春季五年制小学奥数四年级策略性问题汇编(完整版)资料.doc

春季五年制小学奥数四年级策略性问题汇编（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）策略性问题两人的游戏过程中如何使自己取胜？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键。概括起来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题。在解决策略性问题时，常常会结合对称性和数论中的知识，并采用逆推的思想和方法。例1桌上放着63根火柴，甲、乙两人轮流每次取走1根至3根。 规定谁取走最后一根谁就获胜。如果甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有，请说出理由。 规定谁取走最后一根火柴谁就算输，还是甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有，请说明理由。例2一个圆周被任意地分成2021段，甲、乙二人轮流对它进行涂色，每人每次可以涂染一段或相连的两段，谁涂染完最后一段，谁就获胜。如果甲先开始涂，那么两人中谁有获胜的策略？说明理由。例3如图是一张3×3的方格纸，甲、乙两人轮流在方格中写下0、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中的一个，数字不3×3能重复。最后，甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜。如果甲先乙后，那么甲有没有必胜的策略？例4如图所示，在A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走1步或2步(走2步时可以拐弯)，最终将棋子走到B点者获胜。甲有没有必胜的策略？策略总结： 直线型留1吃2，剩1号吃1留2，剩最大的2n 圆圈型留1吃2，若总数为2n，则剩1号。 若不是：(总数2n)×21 吃1留2，若总数为2n，则剩最后一只; 若不是：(总数2n)×2 例5在一个圆周上依次排着100只老鼠，一只猫按照这样的规律来吃这些老鼠；从第一只老鼠开始，吃掉第1只、留下第2只、吃掉第3只、留下第4只、吃掉第5只、留下第6只、，依次吃一只留一只，则最后留下的老鼠是最初的第_只。例6黑、白两个棋盒，黑盒中有36个黑子，白盒中有41个白子，甲、乙二人轮流在棋盒中取子，规则是：每次只能取一个或两个子；一个人一次不能在两个棋盒中取子；一旦在一个棋盒中取子，那接下来就要把它的子取完，才能在另一个棋盒中取。取出最后一个棋子的人获胜。如果甲第一个取，那么谁有获胜的策略？为什么？测试题1桌子上放着根火柴，甲、乙二人轮流每次取走根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？2今有个小球，其中红、蓝、白、黑。两个学生轮流一次一个地把它们都分别粘到一个立方体的个顶点上。如果有一条棱的两端点上的球有相同的颜色，则判第一个粘球的人获胜，否则第二个人获胜。问：谁一定能获胜？并说明理由。3如图所示，在点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走步或步（走 步时可以拐弯），最终将棋子走到点者获胜。甲有没有必胜的策略？4有个人站成一排，从左到右依次进行、报数，凡是报的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行、报数，最后留在队伍中的人获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？5东东、平平两人轮流从两个箱子中取球，每人每次可以从任一个（也仅从一个）箱子中取出任意个球。取出最后的球的人为胜者。若一个箱子中有个球，另一个箱子中有个球。如果甲先取，谁有必胜的策略？请说明理由。6甲、乙两人轮流从这十个数字中选取个数字，依次填各自的万位、千位、百位、十位、个位（若万位为视为四位数），若这两个数相加的和不能被整除，则甲胜；否则乙胜。谁有必胜策略？请说明理由。答案1答案：解析：本题可以用逆推分析法。获胜方在最后一次取走最后根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方根，此时无论对方取、或根，获胜方都可以取走最后一根；由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是的倍数根，则必胜。现在桌上有根火柴，甲先取，不可能留给乙的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。2答案：解析：无论甲把哪个小球放在任何一个顶点上，乙一定可以把另外一个同色的小球放在其体对角线的位置；这样任何两个相同颜色的小球的不在同一条棱上，即一条棱上的两端点上的球颜色不相同；所以第二个粘球的人获胜。3答案：解析：因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从到的步数是定的，都是步。而每次必须走或步；所以甲第一次走无论多少步后，乙都可保证每次与甲刚走的步数和为，如甲走步，乙就走步；甲走步，乙就走步。所以乙一定能走到点获胜。甲没有必胜的策略。4答案：解析：将这个人从左到右依次编号为、。第一次报完后，剩下的是的倍数：、；第二次报完后，剩下的是的倍数：、；第三次报完后，剩下的是的倍数：、；第四次报完后，剩下的是的倍数：、；第五次报完后，剩下的是的倍数：、；第六次报完后，还剩下是的倍数：；所以要想获胜，应站在队伍中的第个位置。5答案：解析东东第一次只要从装有个球的箱子的中取出个球后，无论平平从箱子中取出多少个球，东东必能从另外一个箱子中取出相同个数的球；所以东东能拿到最后一个球获胜。6答案： 因为；所以乙能使这两个数的和一定为；因为；所以乙有必胜策略。容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： ABABAB (其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积。1先包含AB重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2再排除ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去。A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数。用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。1先包含ABCAB、BC、CA重叠了2次，多加了1次。2再排除ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABCABBCAC计算时都被减掉了。 3再包含ABCABBCACABC例1一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 例250名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1、2、3、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？ 求12021这2021个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？ 例3在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？ 例4如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。 例5(第六届“中环杯”五年级初赛)甲、乙、丙三人浇花，甲浇了68盆，乙浇了62盆，丙浇了56盆。已知共有花90盆，则三人都浇了的花至少有多少盆？ 