基于小波变换的图像压缩方法研究毕业论文.docx

安徽大学本科毕业论文（设计、创作）题目： 基于小波变换的图像压缩方法研究 学生姓名： 黄垚 学号 Z01114159 院（系）：电气工程与自动化学院 专业：电气工程与自动 化入学时间： 2011 年 9月导师姓名：孙战里职称/学位：教授 博士 导师所在单位：安徽大学 完成时间： 2015年 4月基于小波变换的图像压缩方法研究摘 要在当今社会，由于图像采集设备的广泛应用以及采集分辨率的逐步提高，图像数据呈指数增长，为了能够充分的利用图像数据，对图像和视频数据进行压缩成为亟待解决的问题并且成为图像处理领域研究的一个热点问题。而小波变换因其优秀的时-频局部性特征和与人眼视觉系统多通道相吻合的多分辨率分解特性，在图像压缩领域得到了较为广泛的应用，基于小波变换的图像压缩编码算法成为了图像压缩领域中的一个最重要的分支，对其进行的研究和改进无疑是一项相对重要的任务和研究热点。本文首先介绍小波分析及其性质,对尺度函数、小波母函数、多分辨分析等进行分析。然后根据近些年发表的学术文章，分析并整理了第二代小波变换的理论与实现方法，分析了第二代小波变换的优点及这些优点在图像压缩中的应用。还分析了图像小波变换后小波系数的特征，讨论了优化小波系数的小波基选择问题。最后阐述了当前热门的EZW编码算法和SPIHT编码算法。关键词：小波变换 图像压缩 小波基 EZW编码算法 SPIHT 编码算法The research of image compression based on Wavelet TransformAbstractWith the wide application of image acquisition device and the improvement of acquisition resolution, image data are growing rapidly. In order to utilize the image data effectively, the compression of image and video has become an urgent problem and has become a research hotpot in multimedia technology field. The wavelet transform technology becomes widely used in image compression fields for its good time-frequency partial characteristic and wavelet multi-resolution characteristic matching well with the multichannel model of HVS. The image compression method based on wavelet transform has become an important branch of image compression，study and improve the algorithms of image compression based on wavelet is not only an important task but also a research hot.The thesis introduces the basic concepts of wavelet transform and multiresolution analysis. Have analyzed and systemically summarized principles and realizing methods of the second generation wavelet, have analyzed advantages of the second generation wavelet transform and their applications in image compression. Characteristics of wavelet coefficients after wavelet transform are analyzed, discussed the