矩阵练习题参考答案(完整版)实用资料.doc
矩阵练习题参考答案（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第四章 矩阵练习题参考答案1. 解: (1) (2) 2解：(1) .(2) .(3) 所以(4) (5) (6) 原式=(7) (8) 所以3(1) (2) 4.解：(1) 设由 任取。(2) 令 (3) 同样设 5. 解：设 左边位于i行j列的元为，右边位于i行j列的元素.当i¹j时， 得，.只能是对角矩阵.6. 解：设 （ ），且 为与A同型的准对角形矩阵.7.解：(1) 设,A的第一列 A的第二行 (2)A的第i列：,且,(ki) A的第j行，且,(sj)(3)由于A与所有n级矩阵可换，故 的第一行只留下a11可非0. 的第二行只留下a22=a11其余全为0. 的第三行只留下a33=a11,其余全为0. 的第n行只留下ann=a11.其余全为0.所以 8. 证明： 9证明： .10证明：若A为实对称矩阵，若A2=0,则A=0.若为，矛盾，。11证明：。12证明：设A=B+C， 13令，.14. 设A是n´n矩阵, 证明存在一个n´n非零矩阵B使得AB=0的充要条件是|A|=0.证明：.15设A是n´n矩阵, 如果对于任意的n维向量x, 均有Ax=0, 证明A=0.证明：考虑AE.E的每一列去乘A的各行为0,AE=0.又AE=A, A=0.16. 设B是一个r´r矩阵, C为一个r´n矩阵, 且R(C)=r, 证明:(1) 如果BC=0，则B=0。(2) 如果BC=C, 则B=E.证明：(1) 考虑齐线方程组,CTx=0, 有r个未知量,而R(C)=R(CT)=r=未知量个数, 所以Cx=0只有零解.BC=0, CTBT=0, 所以BT的各列元素均为零,得BT=0, B=0.(2) 若BC=C, 则(B-E)C=0, 由(1)得B-E=0，B=E. 17. 证明：R(A+B)£R(A)+R(B).证明：设（I）,B的行向量为（），而（），那么.设 为（）的极大无关组，那么R(A)=R(I)=r. 设（´）为（）的极大无关组，那么R(B)=R(II)=p. 令为向量组(IV), 由于(III)可由(I)和(II)线性表出，所以(III)可由()线性表出，又(IV)只含有r+p个向量，所以R(IV) r+p, 得R(A+B)=R(C)=R(III)R()r+p=R(A)+R(B).18. 设A,B为n´n矩阵，证明：如果AB=0, 则R(A)+R(B)n.证明：设R(A)=r,那么，线性方程组AX=0的基础解系可设为.设B的各列为b1,b2,bm.AB=0.说明B的每列bj乘以A的每行都为0，Abj=0, 即Bj 是AX=0的解,所以b1,b2,bm.可由线性表示，于是R(b1,b2,bm.)R()=n-r, R(A)+R(B)r+n-r=n.19. 证明：如果Ak=0, 那么, 证明：由Ak=0,得,从而.20. 解(1)(2) 而 (3) (4) A= A1-1=A-1=(5)法1：法2：(6)A=A+=(7), (8),(9) A-1=(10) 求A-1 ，A=.解法1：令A=2E+B, 由于B4=0,所以(E-A)4=0，再令C=E-A=B，则C4=0. 由19题的结论， (E-C)-1=(A)-1=2A-1 =E+C+C2+ C3=E+B+(B)2+(B)3A-1=E+B B2+B3 =.解法2: A=，A-1=.21. 设解：由于，所以.22. 设，求X-1.解：将X分块为， 由21题，（见上面）23. 求矩阵X.解：(1) (2)(A,B)=.(3)由AX=B，且A可逆得X=A-1B，故所以(4), 24.若若若于是A不可逆。P202.T25若A,B上三角形，则时，C=AB为上三角,C=AB为下三角上三角，故A-1上三角当A为下三角时，AT上三角（AT）-1为上三角，即（A-1）T为上三角，故A-1为下三角。P202.T26若若 秩 总之，各种情形均有P202.T27 证明：如果A是N´N矩阵(N³2)，那么证明：(1) 若R(A)=n, 则|A|¹0, 由AA*=|A|E, 可知A*可逆.(2) 若R(A)=n-1， 则Ax=0的解空间是一维的. 又AA*=0, 所以A*的列向量都是Ax=0的解. 于是得R(A*)£ 1. 再由于R(A)=n-1, 所以A至少有一个n-1阶子式非零，即R(A*)³1, 得R(A*)=1.(3) 若R(A)<n-1, 则A 的所有元素的代数余子式全为零，所以A*=0, R(A*)=0.28.解：(1) (A,E)= A-1=(2)A= B= B-1=-=而=方法3：A2=4A A-1=29.30. 又补充题1. 设A是一个n´n矩阵，R(A)=1, 证明(1) 证明：(1) 因为R(A)=1, 所以存在可逆矩阵P和Q, 使得 .