小学工程问题归纳及经典练习题(2022年整理).pdf

2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 1/20 解工程问题的方法解工程问题的方法 工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是：工作效率工作时间=工作量 工作量工作时间=工作效率 工作量工作效率=工作时间 根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。一、一、工作总量是具体数量的工程问题工作总量是具体数量的工程问题 例例 1 建筑工地需要 1200 吨水泥，用甲车队运需要 15 天，用乙车队运需要10 天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度）解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量 1200 吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）120015=80（吨）乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）120010=120（吨）两个车队一天共运的吨数：80+120=200（吨）两个车队合运需用的天数：2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 2/20 1200200=6（天）综合算式：1200（1200 15+120010）=1200（80+120）=1200 200=6（天）答略。*例例 2 生产 350 个零件，李师傅 14 小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适于四年级程度）解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。李师傅 1 小时可完成：350 14=25（个）由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则 10 小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：350 10=35（个）小王单独工作一小时可完成：35-25=10（个）小王单独做这批零件需要：350 10=35（小时）综合算式：350（35010-350 14）=350（35-25=35010=35（小时）2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 3/20 答略。*例例 3 把生产 2191 打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾 128 打，乙组每小时生产毛巾 160 打。乙组生产 2 小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产 1 打。乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）解：两组共同生产的总任务是：2191-1602+1=1872（打）两组共同生产的时间是：1872（160+128）=6.5（小时）乙组生产的时间是：6.5+2=8.5（小时）综合算式：（2191-1602+1）（160+128）+2=1872 288+2=6.5+2=8.5（小时）答略。练习题：1、筑路队疾患修筑一条长 2400 米的公路，甲队单独做需要 20 天完成，乙队单独需要 30 天完成。如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成？2、甲、乙两个工程队合修一条长 42 千米的水泥路，甲队每天修 0.5 千米，比乙队的 2 倍多 0.1 千米。2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 4/20（1）乙队每天修多少千米？（2）两队合修多少天可以修完？3、红星服装厂计划生产 2800 套夏季学生服，已经生产了 5 天，每天生产 80 套，剩下的 20 天完成，平均每天要生产多少套？4、王师傅加工一种零件，由原来的每个用 12 分钟降低到每个 8 分钟，原来每天加工 300 个，现在每天加工多少个？2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 5/20 5、用两台机器生产 108 个齿轮。第一台 4.5 小时能生产 18 个，第二台 1.6小时能生产 8 个。两台机器一同生产一段时间以后，还剩 45 个。两台机器一同生产了多少小时？综合算式：答略。二、二、工作总量不是具体数量的工程问题工作总量不是具体数量的工程问题 工程问题方法总结 一：基本数量关系：工效时间=工作总量 二：基本特点：设工作总量为“1”，工效=1/时间 三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：类型与方法：一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。二：等量代换：方程组的解法代入法，加减法。三：按劳分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配 四：休息请假：方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。五：休息与周期：1.已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。2.天数：近似天数，准确天数。3.列表确定工作天数。六：交替与周期：估算周期，注意顺序！2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 6/20 七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。八：工效变化。九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。工程问题 当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也就是知道了所需的时间比。因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.两个人的问题 标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.（一）（一）两个人的问题两个人的问题 例例 1 11 1 一件工作，由 A 做 20 天完成，B 做 15 天完成。（1）两队合做 5 天可以完成工程的几分之几？（2）两队合做 6 天，还剩下工程的几分之几？（3）两队合做几天完成？解：（1）1275)151201(（2）1036)151201(1 （3）)(748760)151201(1天 答：（1）两队合做 5 天可以完成工程的127。（2）两队合做 6 天，还剩下工程的103。（3）两队合做 874天完成。【解析解析】此题是工作效率问题。A 用 20 天完成，总工程是“1”，所以甲队的工作效率是201201，乙对的工作效率是151151。问题（1）要求完成的工程量，用工作效率工作时间；问题（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“1”减去已做工程量；问题（3）要求完成时间，用总工程量“1”总工效。2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 7/20 例例 1.2、一工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成，现在甲、乙做了3 天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解：（1）613)6191(1（2）)(16161天 答：乙需要做 1 天可以完成全部工作。【解析解析】要解决此题，就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。总工程是“1”，就可以知道：甲的工作效率是9191，乙对的工作效率是6161。求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1-甲乙一起 3 天做的工作量。