九年级数学上册-一元二次方程的解法-人教新课标版.doc

2.2 一元二次方程的解法3【要点预习】1. 公式法的概念当b24ac 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是： ，这种一元二次方程的解法叫做公式法.2. 判别式我们把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式，当b24ac 时方程有两个不相等的实数根；当b24ac 时方程没有实数根；当b24ac 时方程没有实数根.【课前热身】1. 一元二次方程x2+x+2=0的根的情况是 A. 有两个不相等的正根 B. 有两个不相等的负根C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 答案：C2. 以下关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 . x2+4=0 . 4x24x+1=0 . x2+x+3=0 . x2+2x1=0答案：D3. 写出以下一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b，常数项c，并求b24ac的值：一元二次方程二次项系数a一次项系数b常数项cb24ac的值3x22x4=05y2=42y(2x+3)2=3x2+7答案：3 2 4 5 2 4 1 12 24. 用公式法解方程4x2+3x2=0.解：a= ，b= ，c= ，b24ac= .x= ，即x1= ，x2= . 答案：4 3 2 41 【讲练互动】【例1】用公式法解以下方程：(1) x23x+2=0； (2) 2x26=x.【分析】 用公式法解一元二次方程关键是正确确定a，b，c的值.【解】(1) a=1，b=3，c=2，b24ac=(3)24×1×2=1.x=. x1=2，x2=1.(2) 将一元二次方程化为一般形式，得 2x2x 6=0.a=2，b=，c=6，b24ac=()24×2×(6)=50.x=. x1=，x2=.【黑色陷阱】运用公式法解方程时，注意以下两个方面：没有将方程化为一般形式，就确定a，b，c的值或确定a，b，c的值时，忽略了a，b，c的符号. 【变式训练】1. 用公式法解以下方程：(1) x22x3=0； (2) 4x2x=2.【解】(1) a=1，b=2，c=3，b24ac=(2)24×1×(3)=16.x=. x1=3，x2=1.(2) 4x2x+2=0，其中a=4，b=，c=2，b24ac=()24×4×2=0.x=. x1=x2=.【例2】给以下方程选择适当的方法：(1)可选用 法；(2) 5x2x=0可选用 法；(3) x22x=9999可选用 法；(4)(5x1)2=3(5x1) 可选用 法；(5)5x211x+5=0可选用 法.【解析】根据方程的系数和结构特点来选择适当的方法.【答案】开平方 因式分解 配方 因式分解 公式【绿色通道】当方程的一边是完全平方式，另一边是常数时可用开平方法；当方程常数项为零或一边为零，另一边容易分解因式提取公因式、平方差分解、完全平方公式分解时可用因式分解法；当方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可选用配方法；对一时不能确定解法的的一元二次方程，化为一般形式后，再根据情况选择适当的方法，公式法是通用方法.【变式训练】2. 用适当的方法解以下方程：(1) 2x2+12x=0；(2) 4(x+3)2=(x2)2；(3) x2+4x=21.【解】(1) 2x(x+6)=0，2x=0或x+6=0. x1=0，x2=6.(2) 2(x+3)=(x2)，2(x+3)=x2或2(x+3)=(x2).x1=8，x2=.(3) x2+4x+4=21+4，即(x+2)2=25. x+2=5，即x1=3，x2=7.【例3】假设关于的一元二次方程x2+2xk=0没有实数根，求k的取值范围.【解】 一元二次方程x2+2xk=0没有实数根，b24ac=224×1×(k)<0.解得k<1.【绿色通道】判定一元二次方程根的情况，要根据判别式来确定：当b24ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac<0时，方程没有实数根.【变式训练】3. 以下关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 A. B. C. D. 【答案】D【同步测控】根底自测1. 方程x2+2=x化成一般形式后，a，b，c的值分别为 A. 1，1，2 B. 1，1，2 C. 1，1，2 D. 1，1，2答案：C2. 如果方程x2+bx+c=0的两根互为相反数，那么 A. b=0 B. c=0 C. b=0，c<0 D. b=0，c>0答案：C3. 解方程(x+5)23(x+5)=0，较简便的方法是 A. 开平方法 B. 因式分解法 C. 配方法 D. 公式法答案：B4. 一元二次方程的根的情况为 A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根答案：B5. 