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基于全局敏感度分析方法的VaR-FPSM模型的不确定性分析摘要：为了定量讨论VaR-FPSM模型中各个参数对组合选择结果的影响及其不确定性，本文在Matlab环境下对模型进行了重新的组合，利用Sobol全局敏感度分析方法对影响组合选择的重要参数进行了全局敏感度研究，对模型中各项输入的变化对参数敏感性的影响进行了讨论。结果显示：基于Sobol方法的全局敏感度分析能够筛选出模型中对选择变化十分敏感的参数，在实现模型参数的本地化的过程中有十分重要的潜在应用。关键词：模糊变量；全局敏感度分析；粒子群优化算法；模拟退火算法；模糊VaR一、引言 随着全球经济的迅速发展和金融产品的不断开发，金融市场日益多样化，金融产品价格的不确定性及波动性也更加剧烈，使得投资者和投资机构面临更大的风险.风险管理成为广大投资机构以及个人投资者广泛关注的问题.受世界性经济危机的影响，美国最先于1930年代采用科学的方法进行风险管理，之后风险管理逐步成为全球性的研究课题.特别是以均值方差模型为代表的投资组合选择理论成为风险管理的重要组成部分，同时也是现代金融投资理论的基础.投资组合选择理论被定义为最优风险管理的量化分析，主要研究如何将资金分配到不同资产之中以获得超额收益同时规避风险.Markowitz在1952年提出的均值方差(Mean-variance, MV)投资模型是现代投资组合理论诞生的标志，同时也是投资组合量化分析阶段的开始.以均值方差理论为基础，夏普等学者提出了著名的资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model CAPM)。该模型阐述了市场均衡价格和均衡状态的形成，为资产收益的分析和预测提供依据.此后，Fama提出有效市场理论，认为资产的市场价格能够充分及反映全部有价值的信息.资本资产定价模型和有效市场理论是现代投资理论的两大基石，不足的是这两大理论都需要严格的假设条件1976年，Ross提出套利定价模型，该理论认为风险资产的收益受多方面因素的影响，对收益的描述更为准确，其优点是不再需要严格的假设条件，从而具有更广泛的应用性.这些理论模型的发展，以及后来基于不同视角的风险度量方法的提出，使得投资组合理论逐渐成为现代金融学里的一个独立的学科分支.近年来，为了对投资组合进行选择上的优化，研究人员已经对各种风险度量方法进行了研究和实验。其中，Markowitz是风险度量方法研究的早期实践者之一。在他的开创性报告“资产的选择”之中，Markowitz使用单周期方差作为投资组合优化的风险度量工具。从那时起，各种风险度量方法层出不穷。“风险价值”（VaR）是其中最为著名，也是应用最为广泛的一种。一项投资的风险价值（VaR）是一个给定的置信水平的最大损失的可能性。或者说，它是指在一个指定的时间范围内,一个金融资产的投资组合造成一定损失的概率。事实上，“风险价值”这个术语是用来衡量风险和度量风险的，两者是不同的概念。有关它们之间差异的详细信息可以阅读1和2。在随机投资组合选择模型（PSMs）中，风险价值（VaR）被用来作为一个风险度量方法。在文献13中，Jorion给VaR下了定义，认为它是在给定的置信区间下，在正常市场条件下所预期的最大损失。并且他认为，在投资组合选择中，风险价值（VaR）可以作为风险度量；此外，他还介绍了风险价值（VaR）在随机模型中的变量的计算。Garcia专注于分散的投资组合管理系统，这个系统正广泛存在于金融机构，并且他使用风险价值（VaR）作为风险度量方法和风险控制工具。