甲和乙 3 天的工作总量：工作效率工作时间工作总量 3)6191(，剩下：613)6191(1 乙完成剩下的工作时间：利用工作总量工作效率工作时间 )(16161天 练习练习一一 1、一项工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 16 天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看作 1。甲队单独做 24 天完成，做 1 天完成 2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 8/20 答略。2、一项工程，由甲工程队修建需要 20 天，由乙工程队修建需要 30 解：把这项工程的工作总量看作 1，由甲工程队修建需要 20 天，知甲工 3、一项工程，甲、乙合做 5 天可以完成，甲单独做 15 天可以完成。乙单独做多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作量看作 1。甲、乙合做 5 天可以完成，甲、乙合 2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 9/20 需要多长的时间。=7.5（天）答：乙单独做 7.5 天可以完成。例例2.1：一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解一：把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）1/6=4（天）答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 （18-2 3）3=4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是 6 9=2 3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.练习练习 二二 1、一项工程，甲独做需 15 天，乙独做需 12 天，现在甲乙合作若干天后，乙再接着做 3 天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天？2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 10/20 2、一项工程，甲队单独做需 20 天完成，如果甲乙合作 12 天可以完成，如果乙队单独做，多少天可以完成？例例3.1：一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是 50天 如果甲独做，所需时间是 75天 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.练习练习三三 1、甲乙两人合作生产一批零件，6 天可以完成任务，甲先做 5 天，因有事外出，这时只完成任务的14，如果接下来由乙完成，还需要多少天？2、一批零件，先由 20 人生产了 10 天完成任务的14，余下的工程要提前 10 天完成，还要增加多少人？2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 11/20 3、甲乙二人合作一批零件需 20 天，甲比乙多做了这批零件的 1/9，甲单独做需多少天完成？4、一项工程，甲乙两队需 10 天完成，甲乙两队合作了几天，因乙队有事调离，由甲队又干了 8 天，又知甲队独做需 20 天完成，问甲、乙两队合干了多少天？例例4.1：一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+1=11（天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 （30-3 8-1 2）（3+1）=1（天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做 8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2 3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.解四：方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.)甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息 2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 12/20 了8天，因为82，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10 6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)(1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）例例4.2：一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是（1 20）16+（1 30）16=4/3 由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3 乙队休息期间未做的工作量是 1/3-1/20 3=11/60 乙队休息的天数是 11/60(1/30)=11/2 答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是 （3+2）16-60=20（份）.因此乙休息天数是 （20-3 3）2=5.5（天）.解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5（天）.练习四练习四 1、一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在两队合作，其间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 13/20 2、加工一批零件，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成，现在两人合作完成，中间甲休息了 2.5 天，乙休息了若干天（两人没有同事休息一天），这样共用 14 天完工，问乙休息了多少天？3、一件工作，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 10 天完成，现在甲乙合作 8 天完成任务，已知这段时间甲休息了 2 天看，那么乙休息了多少天？4、一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 8 天完成，现在两人合作，中途休息了 2 天，乙没有休息，完成这件工程共用了多少天？例题例题 5 一项工程，甲、乙两队合作 15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天，只能完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？【思路导航思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做 5 天，乙队独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后，甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲队 2 天的工作量730 115 3130，从而求出甲队的工作效率。所以 1【115（730 115 3）（53）】20（天）答：乙队单独完成全部工程需要 20 天。2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 14/20 练习练习五五 1、师、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。师傅先做了 3 天，因事外出，由徒弟接着做 1 天，共完成任务的320。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？2、某项工程，甲、乙合做 1 天完成全部工程的524。如果这项工程由甲队独做2 天，再由乙队独做 3 天，能完成全部工程的1324。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？