optimal wavelet coefficients of the wavelet base selection problem. Finally elaborated the current popular EZW coding and SPIHT coding algorithm.Keywords：Wavelet transform Image compression Wavelet EZW coding algorithm SPIHT coding algorithm目 录1绪论1.1 引言1.2小波的定义1.3小波的发展历史1.4图像压缩的基本方法及现状2 第一代小波分析的基本理论2.1第一代小波的性质与特点2.2 连续小波变换2.3 离散小波变换2.4 二维小波3 第二代小波分析的基本理论3.1 提升算法的基本方法3.2 Lazy提升3.3提升算法的过程3.4提升变换与第一代小波变换的比较4 基于小波变换的图像压缩方法4.1 图像压缩中小波基的选择问题4.2 EZW编码方法4.2.1 EZW编码方法的基本思想4.2.2 EZW算法实现的一般步骤4.3 SPIHT编码方法4.3.1 SPIHT编码方法的原理4.3.2 SPIHT算法的实现过程4.4 实验结果及结论5 总结与展望1绪论1.1引言科学研究表明，在人类从外界获取的信息中,有80%以上是来自视觉感知的。但是，数字图像中的数据量十分巨大，如此庞大的数据量,给图像的传送、存储造成难以逾越的困难。图像压缩就是在没有明显失真的重要前提下,将图像的位图信息转变成另外一种能将数据压缩的表达形式。首先，虽然图像的数据量大，但是数据之间是有相互联系的，它们中间存在着很多的相关性。其次，很多图像与视频最终为人眼所接受，而我们人眼对图像的不同部分的敏感程度不同，假如除去图像中意义不大的部分，对图像主观质量不会有太大的影响。图像信号通常是一种非周期信号。传统的傅立叶变换是用周期函数去逼近图像信号,这样就使得变换系数分布相对比较分散。而小波是一种非周期函数,因此,小波变换就是用非周期函数去逼近非周期的图像信号,这样可以做到相对较好地逼近信号,使得变换后能量集中在较少量的系数上,从而有利于图像压缩。1.2小波的定义小波就是小区域的波。其具体的定义为：若函数的平方可积即L2(R)。如果满足： （1.1）则就称是一个小波基。由于在整个数轴R上都是可积的，所以在无穷远处一定为0，也就是说当t趋向于0时，衰减到0。从公式中我们可以知道与X轴所围成的图形面积其上半平面面积与下半平面面积是相等的。即随着t的变化而上下波动，这也就是小波的由来。1.3小波的发展历史传统的信号理论，是建立在 Fourier 分析基础上的，而 Fourier 变换作为一种全局性的变 化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对 Fourier 变换进行各种改进，小波分析由 此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier 分析、调和分析、数值 分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线 性科学领域，它被认为是继 Fourier 分析之后的又一有效的时频分析方法。 小波变换与 Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸 缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis） ，解决了 Fourier 变换不能 解决的许多困难问题。1.4图像压缩的基本方法以及现状图像压缩可以分为无损编码和有损编码，其依据是解码后数据是否可以全部恢复。由香农定理可知，无损压缩是有一定的极限，所以当前图像编码研究主要集中在有损编码。按编码原理分,信息编码可以划分为预测编码、变换编码、信息嫡编码、子带编码、分形编码、结构编码和基于知识的编码（1）。大致分类可以如图所示：图1.1图像编码方法预测编码是根据离散信号之间存在着一定关联性的特点，利用前面一个或多个信号预测下一个信号进行，然后对实际值和预测值的差（预测误差）进行编码。如果预测比较准确，误差就会很小。在同等精度要求的条件下，就可以用比较少的比特进行编码，达到压缩数据的目的。