Huang12为了在部分新息可用的情况下解决稳健的投资组合选择问题，如投资组合收益的退出时间分布和条件分布，扩展了最坏情况下的VaR方法，并且制定了相应问题的半定程序。他通过使用真实的市场数据，提出了一些数值结果，以此证明了风险价值（VaR）在投资组合选择问题中的实用性和有效性。传统组合选择模型中的安全收益值是由精确的历史数据所决定的。然而，这样的精确的数据并不总是可测的和可用的。随着股票市场的发展，市场的规模和复杂程度都在不断的增强，很难用随机数值预测证券收益率。在证券市场复杂化的情况下，要处理这种不精确的不确定性，更合理的方法是把安全收益作为不精确的分布变量来处理，也就是用模糊变量来处理不确定性的问题。为了建立模糊投资组合选择系统模型（FPSMs），各种风险度量技术被大量使用，如均值、方差、均方差和平均熵。Watada 21 将模糊理论引入到随机投资组合选择问题之中。他在模糊的环境中对马科维茨的均值-方差概念进了扩展。基于模糊变量半方差的概念，Huang5提出了两个模糊平均半方差的投资组合选择模型（PSMs），并且提出了一种基于模糊模拟的遗传算法（GA）的解决方案。Huang 4 还构建了模糊投资组合选择的均值-熵模型，其中的熵值是风险测度的重要指标：熵值越小，被选择的投资组合的安全性就越高。在4和5中，投资组合选择的问题通过遗传算法（GA）得到解决。前面所提到的模型通过最小化方差或最小化熵寻求最优解，因此能够最大限度地提高了投资组合的稳定性。然而，这些评价方法没有给予未来损失的风险以足够的重视，这是目前组合选择模型中的重要问题所在，然而在实际的市场交易中未来损失的风险对于投资者来说确实至关重要的。这是因为在模糊环境中，传统的随机风险价值（VaR）理论不适用于投资组合选择问题。Wang等人构造了基于模糊VaR的投资组合选择模型，模型成功的引入了对未来风险的模糊度量，成功的在组合选择的模型中考虑了未来风险的因素。投资组合选择模型研究中的不确定性问题是当前金融投资理论研究中的重要问题之一。金融资本市场正在趋向于复杂的过程之中，在投资组合选择模型中存在着众多的可调整参数导致了组合选择结果的不确定性问题，尤其是可能存在所谓的“异同参数”问题。众多的因素可能导致优化结果存在问题，多种不同的参数组合将均能够得到最优解。在这种情况下，不能通过对模型参数的优化获得组合选择的最优解，以此规避可能存在的风险。为了识别引起选择模型不确定性的主要参数，本文拟研究基于Sobol方法的全局敏感度分析，对随机投资组合选择模型的主要参数进行识别，分析输出对输入条件改变的敏感性，结果证明基于Sobol方法的全局敏感度分析方法对参数的筛选有重要的应用。二、基于模糊风险价值（VaR）的随机投资组合选择方法 在考察了组合未来的不确定性的基础之上,我们使用了模糊变量,来描述下一期可能的收益模糊变量是描述未来模糊不确定性的主要工具。在介绍模糊风险价值（VaR）的概念之前，我们简要的回顾一些关于模糊变量的基本事实。 假定是一个模糊变量，其隶属度函数是，并且r是一个实数，其可信度函数是：Crr=12Posr+Necr其中，Pos·和Nec·概率测度论中的可能性和必要性测度，他们的定义如下：Posr=sup(t)trNecr=1-supt可信性测度是一个自对偶函数。假设是一种证券的模糊收益，Cr5=0.8,那么就代表该证券未来收益超过5的可信度有0.8。假设是一个投资组合的最大模糊损失变量。那么在1-的置信水平下，的风险价值如下所示：VaR1-=sup|Cr()上述公式说明，在1-的置信水平下投资组合的最大损失就是。 在众多的模糊组合选择模型当中，最大的区别应当是风险度量方法。不同的技术对组合选择有不同的标准。在一个模糊的环境中，没有模型能够准确的评价一个备选组合的潜在损失。因此，通常的处理办法只能是在最坏的情况下实现对预期的收益和最大的可能损失的计算。