专题07-导数的应用(解析版).docx

专题07导数的应用 命题规律内 容典 型利用导数研究函数的单调性2018年高考全国卷理数已知函数的单调性求参数范围2019年高考北京理数已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值2018年高考全国卷理数已知函数在某点取极值求参数范围或值2018年高考全国卷理数利用导数求函数的最值2019年高考全国卷理数命题规律一 利用导数研究函数的单调性【解决之道】用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数f(x)的定义域；求导数f'(x)；由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.【三年高考】1.【2018年高考全国卷理数】函数的图像大致为【答案】B【解析】为奇函数，舍去A；，舍去D；时，单调递增，舍去C.因此选B.2.【2018年高考全国卷理数】函数的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点，排除A，B；令，则，由得，得或，此时函数单调递增，由得，得或，此时函数单调递减，排除C.故选D.3.【2018年高考天津理数】已知函数，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【解析】（I）由已知，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得l1与l2重合.即只需证明当时，方程组有解由得，代入，得. 因此，只需证明当时，关于x1的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.命题规律二 已知函数的单调性求参数范围【解决之道】解决此类问题，先求出函数的导数，利用导数与函数的导数关系转化为导函数在某个区间上大于等于0（增函数）（或大于等于0（减函数）恒成立问题求解.【三年高考】1.【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.命题规律三 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值【解决之道】解决此类问题的一般步骤为：(1)确定函数定义域；(2)求导数f(x)及f(x)0的根；(3)根据方程f(x)0的根将函数定义域分成若干个区间，列出表格，检查导函数f(x)零点左右f(x)的值的符号，并得出结论【三年高考】1.【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M【解析】（1）因为，所以因为，所以，解得（2）因为，所以，从而令，得或因为都在集合中，且，所以此时，令，得或列表如下：1+00+极大值极小值所以的极小值为（3）因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为由，得列表如下： +00+极大值极小值所以的极大值解法一：因此解法二：因为，所以当时，令，则令，得列表如下：+0极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故所以当时，因此2.【2018年高考全国卷理数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【解析】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.命题规律四 已知函数在某点取极值求参数范围或值【解决之道】解决此类问题常利用f(x0)0列方程求参数，求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征【三年高考】1.【2018年高考全国卷理数】已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求【解析】（1）当时，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，且仅当时，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.如果，则当，且时，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.2.【2018年高考北京理数】设函数=（）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围【解析】（）因为=，所以f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由题设知f (1)=0，即(1a)e=0，解得a=1此时f (1)=3e0所以a的值为1（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a>，则当x(，2)时，f (x)<0；当x(2，+)时，f (x)>0所以f (x)在x=2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x2<0，ax1x1<0，所以f (x)>0所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）命题规律五 利用导数求函数的最值【解决之道】求函数f(x)在闭区间a，b内的最值的思路：(1)若所给的闭区间a，b不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f(x)0在区间a，b内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)若所给的闭区间a，b含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值【三年高考】1.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是 .【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.2.【2018年高考全国卷理数】已知函数，则的最小值是_【答案】-332【解析】f'(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+1)(cosx-12)，所以当cosx<12时函数单调递减，当cosx>12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，所以当时，函数fx取得最小值，此时sinx=-32,sin2x=-32，所以fxmin=2×(-32)-32=-332，3.【2018年高考江苏】若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点，则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】由得或，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此解得.从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，则4.【2020年高考江苏卷17】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式己知点到的距离为米（1）求桥的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中，在上（不包括端点）桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（），问为多少米时，桥墩与的总造价最低？【解析】（1）过，分别作的垂线，垂足为，则令，得，（2）设，则，由得总造价，令，得或，当时，单调递减；当时，单调递增,当时，取最小值，造价最低5.【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】（1）连结PO并延长交MN于H，则PHMN，所以OH=10过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE=，故OE=40cos，EC=40sin，则矩形ABCD的面积为2×40cos（40sin+10）=800（4sincos+cos），CDP的面积为×2×40cos（4040sin）=1600（cossincos）过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10令GOK=0，则sin0=，0（0，）当0，时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sin的取值范围是，1答：矩形ABCD的面积为800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为1600（cossincos）平方米，sin的取值范围是，1（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sincos+cos）+3k×1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，设f（）=sincos+cos，0，则令，得=，当（0，）时，所以f（）为增函数；当（，）时，所以f（）为减函数，因此，当=时，f（）取到最大值答：当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大6.【2019年高考全国卷理数】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）令，得x=0或.若a>0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a0时，由（1）知，在0，1单调递增，所以在区间0，l的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，即a=0，（ii）当a3时，由（1）知，在0，1单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最小值为此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1（iii）当0<a<3时，由（1）知，在0，1的最小值为，最大值为b或若，b=1，则，与0<a<3矛盾.若，则或或a=0，与0<a<3矛盾综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在0，1的最小值为-1，最大值为17.【2019年高考北京理数】已知函数（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值【解析】（）由得.令，即，得或.又，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与.（）令.由得.令得或.的情况如下：所以的最小值为，最大值为.故，即.（）由（）知，当时，；当时，；当时，.综上，当最小时，.