变换编码是从频域的角度减小图像信号的空间相关性，它在降低数码率等方面取得了和预测编码相近的效果。进入80年代后，逐渐形成了一套运动补偿和变换编码相结合的混合编码方案，大大推动了数字视频编码技术的发展。信息嫡编码是根据信息嫡原理,用短的码字表示出现概率大的位串或像素,常用信息嫡编码有Huffman编码和算术编码。子带编码简称SBC，是一种以信号频谱为依据的编码方法，即将信号分解成不同频带分量来去除信号相关性，再将分量分别进行取样、量化、编码，从而得到一组互不相关的码字合并在一起后进行传输。分形的含义是其组成部分以某种方式与整体相似的形（一类无规则、混乱而复杂），其局部与整体有相似性的体系，即：自相似性体系。结构编码首先将图像纹理、边缘和轮廓结构特征提取出来,然后分别对它们进行编码。解码时,根据这些结构信息进行合成,从而恢复出原始图像。基于小波变换的编码器的研究集中在于小波基的选取和量化后的系数建模。对小波基选取应考虑以下因素:1待压缩图像与小波的相似性2滤波器的长度和计算复杂度3小波变换的变换级数4小波变换的能量集中特性5小波变换的边界问题6小波基的正则性表1.1 小波基选取所要考虑的因素综合考虑以上因素以后，将小波变换系数的编码分解为对标志系数特征的系数重要性图的编码和对重要系数的幅度编码两部分,利用不同尺度间小波系数存在较强的相关性,将多数的零系数组织成一种树结构,从而提高了总体编码效率。（2）2 第一代小波分析的基本理论2.1第一代小波的性质与特点第一代小波有4条性质：性质1：小波是L2(R) 函数空间的一个R 基,而且是广泛函数空间的无条件基如果将小波基写为j,m|j,m 那么，在函数空间F中的任何一个函数f都可以表示为f=j,m j,m,具有无件收敛，其中j,m为小波系数；性质2：小波应该具有正交或双正交的性质;性质3:小波在空间域和在频率域应该具有局部化分析,一些小波甚至具有紧支性; 性质4:小波满足多分辨分析的框架,这就使得快速小波变换成为可能;（3）浮点数小波变换有其不可克服的缺点,如计算舍入带来的精度误差、计算速度慢;这就促使人们对整数到整数小波变换的探索。1996年A.R. Calderbank和Wim. Sweldens等提出整数到整数的小波变换,并结合提升方案构造整数到整数小波。（4）2.2 连续小波变换连续小波变换的定义为：如果函数满足条件： （2.1）就称为基本小波。通过基本小波的伸缩与平移能够产生一簇小波函数如下： （2.2）a成为尺度参数，b成为位移参数。对于任意的，若任意的，则f的连续小波变换定义为： （2.3）由小波变换重构原函数f（t）公式为： （2.4）其中: (2.5)母小波可以是实函数，也可以是复变函数。若f（t）是实信号，也是实信号，则也是实的，反之是复函数。在公式（2.3）中尺度参数a的作用是把基本小波作伸缩。参数b的作用是确定对f(t)分析的时间位置，也即时间中心。分析可知，由缩放a倍变成。当a>1时，若a越大，则的时域宽度较之变得越大。反之，当a<1时，若a越小，则的宽度越窄，与频率角等价。2.3离散小波变换所谓的离散小波变换以及反变换就是计算在离散尺度和位移下的小波变换，以及计算由这些离散点的小波变换系数对信号的重构。无论是为了理论分析的简便性还是出于实际计算的可行性分析，对小波变换进行离散化处理都是十分必要的。所谓对连续小波进行离散化就是对他的参数（a ,b）进行离散化，即分别对尺度参数和位移参数进行离散化。对尺度参数的离散化,一般的做法是取一个合理的值a0,使尺度参数a只取a0的整数幕,即a从以下整数序列中取值:对位移参数b进行离散化处理,当尺度取a=a0时,取位移b=b0,即在a=a0j时,相应地取b=ka0jb0。对尺度参数a通常是按照二进制方式进行离散化，即上式中a0=2。若取a0= ，此时小波函数满足稳定条件： (2.6)此时就得到二进小波和二进小波变换。二进小波基函数的表达式如下： （2.7）它是连续小波的尺度参数a选取二进制离散数值的结果。在实际应用中离散小波变换更合适于计算机运算的处理。离散小波的定义可以由下面式子表示: （2.8）与之相对应的离散小波变换可由下式定义： （2.9）2.4 二维小波由于图像和计算机的视觉信息多采用二维或者多维信息，因此，将第一代小波理论向二维或者多维进行推广具有极其重要的意义。由于高维小波的理论还不够完善，所以我们简单讨论二维小波。