3、甲、乙两队合做，20 天可完成一项工程。先由甲队独做 8 天，再由乙队独做 12 天，还剩这项工程的815。甲、乙两队独做各需几天完成？例题例题 6 一项工程，甲队独做 12 天可以完成。甲队先做了 3 天，再由乙队做 2 天，则能完成这项工程的12。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 15/20【思路导航思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（12 112 3）218；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。（1）乙队每天完成这项工程的 （12 112 3）218 （2）两段时间一共是 1（18 2+112）26（天）答：两段时间一共是 6 天。练习练习六六 1、一项工程，甲队独做 15 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项工程的815。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？2、一项工程，甲、乙合做 8 天完成。如果先让甲独做 6 天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了 3 天。乙独做这项工程要几天完成？3、某工作，甲单独做要 12 天，乙单独做要 18 天，丙单独做要 24 天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的 2 倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 16/20（二二）、多人的工程问题、多人的工程问题 例例 1.一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成，问甲一人独做需要多少天完成？解：3012)601451361(90)451301(1（天）60)601301(1（天）180)361301(1（天）答：独做完成，甲需 90 天，乙需 60 天，丙需 180 天。【解析解析】此题有别与以上 3 题，是要对工作效率更深刻的理解，寻找数学量之间的关系。1、有一项工程，甲队独做需 8 天，乙队独做需 10 天，丙队独做需 20 天，现在由丙队先独做 9 天后，再由甲乙合作，问再需多少天可以完成？2、一项工程，甲乙两人合作 8 天完成，乙丙两人合作 9 天完成，甲丙两人合作18 天完成，如果丙一人来做，完成这项工程需要多少天？3、一项工程，甲乙两人合作 8 天完成，乙丙两人合作 6 天完成，丙丁两人合作12 天完成，那么甲丁两人合作多少天可以完成？4、一项工程，甲乙两人合作 6 天完成，乙丙两人合作 9 天完成，甲丙两人合作 15 天完成，现在甲乙丙三人合作需多少天？2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 17/20 5、生产一批零件，甲乙两人合作 12 小时完成，乙丙两人合作 15 小时完成，甲丙两人合作 20 小时完成，现在甲乙丙三人合作需多少小时？6、某工程如果由甲乙丙合作 18 天完成，有乙丙丁队合作 15 天完成，由甲乙丁队合作 12 天完成，有甲丙丁队合作 20 天完成，由甲队单独做需要多少天完成？例题例题 2。一项工作，甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成。如果甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的23；如果甲、乙合做 3 小时后，丙做 6 小时，也可以完成这项工作的23。如果由甲、丙合做，需几小时完成？【思路导航【思路导航】将条件“甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的23”组合成“甲工作 4 小时，甲、乙、丙合做 2 小时可以完成这项工作的23”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。甲每小时完成这项工程的几分之几 （23 16 2）（62）112 丙每小时完成这项工程的几分之几 （23 16 3）（63）118 甲、丙合做需完成的时间为：1（112+118）715（小时）答：甲、丙合做完成需要 715 小时。练习练习二二 1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4 小时可以完成。如果甲做 4 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的1318；如果甲、乙合做 2 小时后，丙再做 4 小时，可以完成这项工作的1118。这项工作如果由甲、丙合做需几小时 2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 18/20 完成？2、一项工程，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做 3 天后，余下的乙再做 6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？3、一项工程，甲、乙两队合做 10 天完成，乙、丙两队合做 8 天完成。现在甲、乙、丙三队合做 4 天后，余下的工程由乙队独做 512 天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？4、一件工作，甲、乙合做 4 小时完成，乙、丙合做 5 小时完成。现在由甲、丙合做 2 小时后，余下的由乙 6 小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？例题例题 3：一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？【思路导航【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。丙队每天修这条公路的 【1（124+130）】（4+7）140 三队合修完成时间为 1（124+130+140）10（天）答：10 天可以完成。2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 19/20 练习练习三三 1、一件工作，甲单独做 12 小时完成。现在甲、乙合做 4 小时后，乙又用 6 小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？2、一条水渠，甲队独挖 120 天完成，乙队独挖 40 天完成。现在两队合挖 8 天，剩下的由丙队加入一起挖，又用 12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？3、一件工作，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。如果甲、丙合做 3 天后，由乙单独做，还要 9 天才能完成。如果全部工作由 3 人合做，需几天可以完成？4、一项工程，甲、乙两队合做 30 天完成，甲队单独做 24 天后，乙队加入，两队又合做了 12 天。这时甲队调走，乙队又继续做了 15 天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？2023 年整理优质考试试题资料，欢迎下载 20/20 综合练习综合练习 1、一项工程，甲、乙两人合做，10 天完成；乙、丙两人合做，15 天完成；甲、丙两人合做，18 天完成。甲、乙、丙独做，各需多少天完成？2、一项工作，甲单独做 8 小时完成。现在甲、乙合做 3 小时后，乙又用 5 小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成。3、一项工程，甲、乙合做 8 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做 2 天后，余下的乙再做 4 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？4、一项工作，甲、乙、丙三人合做 4 小时可以完成。甲工作 3 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做 1 小时后，丙做 4 小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？