:，.故选：:D.【点睛】本题主要考查了导数与函数的极值，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.10.对，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求导，讨论函数的单调性，可得的最小值.详解：设 则 设 则在上恒成立，函数在 上单调递增， 在上恒成立，即函数在 上单调递增，则的最小值为.故选C.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和值域，属中档题二多选题11.已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是（ ）A. 直线是函数的图象的一条对称轴B. 函数在上单调递减C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象D. 函数在上的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】先将函数转化，由其图象的一个对称中心为，确定函数，下面逐项验证.由，得到直线是函数的图象的一条对称轴，故A正确；当时，得到函数在上单调递减，故B正确；函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故C错误；当时，得到函数在上的最小值为故D正确.【详解】的图象的一个对称中心为，则，.，.则.，直线是函数的图象的一条对称轴，故A正确；当时，函数在上单调递减，故B正确；函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故C错误；当时，函数在上的最小值为，故D正确.故选:：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.已知函数的定义域，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是（ ）0451221A. 函数的极大值点有2个B. 函数在上是减函数C. 若时，的最大值是2，那么的最大值为4D. 当时，函数有4个零点【答案】AB【解析】【分析】观察的图象，有两个左负右正的不等零点故A正确，函数在成立，故B正确，根据条件作出的图象判断C错误，由得，利用数形结合法得到D错误.【详解】由的图象，当或，函数为增函数，当或，函数为减函数，即当时，函数取得极大值，当时，函数取得极大值，即函数有两个极大值点，故A正确，函数在上是减函数，故B正确，作出的图象如图:若时，的最大值是2，则满足，即的最大值是5，故C错误，由得，若，当时，有四个根，若，当时，不一定有四个根，有可能是2个，故函数有4个零点不一定正确，故D错误，【点睛】本题主要考查导数在函数的单调性，极值，最值中的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.13.已知函数，下列命题中的真命题有（ ）A. ，为奇函数B. ，对恒成立C. ，若，则的最小值为D. ，若，则【答案】BC【解析】【分析】先化简函数；作出函数的图象，再逐项判断，；由函数的图象是的图象向左或向右平移个单位，它不会是奇函数的，故A错误； 由，得，；又，取或时成立B正确； 由时，得 的最小值为，所以C正确；当时， ，所以D错误.【详解】由题意；的图象如图所示；函数的图象是的图象向左或向右平移个单位，它不会是奇函数，故A错误；若 ，；又，取或时，对恒成立，故B正确； 时， 的最小值为，故C正确；当时， 故D错误；故选:BC.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三填空题14.已知，则_.【答案】【解析】【分析】因为，再代入求解.【详解】已知所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.在各项均为正数的等比数列an中，若a4a725，则log5a1+log5a2+log5a10_【答案】10【解析】【分析】根据等比数列的等积性求解即可.【详解】故答案为：10【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性,属于基础题型.16.若，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】通过平方和与商的关系即可得到答案.详解】由于，所以，因此.【点睛】本题主要考查平方和与商的关系，难度很小.17.已知，则_.【答案】；【解析】【分析】把已知式平方可求得，从而得，再由平方关系可求得【详解】，即，即,.故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查正弦的二倍角公式，在用平方关系求值时要注意结果可能有正负，因此要判断是否只取一个值四解答题18.（1）计算：（2）化简【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式求出每项的值，再进行加法运算可得出答案；（2）先将切化为弦，即，通分后利用辅助角公式化简，结合诱导公式再化异角为同角，再利用二倍角公式计算化简计算可得出答案【详解】（1）；（2）【点睛】本题考查利用诱导公式、三角恒等变换公式进行求值，在利用三角恒等变换公式求非特殊角的三角函数值时，需注意以下几个步骤：（1）切遇弦，切化弦，另外在分式运算要通分；（2）遇到利用辅助角公式化简，即，其中由以及点所处象限决定；（3）遇到弦的二次式，需要利用二倍角降幂公式进行降幂19.已知数列的前项和为，且满足，().()求数列的通项公式；()设，求数列的前项和.【答案】() ； () 【解析】【分析】（）首先利用数列的递推关系式求出相邻项之间的关系，进一步利用累乘法求出数列的通项公式；（）利用（）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】（）已知数列的前项和为，且满足，().当时，.所以，故，两式相减得，所以，（）由于，所以.【点睛】本题考查了数列的通项公式求法及应用，累乘法的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题20.已知函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数yg（x），当时，求g（x）的值域【答案】（1）（kZ）（2），2【解析】【分析】（1）化简可得：，利用复合函数的单调性及三角函数性质计算即可（2）由函数f（x）的图象平移、伸缩可得新的函数：g（x），由可得：，利用三角函数性质可得：，问题得解【详解】解：（1）函数，令：（kZ），解得：（kZ），所以函数的单调递增区间为：（kZ）（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到：g（x）的图象，由于：，所以：，所以：，故：故函数g（x）的值域为：，2【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角的正弦公式，还考查了两角和的正弦公式，还考查了三角函数性质及转化能力、计算能力，属于中档题21.已知函数为奇函数.（1）求实数的值并证明函数的单调性；（2）解关于不等式:.【答案】（1）2，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由函数为奇函数，得，化简得，所以，.再转化函数为，由定义法证明单调性.（2）将可化为，构造函数，再由在上是单调递增函数求解.【详解】（1）根据题意，因为函数为奇函数，所以，即，即，即，化简得，所以.所以，证明：任取且，则因为，所以，所以，所以在上单调递增；（2）可化为，设函数，由(1)可知，在上也是单调递增，所以，即，解得.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：手机店 型号手机销量6613811型号手机销量1291364（）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；（）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）【答案】（I）；（II）见解析；()【解析】【分析】（）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，分别求出的值，根据相互独立事件的公式求出，最后利用对立事件概率公式求出抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；（）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，故的所有可能取值为：0，1，2，分别求出的值，写出随机变量的分布列，并根据数学期望计算公式求出；（III）根据方差的性质和变量的关系即可求出方差的值.【详解】（）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，依题意，有，且事件、相互独立.设“抽取的2部手机中至少有1部为型号手机”为事件，则 即抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为 （）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，故的所有可能取值为：0，1，2且， 所以随机变量的分布列为： 012 故 （III）.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量分布列、数学期望的计算，以及方差的性质，考查了数学运算能力.23.已知函数g（x）=，f（x）=g'（x）-（a是常数）若对aR，函数h（x）=kx（k是常数）的图象与曲线y=f（x）总相切于一个定点（1）求k的值；（2）若对（0，+），f（）-h（）f（）-h（）0，求实数a的取值范围【答案】(1) k=1 (2) （-，1【解析】【分析】（1）由函数的图像与曲线 总相切于定点可知的值是与 无关的常数，即可求出，再计算出切点坐标得出切线方程，从而得到的值；（2）设，由题可得恒成立或恒成立，化简可得恒正或恒负，讨论的值，计算的最值进行判断【详解】解：（1）由已知得，可设函数的图像与曲线 总相切于定点,可得，且的值是与 无关的常数，因而，进而可求得切线方程为，得，所以，（2）因为，所以可设,可得题设即，则与同号，即恒成立或恒成立设，可得可得题设即：恒成立或恒成立；当时，可得，所以是增函数，此时满足题意，当时，可得在上分别是减函数、增函数，进而可得题设恒成立取，下面判断的正负：设函数，可得，是增函数，因而，是增函数；故，说明时不满足题意综上所述，可得所求实数的取值范围是【点睛】本题考查函数切线的方程问题，利用导数研究函数的单调性与最值问题，属于综合题