二维连续小波可以定义如下： （2.10）上式中a>0,其逆变换为： （2.11）是一个二维基本小波。小波函数的选取不是任意的，通常要求小波函数是归一化的且具有单位能量的解析函数,所以要满足以下的条件：（1） 在定义域的一个很小的区域之外，函数值要求全部为零，即定义域要求是紧支撑的，函数具有速降的特性。（2） 平均值要为零，即，而且的高阶矩阵也要为零。小波变换具有如下三条性质：（1）线性性质：若且 ，则 （2.12）（2）位移定理：若且，则（2.13）（3）频域表示：若 则 （2.14）3 第二代小波分析的基本理论第一代小波的的重要特点就是利用特殊函数的伸缩和平移而得到。而在复频域，伸缩与平移运算就变成了代数运算，因此第一代小波变换的很多性质是通过傅里叶变换来进行描述。然而，在某些情况下伸缩与平移运算并不能解决问题，相反，很有可能会带来一些限制因素，此时就需要对信号进行延拓。 维姆（Wim Sweldens）提出了一种具有更广泛意义的小波，该种不仅小波保留了第一代小波的优良性质，而且不必通过对一个特殊函数进行平移和伸缩,因此获得了具有更为广泛意义的性质。第二代小波变换又称为提升小波变换。3.1 提升算法的基本方法提升小波变换（5）的主要步骤可以分为三步：分裂、预测和提升。有正向提升过程和逆向提升过程俩种方法。（1）正向提升方法的过程: 分裂过程：将原始数据集合a0分解为不相交的俩个集合a1，c1。即： （3.1）分解的方法有多种，比如将前一半的数据划分为a1，后一半的数据作为c1；也可以将偶数点划分到a1，奇数点划分到c1。 预测过程：用a1中的数据来预测c1中的数据，预测算子记作P，用预测值与真实值的差来替代原来的c1，即： （3.2）预测形成新的c1。 提升过程：用c1中的数据来提升a1中的数据，提升算子记作S，则： （3.3）与预测过程一样用新的提升值来代替原来的提升值a1。其原理可如图所示：图3.1 提升格式示意图（2）逆向提升方法的基本过程：逆向提升方法其实是一个还原过程，即由a1和c1来还原a0。步骤为：提升过程：用c1中的数据来提升a1中的数据，提升算子记作S，则： 预测过程：用a1中的数据来预测c1中的数据，预测算子记作P，即： 还原过程：将a1中的数据和c1中的数据合并为a0，即:3.2 Lazy 提升在原始数据集中，因为对于多数信号而言其局部数据是相关的，因此，相邻的样本点比较远的样本点更为相似，因此可以按照下标k的奇、偶性进行索引抽样。第一部分:分裂过程： 第二部分:预测过程：假设奇样本点的值是相邻的俩个偶样本点的平均值，即：。此时构建预测算子P的模型是分段线性函数，其间隔为2，假如原始信号与此模型相吻合，则的所有系数为0，若果不符合，则是原始信号的高频部分，中元素称为小波系数。第三部分：提升过程：假如用相邻的小波系数提升，则。计算 A可按照能量保持原则， 即： ，如果期望，则A=。这种按照下标k的奇、偶性进行索引抽样称为Lazy抽样，称为Lazy小波。3.3 提升算法的基本过程第一代小波变换分解成提升小波变换可由如下三步组成： Lazy 小波: ; ; 级连的提升与对偶提升过程：上表表示第级提升，为提升计算使用的系数，假设级联一共有M级。 比例计算： 反变换是正向变换按照相反的次序分别进行的逆运算。具体过程为： 比例计算：； 级连的提升与对偶提升反变换过程： ； 反Lazy变换：；3.4提升变换与第一代小波变换的比较通过上述的分析我们可知，提升变换与第一代小波变换相比有较为明显的特点：一 同址计算。不需要辅助存储器，原图像可被小波变换的结果所覆盖。二 更快的小波变换。传统的快速小波变换是把信号分解成高通部分与低通部分，并在这种情况下进行抽样，然后对低通部分重复上述过程，直到所需级数。三 不需要借助傅里叶分析就可以获得逆变换的结果。只要稍微调整正变换中的正负号就可以实现。下面是在Daubechies 9/7 小波提升算法下的实验结果。（1）原图（2）一级变换（3）二级变换（4）三级变换（5）四季变换（6）五级变换图3.2 Daubechies 9/7 小波提升算法的实验结果其实验数据如下表（图像大小：256×256，PSNR 单位:db）级数PSNR大小158.658258.603358.644458.639558.6174 基于小波变换的图像压缩方法从1989年人们首次将小波变换用于图像处理以来，基于小波变换的图像压缩方法已经逐渐的收到人们的重视，在这个领域有很多人都做出了突出的贡献。