所以，基于风险价值（VaR）理论的模糊组合选择策略对投资者有十分重要的实践价值，不仅能够据此选择组合，而且能够计算组合的潜在风险。 在过去的组合选择模型当中，优化的目标是在给定的风险水平上对收益的最大化问题，或者说是在给定的收益水平上的风险最小化问题。因此，可以写成如下的形式：maxEx11+x22+x33+xnns.t.Vx11+x22+x33+xnnrx1+x2+xn=1xi0,i=1,2,3,n或者minVx11+x22+x33+xnns.t.Vx11+x22+x33+xnnRx1+x2+xn=1xi0,i=1,2,3,n 其中，r是给定水平的风险，R是给定水平的收益率，Vx11+x22+x33+xnn是备选组合的均值-方差。如果我们依次更换风险度量的方式，那么新的组合筛选模型就出现了。在本文中，我们保持了马克维茨选择策略，然而，与此同时，模糊风险价值（VaR）成为本文中的风险度量方法。 假设pi'是收盘价的估计值，在未来，pi是现在的收盘价，di是股票i在一段未定义的时间段内的股利，那么证券i的收益率被一个模糊变量i所定义i=di+pi'-pipi 本文的模型中有两个基本的假设。一些风险厌恶的交易者将安全性作为收益最大化的前提，他们仅仅能够在风险价值（VaR）的值很小时才能接受组合。因此对于一个固定的风险水平，他们的组合选择模型是：maxEx11+x22+x33+xnns.t.VaR1-=sup|Cr()Sx1+x2+xn=1xi0,i=1,2,3,n VaR1-表示在1-置信水平下的组合最大损失，S是一个投资者愿意接受的最大损失。Ex11+x22+x33+xnn是期望收益。是损失函数，=x11+x22+x33+xnn是损失函数的具体形式 对于其他的风险偏好者来说，期望收益比风险水平更加重要，他们认为在进行组合选择时首先应当考虑期望收益水平，其次才要考虑风险水平。minVaR1-=sup|Cr()Ex11+x22+x33+xnnRx1+x2+xn=1xi0,i=1,2,3,nVaR1-表示在1-置信水平下的组合最大损失，R是一个投资者愿意接受的最小收益。 粒子群算法是文献15最初提出的，粒子群算法使用大量的搜索代理在一定的空间内对问题进行优化，寻求最优解。如果一个粒子能够产出更优的解，那么其他粒子将向这个粒子靠近。粒子群算法已经被广泛的使用，并且证明了他的有效性。 广为人知的是，粒子群算法能够使用比其他优化算法更少的迭代次数获得最优解，但是存在严峻的局部最优问题。特别的，当备选组合中包含数量较多的证券的情况下，粒子群算法的这一缺陷就更加的明显。为了避免陷入局部最优解当中，我们对原始的粒子群算法进行了改进。具体的说是改变了ES和PRP相关的规则。 如果一个优化解在数次迭代之后不能够被更新，那么我们可以认为它陷入了局部最优当中。此时，所有的例子的速度将被ES所调整。如果ES足够大，所有的粒子将都能够跳出当前的循环，在其他的区域重新开始搜索。 在粒子速度被ES调整之后，所有的粒子将重新随机分布于搜索空间之中。对于大多数的选择问题，搜索空间需要一个约束条件。比如，在我们的选择问题当中，每个位置值都要在0和1之间，那么重新开始搜索的位置要在边界之内才是有效的位置。我们将通过修改速度不断的初始化PRP，直到粒子到达有效的位置重新开始搜索为止。为了阐述上述组合选择方法，我们研究了下面的数值案例，其中包含了针对风险厌恶者的模型和针对风险偏好者的模型。最后，使用改进的粒子群算法和遗传算法对模型进行了仿真和比较。三、基于Sobol方法的全局敏感度分析方法Sobol方法是一种主要得全局敏感度分析方法，是一种基于方差分解的评估方法。