于是，其中是P-1的第一列元素，是Q-1的第一行元素.(2) A2= 2. 设A是2´2矩阵，证明：如果Al=0(l³2), 那么A2=0.证明: 由于Al=0，所以R(A)£1.若R(A)=0, 则A=0, 结论成立.设R(A)=1, 由第一题，.若k=0, 则A2=0. 若k¹0, 则kl-1¹0, 得A=0. 但R(A)=1. 所以必有k=0，即A2=0.3. 设A是n´n矩阵，证明：如果A2=E, 那么 R(A+E)+R(A-E)=n.证明：由A2=E得(A+E)(A-E)=0. 所以一方面A-E的列向量都是齐次线性方程组(A+E)x=0的解向量，从而R(A+E)+R(A-E)£n.另一方面，考虑(E-A)+(E+A)=2E, 所以n=R(2E)=R(E-A)+(E+A) £ R(E-A)+R(E+A). 综上得R(A+E)+R(A-E)=n.4. 4. 设A是n´n矩阵，且A2=A, 证明： R(A)+R(A-E)=n.证明与3题类似，略去.5. 证明：证明：由于AA*=|A|E, 所以A*(A*)*=|A*|E. 又|A*|=|A|n-1, 所以若R(A)<n, z则R(A*)£1， n>2, 所以(A*)*=0, 结论成立. 若R(A)=n, 则A*=|A|A-1, 于是由A* (A*)*=|A*|E， |A|A-1(A*)*=|A*|E=|A|n-1E, 6. 设A,B,C,D都是n´n矩阵，且|A|¹0, AC=CA, 证明 .证法1: 因为A可逆，所以证法2: 因为，所以7. 设A是一个n´n矩阵, 且R(A)=r. 证明存在n´n矩阵P使得PAP-1的后n-r行全为零.证明：由R(A)=r. 存在n´n矩阵P，Q，使得. 于是，后者是一个后n-r行元素全为零的矩阵.8. (1) 把矩阵表成形式为的矩阵的乘积.(2) 设是一个复矩阵，|A|=1, 证明|A|可以表成P(i,j(k)这一类初等矩阵的乘积.证明: 不妨假设a¹0, 否则由b,c均非零，可以对该矩阵作P(i,j(k)类变换，使其位于(1,1)位置的元素非零. 对A做这一类的初等变换使其变为单位矩阵.得9. 设A是一个n阶矩阵，|A|=1, 证明A看表成P(i,j(k)这一类初等矩阵的乘积. 证明：(1) 设A=(aij), 由于|A|=1, 所以A的第一列元素不全为零，于是可以用形如P(i,j(k)的初等变换把位于(1,1)位置的元变为非零元. 所以不妨假设a11¹0, 用变换r2-k2r1, r3-k3r1, rn-knr1, 即对A左乘初等矩阵P(2,1(k2), P(3,1(k3), P(n,1(kn), 得=A1.由于这一类初等变换不改变行列式的值，所以. 不妨假设a122¹0, 对A1再进行一系列第三类的初等变换，把它变为=B(2) A®B, 且|A|=|B|=1. 对B作如下变换：再对上式右端的矩阵作变换P(n,(n-1)(-bn-1n), P(n,(n-2)(-bn-2n) , , P(n,(1)(-b1n), 最后化为单位矩阵. 总结上述过程，相当于对A左乘了一系列的第三类初等矩阵，把它变为单位矩阵. 由于第三类初等矩阵的逆仍为第三类，所以A可表为一系列第三类初等矩阵的乘积.10. 设A=(aij)sn, B=(bij)nm, 证明R(AB)³R(A)+R(B)-n. 证明：设R(A)=r, R(B)=t, 则存在s阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得, 于是由R(AB)=R(PAQQ-1B), 我们有，其中C为矩阵Q-1B的前r行. 考虑到R(Q-1B)=R(B)=t, 所以假设Q-1B的行向量为a1，a2，an, 则C的行向量为a1，ar. 考虑矩阵和向量组的秩：R(B)=R (a1，a2，an,)£R(a1，ar)+R(ar+1，an) £R(C)+n-r.所以，R(AB)=R(C)³R(B)+r-n=R(A)+R(B)-n.11. 矩阵的列(行)向量如果是线性无关的，就称该矩阵为列(行)满秩. 设A是m´r矩阵，则A是列满秩的充要条件为存在m´m可逆矩阵P使A=P, 同样A是行满秩的充要条件为存在r´r可逆矩阵P使A=(Em, 0)Q.证明：假设A为列满秩矩阵，则R(A)=r, 且A的行向量组的秩为r. 所以交换A的各行可以使得其前r行的向量线性无关. 相当于左乘初等矩阵P1, 使得P1A=, 其中|A1|¹0. 令P2=, 则. 所以A=P，其中P=(P2P1)-1.类似可证行满秩的结论.12m´n矩阵A的秩为r，则有m´r的列满秩矩阵P和r´n的行满秩矩阵Q使A=PQ.证明：由条件存在m阶可逆矩阵B和n阶可逆矩阵C使得 其中. P是可逆矩阵B-1的前r列（线性无关）构成的矩阵，从而P是列满秩的. 同理，Q是由可逆矩阵C-1的前r行构成，为行满秩的矩阵.