在用小波变换处理图像时，小波系数的优化是一个十分重要的研究课题，它是利用小波分析解决图像压缩问题取得良好压缩效果的根本所在，然而却很少有研究涉及这一方面，在这里我们将会对此有着一定的研究。基于小波变换的图像压缩方法可以如下图形象的所展示出来：图4.1 基于小波变换的图像压缩方法基本流程小波变换具有优秀的时域频域特性，上图形象的展示出图像数据在时域、频域上的分布规律。在这些成功的算法之中，嵌入式零树小波算法(EZW)是当前大家公认的静态图像变换压缩编码的最好方法之一。4.1 图像压缩中小波基的选择问题图像分解时所选取的小波基直接影响小波系数的分布，因此讨论小波基的选取具有十分重要的意义。最优小波基指的是压缩比相同的条件下，小波系数的分布好、重构图像质量好、所需计算复杂性低。但到目前为止，还没有找到对所有图像来说都是最优的小波基，因此寻找适合所有图像的最优基是一个很有价值的研究课题。因为小波变换是基于小波变换的图像压缩方法中十分关键的一步，变换后产生的小波系数直接影响到后继一系列操作问题。 但是，并非所有的小波基都适用于图像压缩，小波函数的线性相位、紧支集、正交性、消失矩、平滑特性等对图像的压缩效果有很重要的影响。已经证明同时具备线性相位、紧支集、正交性三种性质的实小波，只有 Haar 小波，可是 Haar 小波的光滑性很不好，不适合于处理图像。在实际应用中，常放弃正交性条件，选择使用双正交小波。而小波基所对应的滤波器的性质与图像压缩有着十分重要关系,主要涉及到以下几个方面:（1）快速计算与基函数的内积计算快速,从而保持信号展开的低复杂度。(2) 快速叠加与基函数的叠加乡保持重构的低复杂度(3) 良好的时间和空间局部化使我们能够确定信号的主要成分。（4）良好的频率局部化使我们能够识别信号的振荡。(5)独立性使我们不需要太多的基元素,即可匹配信号的同一成分表4.1 小波基所对应的滤波器的性质与图像压缩的关系虽然任何实正交的小波所对应的滤波器均可以实现图像的合成与分解，可是并不是所有的分解均可以满足我们的要求。对于同一副图像而言，用不同的小波基来分解所得到的压缩数据是不同的，我们希望经小波分解后的得到的三个方向的细节分量具有高度的局部相关性,而整体相关性大部分甚至完全被解除，所以小波基的选取就十分重要。6冯伟光小波基的选取要考虑以下几个因素：（1）紧支集性如果尺度函数和小波函数是紧支撑的，则对应的H,G滤波器是有限冲击响应（FIR）滤波器，信号在分解和重构快速算法中的运算量是有限的。该特征也决定了小波的时-频局部化特征，紧支宽度越窄，小波的局部化特性越好，紧支撑小波避免了滤波过程中的截断误差，因此应用精度很好。但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多有一个是紧支的，另一个是急衰的，一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。（2）对称性对称滤波器组在图像重建中更为有利，这有两点原因：1.人类视觉系统对边缘附近的对称的量化误差较非对称的误差更为不敏感；2.紧支撑小波的线性相位特性与小波的对称性是等价的。对图像进行小波变换时，需要对图像的边界数据进行周期延拓，对于线性相位的小波基，通过周期延拓，重建信号在边界处不会产生较大失真，而对于非线性相位的小波基，边界数据失真则比较明显，会导致巨大的感官误差。（3）正交性和双正交性正交小波对应一个正交镜像滤波器组，即低通滤波器和高通滤波器正交。Daubechies已证明，除Harr小波外，一切具有紧支集的规范正交小波基及与之相关的尺度函数都不可能以实轴上的任何点为对称轴或反对称轴。也就是说，除Harr小波基外，其他的小波函数无法同时满足紧支性、正交性和对称性。但是Harr小波基的局部化性能很差，很少用于实际应用。为了获得线性相位（对称性），需要放松对正交性的限制，分解和合成过程使用不同的滤波器，从而获得更大的设计自由度，克服上述缺点。与单正交小波不同，双正交小波基有两个尺度函数和两个小波函数构成。双正交小波降低了对正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波获得了线性相位和较短支集的特性。（4）正则性正则性是对函数光滑程度的一种描述，也是函数频域能量集中度的一种度量。