现假设k是将函数f(x)分解为递增项之和：fx1,x2,xk=f0+i=1kfi(xi)+1ijkfi,j(xi,xj)+,+f1,2,k(x1,x2,xk)Sobol提出了上述的分解形式，并且证明了该分解形式的唯一性，同时也验证了该分解形式的每一项都能够通过求解下列积分进行。其中，函数的总方差有下列的表现形式。D=Kf2xdx-f02而函数的偏方差可以通过计算分解式的结果得到。Di1,i2,is=0101fi1,i2,is2xi1,xi2,xisdxi1dxis其中，1itisk且s=1,2,k。敏感度系数的定义如下所示：Si1,i2,is=Di1,i2,isDSi是xi的一阶敏感性系数，一阶敏感度系数可以度量xi在函数中的影响和重要程度。Si1,i2,is是对s个参数共同作用的条件下各因素的综合影响的一种度量。那么，对于一个包含s个参数的模型来说，变量xi1的总敏感性指数是TSxi1=Si1+Si1,i2+Si1,i2,is以往的研究中，对模型可调参数的敏感性度量的方法主要是有两种，（1）一种是通过观察参数的变化对模型输出值的直接影响；（2）另一种是通过对控制参数输入值的变化引起的似然函数值的变化来反应参数的敏感性。本文将使用第二种方式来考察参数的敏感性，具体的说将使用平均相对误差及NS系数来考察模拟值和观测值之间的差距。Ens=1-1n(Qob-Qsim)21n(Qob-Qoba)2其中，Qob是观测值，Qsim是模拟值，Qoba是观测值的平均值。当观测值与模拟值相等时，纳什系数等于1；当纳什系数小于0时，说明模型的拟合结果时无效的。四、基于改进的粒子群算法的仿真结果 假设存在30只收益相互独立的有价证券，他们的收益是三角模糊变量或者服从高斯分布的模糊数 由于风险测度的方法十分的不同，不同的方法在策略选择上的结果也不尽相同。因此，对选择结果额比较不是很有价值。然而，使投资者清楚的理解风险测度的目的是十分有必要的。传统的风险测度方法不能识别包含在数值中的潜在风险。 基于前述的分析，现存的模糊组合选择方法对未来的风险测度没有敏感性。本文的模型中，一方面投资者可以确定置信水平和期望收益，另一方面所有的改变都能直接的反映在模糊风险价值（VaR）的变化当中。因此，从这个角度分析，本文的方法能够提供更加有用的信息，能够在更大的程度上帮助投资者进行决策。 在以往的研究当中，已经有许多方法能够用于求解模糊组合优化问题，其中包含遗传算法和模拟退火算法等。在本文中，我们对比了基于改进的粒子群算法、遗传算法和模拟退火算法的优化结果。 首先，我们将期望值的范围限定在（0.5,0.8）之间，同时我们比较了不同类型投资者的优化结果。下图展示了200次迭代之后各个优化算法的优化效果对比情况。 在组合优化和选择的问题当中，投资者需要在一系列的证券当中选择一个组合。当期望值设定在很高的水平上时，选择的范围受到了限制，组合的数量大幅度下降。因此，风险自动的在这种情况之下出现了上升。 在上图当中，我们在（0.5,0.8）的区间之中提升期望值，投资的风险出现了大幅度的上升。这验证了传统的投资理论中“高风险，高收益”的经典论断。 同时，本文中的改进的粒子群算法在搜索最优解的过程中表现出更好的性能。当期望值小于0.65时，可选的组合框架范围很大，改进的粒子群算法在深度搜索方面表现出了比遗传算法和模拟退火算法更好的性能。当期望值大于0.65时，可选的组合框架逐步的减少，有高预期的证券成为了主要的考察对象。因此，当期望值上升时，不同方法计算的风险价值（VaR）值的范围变窄，这种情况下改进的粒子群算法仍然能够表现出比遗传算法和模拟退火算法更好的性能。基于对上图的分析，我们可以得出结论：我们提出的VaR-FPSM方法和基本的组合选择理论是一致的，我们提出的改进的粒子群算法能够在搜索最优解的过程中表现良好。