例6五年级3班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。 测试题1把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？2有种食品，其中含钙的有种，含铁的有种，那么同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？3学而思组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？4在前个非零自然数中，能被或整除的数有多少个？5有三个面积各为平方厘米的圆，两两重叠的面积分别为平方厘米、平方厘米、平方厘米，三个圆共同重叠的面积为平方厘米 （如图）。三个圆共盖住多大面积？6甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有个故事，每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了个故事，乙读了个故事，丙读了个故事，那么甲、乙、丙人共同读过的故事最少有多少个？答案1答案：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长（厘米）。2答案：最小值种，最大值就是含铁的种数种。3答案：根据包含排除法，先把参加围棋比赛的人，参加中国象棋比赛的人与参加国际象棋比赛的人加起来，共是人。把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的人，同时参加围棋和国际象棋的人与同时参加中国象棋和国际象棋的人减去，但是，同时参加了三种棋赛的人被加了次，又被减了次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：（人）。或者根据公式：，参加棋类比赛的总人数为：（人）。4答案：如图所示，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，为前个自然数中既能被整除也能被整除的数。前个自然数中能被整除的数有：(个)。由知，前个自然数中能被整除的数有：个。由知，前个自然数中既能被整除也能被整除的数有个。所以中有个数，中有个数，中有个数。因为，都包含，根据包含排除法得到，能被或整除的数有：(个)。5答案：三个圆共盖住面积：平方厘米6答案： 先考虑甲、乙两个人，甲、乙都读过的故事至少有（个），甲单独看的故事是（个），乙单独看的故事有（个），要使三人共同读过的故事最少，则丙应该尽量读甲或乙单独看的故事，所以三人共同看过的故事最少有（个）。行程（下）知识要点多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“路程速度×时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化。由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和×相遇时间路程差速度差×追及时间多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解。例1有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？例2甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？例3有甲、乙、丙三人，甲分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米。A、B两地相距2700米。甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发去追赶乙。请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？又过了多少分钟丙才追上乙？例4甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？例5铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？测试题1甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走70米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？2甲、乙、丙三人，甲每分钟走12米，丙每分钟走18米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发10分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了5分钟甲又和丙相遇，又过了70分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？3A、B两城相距 千米，甲、乙、丙三人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进。甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行。请问：出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点？4甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米/时和48千米/时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。5A、B两地相距4800米，甲住在A地，乙和丙住在B地。有一天他们同时出发，乙、丙向A第前进，而甲向B地前进。甲和乙相遇后，乙立即返身行进，10分钟后又与并相遇.第二天他们又是同时出发，只是甲行进的方向与第一天相反，但三人的速度没有改变。乙追上甲后又立即返身行进，结果20分钟后与丙相遇。已知甲每分钟走40米，求丙的速度。答案：1答案：甲、丙2分钟相遇的路程和是：(6075)×2270(米)，这距离是乙、丙相遇时间里甲、乙的路程差所以乙、丙相遇时间是：270÷(7060)27分钟，所以东西两镇间的路程是：27×(7075)3915米。2答案：甲、丙相遇的路程和是：(1218)×5150(米)，即为乙、丙目前的路程差乙、丙追及的速度差是：150÷(570)2(米/分），乙的速度为：18216(米/分），从丙出发到甲、乙相遇的时间为：(16×10150)÷25(分)，所以A、B之间的距离是：(1216)×(105)420(米)3答案：假设丁以4千米/小时的速度从A城向B城前进，则乙始终处于甲和丁的中点；当丙和丁相遇，乙正好在甲和丙的中点；出发56÷(44)7小时后，乙正好在甲和丙的中点。4答案：5小时后，甲、乙多的路程差是：(6048)×5=60(千米)。(即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离)，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的651小时后相遇，所以可求出卡车的速度为60÷14812(千米/小时)，所以A、B之间的距离为：5×(6012)360(千米)丙的速度也可求得，应为：360÷81233 (千米/小时)。5答案：由条件可知，第一天甲、乙相遇时乙、丙的距离就是两人速度差(每分钟的路程)的10倍，而第二天甲、乙相遇时乙、丙的距离是两人速度差的20倍，因此第二天甲、乙相遇时，乙、丙的距离是第一天的2倍。由于乙、丙的距离是二人的速度差与甲、乙相遇所需时间的乘积，说明第二天乙追上甲所用时间是第一天二人相遇时间的2倍。据上述可得方程(V乙40)×t(V乙40)×2t，两边同消去t，解得V乙120米/分钟；第一天，甲、乙相遇时间为4800÷(12040)30分钟；则可求丙的速度为，120×30×2÷(3010)12060米/分钟，或由方程(120V丙)×30(120V丙)×10 也可解得。