（5）消失矩消失矩的大小决定了小波逼近光滑函数的收敛率。当图像光滑时，滤波器的消失矩越大，产生的小波变换系数越小，及小波变换后的能量越集中于低频分量，因而更有利于图像的压缩。4.2 EZW编码方法EZW编码方法的全称是用小波系数的零树进行嵌入式编码，是1993年由美国学者Shapiro 提出的。EZW算法采用零树结构的形式来进行扫描,从而实现对小波有效系数的组织，利用不同频率子带系数间的相似特性取得了较好的效果。虽然用很少的压缩位对大量的零进行编码，但是有效的省去了对高频小波系数的编码，极大的提高了编码效率，可是它对图像小波变换系数的特点应用的不够充分。4.2.1 EZW编码方法的基本思想EZW算法采用零树量化的方法。零树是指:对于给定的阈值T,树的根节点及其所有子节点、孙节点的系数值均是无效值,根节点称为零树根。一个零树或者零树根指的是该根节点起始的一裸树是零树,同时,要求该零树不是一裸更大零树的子集,即若某节点是零树根节点,它的父节点一定不是零树根。零树量化算法的思想是在量化小波系数的时候采用了零树的数据结构。如图4.1是通过三级小波变换而形成的深度为4的树。一幅经过小波变换的图像按其频带从低到高形成一个树状结构,树根是最低频子带的结点,它有3个孩子分别位于3个次低频子带的相应位置,其余子带(最高频子带除外)的结点都有4个孩子位于高一级子带的相应位置(由于高频子带分辨率增加,所以一个低频子带结点对应有四个高频子带结点,2x2矩阵)。7曹婧 图4.1三级小波变换的空间频率树结构图4.2 具有三级尺度的小波变换系数的扫描顺序4.2.2 EZW算法实现的一般步骤EZW实现时,首先进行9抽头对称正交镜像滤波器(QMF)的小波变换。对门限值重复主循环,在每次迭代后门限值减半。门限用于计算非显著和显著小波系数的显著性图，利用零树用一种有效的方法来表示显著性图。编码主要分为副通和主通俩个过程。在主通过程中在给定的阈值条件下，对主表进行扫描编码，如果是重要系数就将其幅值放入副表之中，然后将该系数在数组中置数为零,防止在阈值减小时,该系数影响新零树的出现，而在副通过程中,对要副表中的重要系数进行细化。其主要步骤可以归纳如下：（1）初始化：规定阈值T为大于的最小2的整数次幂，在此之后，每扫描一次阈值就会减小1/2，是小波系数。（2）主扫描：按照图4.2的扫描顺序进行扫描，把小波系数和阈值T进行比较，如果则就输出一个符号，并且用一个主扫描表来记录这些输出符号。（3）辅扫描：对主扫描表开始顺序扫描，并对其中输出符号为NEG或者POS的小波系数进行量化。为了细化系数,将显著系数的二进制表示多送出一位。当解码器受到这1位后,但当前系数值增加0.25T。（4）重新排序：为方便设置下一次扫描时所需要的量化间隔,以便提高解码的精度,对输出符号为NEG或POS的数据重新排序。（5）输出编码信号:编码器输出两类信息,第一类是给编码器的信息,包括阈值、主扫描表与辅扫描表;第二类是可用于下次扫描的信息,包括阈值以及第（4）步中重新排序过的重要系数序列。(6) 如果主扫描表还没消失,将阐值T降低1/2,如果需要更多的迭代,则就要回到第（2）步。4.3 SPIHT编码方法4.3.1 SPIHT编码方法的原理Shapiro 首次提出了二维图像的小波零树嵌入编码（EZW）算法，后来，由Said和Pearlman 在EZW算法的基础之上给出了更为精细的多级树集合分列排序（SPIHT）的小波零树嵌入编码算法。它是为了实现最佳渐进传输与压缩而设计出来的。它的一个重要特点是在图像解码的任何时刻,所显示出的图像质量都是现在解码器输入位数所能获得的最优者。这些算法的主要思想是利用原始信号在各个尺度下小波变换系数的自相似性，优先传送绝对值较大的小波系数。编码时采用2倍递减的多级门限值，在各比特平面上进行孤立系数和零树的判决。编码过程可以在任何时刻终止，并且能够提供在给定比特率下图像的最佳重构。SPIHT的空间方向树如图所示：图4.3 SPIHT中的空间方向树由空间方向树的结构示意图我们可以知道，在于零树结构相比时，这种空间方向树的数据结构不仅充分利用了不同尺度间小波系数的相关性,也对同一尺度下小波系数的相关性做了充分考虑,从而更有效的组织了小波系数。SPIHT算法也采用比特平面的编码技术,不但在编码效率上比EZW算法有很大提高,同时还保留了EZW算法实现简单,码流具有嵌入式等人们感兴趣的特点。