教案：平面向量数量积的坐标表示模夹角优质资料.doc

教案：平面向量数量积的坐标表示模夹角优质资料(可以直接使用，可编辑 优质资料，欢迎下载）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教案）教学目标1 知识目标：掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；2能力目标：培养学生的动手能力和探索能力；通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想；3情感目标：引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣.教学重点平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质教学难点 平面向量数量积的坐标运算的综合应用教学方法启发引导式，讲练结合，多媒体辅助教学教学过程设计§2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（板书）教学过程设计意图一、课题引入复习回顾：1. 平面向量数量积的定义2数量积的几点性质cosq =由旧知识入手，引导学生复习已学过的知识，以便向新知识进行探索.教学过程设计意图二、新课讲授1平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，怎样用和的坐标表示？设向量分别为平面直角坐标系的轴、轴上的单位向量，则有，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2 平面向量数量积的坐标表示的性质向量垂直的判定设，则向量的模（1）设，则或.（2）设点A的坐标为、点B的坐标为，则，那么(平面内两点间的距离公式)两向量夹角的余弦 cosq=（）先让学生自主推导平面向量数量积的坐标表示形式，体会知识的形成过程.然后老师演示学生推导的过程，师生共同分享学生的成果，构建和谐的学习氛围.引导学生归纳出坐标表示的性质，让学生构建完整的知识系统，充分展现师生互动教学过程设计意图3例题讲解例1解： 例2已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断ABC的形状，并给出证明.解：如图所示，ABC是直角三角形. 证明如下：，ABC是直角三角形教学过程先让学生尝试解答，体会自主应用新知识解决问题的过程，然后给出详细解答.先让学生画出简图，直观感知三角形的形状，然后引导学生分析解答.注重培养学生观察猜测证明的思维方法.通过不同解法的分析，培养学生分析问题解决问题的能力。设计意图例题变式：在直角ABC中，求实数k的值；解：若，则若，则而 若，则而 三、评价练习1.已知则（）A.23 B.57 C.63 D.832. 已知则夹角的余弦为（）A. B. C D.3.则_。4.已知则_。5.则方向上的投影为_先放手让学生自主探索，然后结合几何画板演示，让学生观察，寻找解决问题的思路，培养学生应用分类讨论的思想方法解决问题的能力.让学生通过练习，自主反思与评价，进而对学习过程进行积极的监控与调节.教学过程设计意图四、课堂小结掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 使学生对所学知识有一个完整的印象，使知识系统化、条理化.五、课外作业课本P108的习题2.4 A组的第9，11题补充练习：已知向量a=(-2,-1),b=(,1)若a与b的夹角为钝角,则取值范围是多少? 让学生加深平面向量数量积坐标形式的理解，巩固和发展所学知识.一. 情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.（1）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？说明 此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？二学习新课1. 向量的正交分解 我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，即为一个位置向量.思考1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？如上图右，设如果点A的坐标为，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量能用向量与来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得），与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得），于是可得：由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2.向量的坐标表示 思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗？如下图左. 显然，如上图右，我们一定能够以原点O为起点作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合.即：= 上式中基本单位向量前面的系数x,y是与向量相等的位置向量的终点A的坐标.由于基本单位向量是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量的位置向量是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y）表示向量，并称（x,y）为向量的坐标，记作：=（x,y）说明（x,y）不仅是向量的坐标，而且也是与相等的位置向量的终点A的坐标！当将向量的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：.例1. 如图，写出向量的坐标.解：由图知与向量相等的位置向量为，可知与向量相等的位置向量为，可知说明对于位置向量，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：3.向量的坐标表示的运算 我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设是一个实数，由于所以于是有：说明上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4.应用与深化下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题：例2.如下图左，设、是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量？解：如上图右，向量 从而有 说明上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3.如图，平面上A、B、C三点的坐标分别为、.（1）写出向量的坐标；（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.解：（1） （2）在上图中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以 设点D的坐标为，于是有 又 故 由此可得 解得 因此点D的坐标为.练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻，健美操队员C的位置问题.即：在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD是平行四边形可得：又故于是 x=8, y=7,即C（8，7）.答：队员C位于距EF边8米、距FG边7米处.（2）在某时刻，四名队员A、B、C、D保持平行四边形队形.已知队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员C位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D可能的位置区域吗？解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD是平行四边形可得：又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2) 由题意于是可得队员D可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B）：例4.已知向量与，求的坐标. 解：因为， 所以 三巩固练习1. 如图，写出向量的坐标.2.已知，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是.3.已知向量与，求及的坐标.解：1.由题意：2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. =3=3另法：=拓展内容：1、已知向量.（1）在坐标平面上，画出向量；并求= ；（2）若向量终点Q坐标为，则向量的始点P坐标为_；（3）向量的模与两点P、Q间距离关系是.若 ，则练习1：已知向量，求说明 在问题一中，先给出向量，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.向量平行的概念：对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行，记为：.2.在坐标平面上描出下列三点,完成下列问题：（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：向量坐标(1,2)(2,4)(3,6)向量的模（2）通过画图，你得出什么结论？三点A、B、C在一条直线上（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？ （4）分析表格中向量，你还发现了什么？，说明 养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？方法一：计算三个向量的模长关系.方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.（5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？向量坐标之间存在比例关系.思考：如果向量用坐标表示为，则是的（ ）条件.A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要由此，通过改进引出课本例5 若是两个非零向量，且，则的充要条件是.分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.证明：分两步证明，（）先证必要性：非零向量存在非零实数，使得，即，化简整理可得：，消去即得（）再证充分性：（1）若,则、全不为零，显然有，即（2）若，则、中至少有两个为零.如果，则由是非零向量得出一定有，又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即如果，则有，同理可证综上，当时，总有所以，命题得证.说明 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.练习2：1已知向量，且，则x为_；2设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ） 存在一个实数，使=或=； ；(+)/()A、0个 B、1个 C、2个 D、3个3设为单位向量，有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述命题中，其中假命题的序号为；说明 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.