经计算，整式x+1与x4的积为x23x4，那么一元二次方程x23x4=0的所有根是 A. x1=1，x2=4 B. x1=1，x2=4 C. x1=1，x2=4 D. x1=1，x2=4答案：B6.假设关于x的一元二次方程没有实数根，那么实数m的取值是 A. B. C. D.答案：C7.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，那么b_；c_.答案：3 28. 请写出一个值k_，使一元二次方程x27x+k0有两个不相等的非0实数根.答案不唯一.答案：的任何实数.9. 选择适当的方法解以下方程：(1) ；(2) x233(x1)；(3) (x1)25=0.解：(1) x2+5x14=0，其中a=1，b=5，c=14，b24ac=81.x=. x1=2，x2=7.(2) x23x=0，即x(x3)=0.x=0或x3=0. x1=0，x2=3.(3) (x1)2=5，即x1=.x1=1，x2=1.10. 解方程x(x1)=2.有学生给出如下解法： x(x1)=2=1×2=1×2， 或或或解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得 x=2或x=1 x=2或x=1请问：这个解法对吗？试说明你的理由.分析：解一元二次方程的通用方法显然不是这种特殊的凑数法但答案显然正确，该作何解释？分情况解答解：答案一：对于这个特定的方程，解法是对的 理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对 答案二：解法不严密，方法不具有一般性 理由是：为何不可以2=3×等，得到其它的方程组？此学生的方法只是巧合了，求对了方程的根 能力提升11. 假设x=0是方程的解，那么m= .答案：412.以下方程中有实数根的是 A. x22x3=0 B. x21=0 C. x23x1=0 D. 答案：C13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 A. B. C. 且 D. 且答案：C14. 甲、乙两同学分别解同一道一元二次方程，甲把一次项系数看错了，解得方程的两根为2和3，乙把常数项看错了，解得两根为和，那么原方程是 A. x2+2x6=0 B. x22x+6=0 C. x2+2x+6=0 D. x22x6=0解析：甲同学看错后的方程为(x+2)(x3)=0，即x2x6=0. 一次项系数看错了，常数项为6. 乙同学看错后的方程为(x1)(x1+)=0，即x22x2=0. 常数项看错了，一次项系数为2. 原方程为x22x6=0.答案：D15. 关于x的一元二次方程x2+4x+m1=0.(1) 请你为m选取一个适宜的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；(2) 设、是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求22的值.解：(1)方程有两个不相等的实数根那么，即.取m=1，得方程x2+4x=0，它有两个不等实数根：=0，=4；(2) 0，4，22016016.16. 先阅读，再填空解答：方程x23x4=0的根是：x1=1，x2=4，那么x1+x2=3，x1x2=4；方程3x2+10x+8=0的根是：x1=2，x2=，那么x1+x2=，x1x2=.(1) 方程2x2+x3=0的根是：x1= ，x2= ，那么x1+x2= ，x1x2= ；(2) 假设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0，且a，b，c为常数)的两个实数根，那么x1+x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2= ，x1x2= ；(3) 如果是方程x2+x3=0的两个根，根据(2)所得结论，求x12+x22的值.解：(1) 1 ；(2) x1+x2=，x1x2=；(3) a=1，b=1，c=3，x1+x2=1，x1x2=3.x12+x22=(x1+x2)22x1x2=(1)22×(3)=7.创新应用17. 关于x的方程4x28mx+n2=0，其中m，n分别是一个等腰三角形的腰长和底边.(1) 请判定这个方程根的情况，并说明理由；(2) 假设方程两实根之差的绝对值为8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长提示：可利用第16题(2)的结论.解：(1) b24ac=64m216n2=16(2m+n)(2mn).2m>n，m>0，n>0，b24ac>0，即方程有两个不相等的实数根.(2) 设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=2m，x1x2=n2.|x1x2|=8，(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=64，即4m2n2=64.又 S=，m=5，n=6，即三角形的周长为16.