8曹婧为了便于描述SPIHT算法，先规定几个用于方向树划分的集合。 位于位置的小波变换系数的子女坐标集合。由于在每一个节点一个系数可能有四个子女或者没有子女，所以的大小可以是4或者0。在图4.3中系数b的子女为，其中为的坐标。 位于位置的小波变换系数的所有子孙坐标合集。在图4.3中，系数b的所有子孙坐标集合为。 位于系数的所有子孙坐标集合，但去掉它的直接子女集合。即：在图4.3中，。H 一切根节点的集合。在图4.3中H就是子带LL2。除此之外,在SPIHT编码过程中,为了控制集划分过程与有效值细化过程,还需要添加如下的三个辅助表:（1）LIP表：不显著系数表,其间的坐标代表着单个系数,用最低频子带系数来初始化；（2）LSP表：显著系数表,其间的坐标代表着单个系数,初始化为空表；（3）LIS表：系数的不显著集合表,每个记录都是坐标形式,包括类型A或者类型B的系数的不显著集合的根的坐标，它代表一个集合或，称为类型A表项, 称为类型B表项,用每一个空间方向树的根节点来进行初始化。4.3.2 SPIHT算法的实现过程通过以上的分析，SPIHT算法实现过程可以用以下方法来描述：第一步：算法的初始化。输出；将LSP设置为空表，将加入到LIP中，有子孙项的加入到LIS中，并作为类集合。H所有根节点的集合。第二步：分类扫描过程。（1）对LIP的每个记录进行如下处理:输出；假如，将移到LSP，并且输出的符号位。（2）对LIS的每个记录进行如下处理：假如这个记录代表一个A类集合就进行以下处理：1）输出；2）假如，则2.1）对每一个进行如下的处理：2.1.1）输出；2.1.2）假如，将加入到LSP，并且输出的符号位；2.1.3）假如，将加入到LIP。2.2）假如不是空集合，将加入到LIS的尾部，并且要标明它是B类集合，转到（2）；如果是空集合，将从LIS中移除。假如这个记录代表一个B类集合，则：1）输出；2）假如，则：2.1）将每个加入到LIS尾部，并且标记为A类集合；2.2）从LIS中移除项。第三步：对LSP之中的每一项，然后输出的第n个最高有效位。第四步：n=n-1，然后返回第二步。4.4 实验结果及结论小波变换的作用就是要对图像进行多分辨率分解,即把原始图像分解为不同空间、不同频率的子代图像,这些图像实际上是由小波变换后产生的系数而构成的,对一个原始图像要进行3级小波分解的例子可以如图4.4所示,每一级分解都会把图像分解成4种不同空间,不同频带的子代图像。图4.4原始图像与三级小波分解从图中可以看出来，如果分解级数越多，那么图像的分辨率等级也就越多，每一级分解,都将使图像的分辨率降为前一级的1/2。第一层包含了图像的细节特性，也称为高分辨率或者高频小波系数。而上面的一层是图像的粗略特征,也称低分辨率或者低频小波系数。对低层进行粗量化不会丢失太多重要的信息,而较高的层应当量化的较为细一些，子带结构是一切用小波变换压缩图像的方法的基础。所以在解码端,如果只是想得到较低分辨率的图像,那就只需要对一部分子代图像进行解码。5 总结与展望随着现代互联网技术日益更新和图像、视频使用的范围不断扩大，人们对于图像编码的技术要求越来越高，提出了一系列的新要求，而较高的压缩比只是其中的一部分。由我们前面所述的小波的一系列优秀性质，使得小波变换广泛的用于图像编码技术，并且取得了很大的成功。特别是EZW编码算法和SPIHT编码算法的提出为图像编码注入了新的活力，实现了图像的可分级编码。本文首先介绍小波分析及其性质,对尺度函数、小波母函数、多分辨分析等进行分析。然后根据近些年发表的学术文章，分析并整理了第二代小波变换的理论与实现方法，分析了第一代、第二代小波变换的优点及这些优点在图像压缩中的应用。还分析了图像小波变换后小波系数的特征，讨论了优化小波系数的小波基选择问题。最后阐述了当前热门的EZW编码算法和SPIHT编码算法。小波变换在图像压缩领域的应用还处在初级阶段，这是一个新兴的领域，出现许多优秀的编码算法。但是人们对于小波基选取的了解还知之甚少，这是许多人都会忽略的方面，值得我们去注意。总之，对于基于小波变换的图像压缩方法研究，本文只是做了一个很小方面的研究，目前还有许多优秀的算法值得人们去进一步研究。1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. 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