知识拓展应用3：已知向量，且A、B、C三点共线，则k=_（学生讨论与分析）说明 三点共线的证明方法总结：法一：利用向量的模的等量关系法二：若A、B、C三点满足，则A、B、C三点共线.*法三：若A、B、C三点满足，当时，A、B、C三点共线.平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(×)(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.(×)(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.(×)(6)已知向量a(1sin，1)，b(，1sin)，若ab，则等于45°.(×)2.已知点A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为_.答案(，)或(，)解析因为点A(6,2)，B(1,14)，所以(5,12)，|13，与共线的单位向量为±±(5,12)±(，).3.已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|2，且AOC，设 (R)，则的值为_.答案解析过C作CEx轴于点E(图略).由AOC，知OECE2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4.在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_.答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5).5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，则_.答案解析，()，.题型一平面向量基本定理的应用例1在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，试求t的值.思维启迪根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过t键立关于t的方程组，从而求出t的值.解，32，即22，2，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示.A，M，Q三点共线，设x(1x)(x1)，而，(1).又，由已知t可得，(1)t()，解得t.思维升华平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解.如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.答案解析设|y，|x，则，×y×x得，令，得yx，代入得m.题型二平面向量的坐标运算例2已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求23；(2)设3，2，求及M、N点的坐标.思维启迪(1)直接计算、的坐标，然后运算；(2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标.解(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(21,32)(3,5)，(22,31)(4,2)，(32,21)(1,1)，23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6).(2)3，2，2323，由A、B、C、D点坐标可得(3,2)(1，2)(2,4).2(1,1)3(2,4)(4,10).设M(xM，yM)，N(xN，yN).又3，3()，(xM，yM)(3,2)3(1，2)(3,2)(6，12).xM3，yM10，M(3，10).又2，即2，(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0).思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20).M(0,20).又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2).(9，18).题型三向量共线的坐标表示例3(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_.(2)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.思维启迪(1)根据向量共线列式求相关点的坐标；(2)根据向量共线求参数.答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得，故点D的坐标为(2,4).(2)依题意得ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4).若为实数，(ab)c，则_.(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是_.答案(1)(2)m解析(1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m).由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得m，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m.方法与技巧1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2.平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防范1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.一、填空题1.(2021·广东改编)若向量(2,3)，(4,7)，则_.答案(2，4)解析由于(2,3)，(4,7)，所以(2,3)(4，7)(2，4).2.在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.答案(6,21)解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21).3.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共线，则的值为_.答案解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.4.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则x_，y_.答案解析由题意知，又2，所以()，所以x，y.5.已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30°，则实数的值为_.答案1解析由题意知(3,0)，(0, )，则(3，)，由AOC30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，tan150°，即，1.6.已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_.答案解析因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.7.(2021·江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.答案解析如图，()，则1，2，12.8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_.答案60°解析因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，结合余弦定理知，cosC，又0°<C<180°，C60°.二、解答题9.已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b).(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若2，求点C的坐标.解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1).A、B、C三点共线，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，点C的坐标为(5，3).10.如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线.(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值.(1)解()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，×().而，不共线，由，得解得3(定值).备用题1.设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_.答案(4，2)解析a与b方向相反，可设ab(<0)，a(2,1)(2，).由|a|2，解得2，故a(4，2).2.设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_.答案8解析据已知得，又(a1,1)，(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，4428，当且仅当，即a，b时取等号，的最小值是8.3.已知ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs的值是_.答案0解析，.又rs，r，s，rs0.4.已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a_.答案2解析设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得.C(3,3).又C在直线yax上，3a·3，a2.5.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是_.(填序号)C可能是线段AB的中点；D可能是线段AB的中点；C，D可能同时在线段AB上；C，D不可能同时在线段AB的延长线上.答案解析依题意，若C，D调和分割点A，B，则有，且2.若C是线段AB的中点，则有，此时.又2，所以0，不可能成立.因此不对，同理不对.当C，D同时在线段AB上时，由，知0<<1,0<<1，此时>2，与已知条件2矛盾，因此不对.若C，D同时在线段AB的延长线上，则时，>1，时，>1，此时<2，与已知2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上.6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动.若xy，其中x，yR，求xy的最大值.解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B(，)，设AOC(0，)，则C(cos，sin)，由xy，得，所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin()，又0，所以当时，xy取得最大值2.7.已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解(1)(1,2)，(3,3)，t(13t,23t).若点P在x轴上，则23t0，解得t；若点P在y轴上，则13t0，解得t；若点P在第三象限，则解得t<.(2)若四边形OABP为平行四边形，则，该方程组无解，四边形OABP不能成为平行四边形.