当我们将预期值设定为0.6时，以相同的迭代次数运行各种优化算法，改进的粒子群算法总是能够获得最优的表现。综合所有的分析可以断定，改进的粒子群算法能够得到更优的效果。五、基于Sobol方法的全局敏感度分析结果在进行全局敏感度分析之前，本文将首先明确的是，VaR-FPSM模型的评价目标。该模型是一个基于模糊风险价值的投资组合质量评价模型。该模型中有n个参数需要调整，每个参数的经济意义相似，都将被设定为其标的资产在整个投资组合当中的权重值。为了研究权重设置的不同对整个投资组合收益率的影响和对组合评价的影响，本文将计算NS系数，作为目标函数对上述分析各种参数组合对整体目标函数的影响。 本小节将对带参数敏感度约束的投资模型在参数稳健性方面的表现进行分析，并与经典均值方差模型进行对比。DJIA的30个成份股的期望收益，标准差以及相关性矩阵由2015年7月至2016年7月之间的156个周收益历史样本计算得到。我们采用时间序列分析工具对参数进行检验发现，各成份股的期望收益的估计误差较大，标准差具有显著的时异性，而相关性矩阵相对稳定。 图3展示了投资组合中各只股票的一阶敏感度系数。从上图中可以看到，基于Sobol方法的全局敏感度分析可以在众多的参数中找到最为敏感的参数，重要参数的敏感性系数远高于其他非重要参数的一阶敏感性系数。 投资组合选择模型是否真正有效取决参数的估计是否准确。由于参数的估计误差难以避免，为衡量参数估计误差对最优投资组合的影响，本文在均值方差框架下开展了参数的全局敏感度分析，整个分析基于Sobol方法完成，并建立了带有参数敏感度约束的均值方差投资组合模型。该模型属于带非凸二次约束的二次规划问题，针对其结构特点，本文选择纳什系数作为检测全局敏感度的指标。数值试验表明，本文设计的算法能够在较短时间内求得模型的最优解，比全局优化商业软件BARON的求解效率更高。六、结论在本文中，我们构造了基于模糊VaR的投资组合选择模型，并且针对模型进行了基于Sobol方法的全局敏感度分析，基于模糊VaR的组合选择模型可以在给定的风险水平下，直接的给出所选择的组合的最大损失。本文针对与现存的模糊组合选择模型相比，本文的方法是更加能够被广大投资者所接受的方法。为了在某些特定的情况下求解上述模型，我们证明了一些相关的定理，分析了直接得到解的方式。在大多数情形下，我们都是给出基于改进的粒子群算法的模糊仿真结果。在数值仿真之后，我们证明了所提出的改进的粒子群算法能够克服局部最优吸引的问题，能够产生比传统的粒子群算法更优的解。同时，我们也提出一项投资的期望值最好是基于风险价值（VaR）的敏感度分析的结果给出的决策。在合理的条件下，我们采用的投资的期望值不会产生过大的风险价值（VaR）。进而，改进的粒子群算法和其他的现存组合优化算法进行了比较，结果显示改进的粒子群算法在这个特定的领域当中更加有效。在未来的工作中，我们将使用模糊随机变量来表达证券的不确定性，基于上述提出的方法，更加精确的结果将能够被计算得出。本文提出的VaR-FPSM模型同样适合其他的多种投资问题。传统的局部敏感性分析方法在风险分析方面取得了一定的成绩，然而也存在重要的问题，那就是忽视了模型中多个参数的耦合作用。这种对多参数耦合的忽视将导致某些重要参数的重要作用没有反应在模型当中，导致了关键参数的弱化，造成了模型本地化过程中的重要误差。基于Sobol方法的全局敏感度分析方法有效的克服了这个问题，促进了风险分析和组合选择精度的上升，在投资组合选择模型本地化和区域化过程中有广泛的应用和巨大的潜力，值得进一步的挖掘。参考文献1 王晓迪. 高维复杂模型的全局敏感度分析D. 华东师范大学, 2012.2 Sobol&#, I. 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