矩阵论广义逆矩阵(完整版)实用资料.doc

矩阵论广义逆矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第六章 广义逆矩阵 当A是n阶方阵，且detA0时，A的逆矩阵才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x=近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述§6.1 广义逆矩阵的概念 定义6.1 设A，如果X满足下列四个Penrose方程 (1)AXA=A； (2)XAX=X； (3)； (4)的某几个或全部，则称X为A的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X称为A的Moore-Penrose逆 显然，如果A是可逆矩阵，则满足四个Penrose方程 按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose方程的广义逆矩阵，一共有类 以下定理表明，Moore-Penrose逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的 定理6.1 设，则A的Moore-Penrose逆存在且惟一 证 设rankAr若r0，则A是m×n零矩阵，可以验证n×m零矩阵满足四个Penrose方程若r>0，由定理419知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得 其中=diag，而是A的非零奇异值记则易验证X满足四个Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在 再证惟一性设X，Y都满足四个Penrose方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)从而A的Moore-Penrose逆是惟一的证毕 需要指出的是只要A不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的 定义6.2 设，若满足Penrose方程中的第(i)，(j)，(l)等方程，则称X为A的i，j，l-逆，记为，其全体记为Ai，j，lA的惟一的Meore-Penrose逆记为，也称之为A的加号逆 在上述15类广义逆矩阵中，应用较多的是以下5类： A1， A1，2， A1，3， A1，4， 由于1-逆是最基本的，而惟一且同时包含在15类广义逆矩阵集合中，所以与在广义逆矩阵中占有十分重要的地位以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论§6.2 1-逆及其应用 一、1-逆的计算及有关性质 利用定理4.14的结果可以方便地求出1-逆 定理6.2 设(r>0)，且有和n阶置换矩阵P使得则对任意矩阵是A的1-逆；当L=O时，X是A的1，2-逆 证 因为容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A所以XA1 当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故XA1，2证毕 需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A1的一个子集例61 已知矩阵，求解 48已求得，使得从而由式（61），得利用等价标准形可以求出1-逆的全体定理63 设，且和使得则，（62）证 可知令X=TS直接验证知AXA=A，即XA1反之，若XA1，可设由AXA=A，得当，而，和为适当阶的任意矩阵时，上式成立故式(62)右边给出了A的所有1-逆 证毕 推论 设，则A有惟一1-逆的充分必要条件是m=n，且rankA=n，即A可逆这个惟一的1-逆就是 下面定理给出了1-逆的一些性质 定理64 设，则 (1)，； (2)，其中C，且 （63）(3)当，时，有；(4)；(5)；(6)的充分必要条件是rankA=m；(7)的充分必要条件是rankA=n证 (1)(3)由定义直接得到；(4)rankArank；(5)与(4)的证明类似；(6)如果，则由(5)，得反之，如果rankA=m则由(5)知，=rankA=m又是m阶方阵，从而它是可逆矩阵注意到，两边同乘即得； 同理可证(7)证毕 二、1-逆的应用 利用1-逆可以求解矩阵方程及线性方程组 定理6.5 设，则矩阵方程AXB=D有解的充分必要条件是(6.4) 其中，当矩阵方程有解时，其通解为 (任意) (65) 证 如果式(64)成立，则是AXB=D的解反之，如果AXB=D有解，则 将式(65)代入矩阵方程AXBD的左边并利用式(6.4)及1-逆的定义，可推出等于D，这说明式(65)是矩阵方程AXBD的解反之，设是AXBD的任一解，则有它相当于在式(65)中取故式(65)给出了AXBD的通解证毕 推论1 设，则有 证 由定理65可知，AXAA的通解为 (任意)令，代入上式得 证毕 上述推论用某一个给定的，便给出了集合A1的全部元素 推论2 设，则线性方程组Axb有解的充分必要条件是 (66)其中A(1)A1如果Axb有解，其通解为 (67) 从式(67)可以看出：Axb的通解由两部分构成，其中是Axb的一个特解，而()y为Ax0的通解 例62 用广义逆矩阵方法求解线性方程组解 令 A=，b=例61已求得A的1-逆为(取=0)容易验证所以线性方程组有解，且通解为（） 推论2表明，利用某个1-逆可以解决线性方程组的求解问题反之，利用线性方程组的解也可以给出1-逆 定理66 设，若对于使得线性方程组Ax=b有解的所有b，x=Xb都是解，则 证 记为A的第j列，则线性方程组Ax=都有解(因为就是解)由于是线性方程组的解，即从而故XA1证毕 三、由1-逆构造其他的广义逆矩阵 利用1-逆可以构造出其他的广义逆矩阵 定理67 设，Y，ZA1记XYAZ，则XA1，2 证 由定义直接得到 证毕 因为在Penrose方程(1)和(2)中，A与X的位置是对称的，所以XA1，2与AX1，2是等价的，即A和X总是互为1，2-逆，这与通常逆矩阵所具有的性质=A类似，因此也经常称之为自反广义逆矩阵 引理61 设，且rank(AB)rankA则存在矩阵，使得AABW 证 将A按列分块为A()，考虑线性方程组 (j=1,2,n) (68) 因为 rank(AB)rank(AB，)=rank(AB，) =rankA(B，)rankA=rank(AB)所以rank(AB，)=rank(AB)，即式(68)的诸线性方程组都有解，设 (AB) (j=1，2，n)， W=()则有 A=()=AB()=ABW 证毕 在式(61)中取L=O，即有XA1，2，此时rankX=r=rankA这个结论具有一般性定理68 设，则的充分必要条件是rankX=rankA 证 若XA1，2，则有 rankA=rank(AXA)rankX=rank(XAX)rankA 即rankX=rankA 反之，若XA1，且rankX=rankA由定理6.4知rankX=rankA=rank(XA)从而根据引理6.1，存在矩阵，使得X=XAW，故 XAX=XA(XAW)=XAW=X 即XA1，2证毕 为了构造1，2，3-逆和1，2，4-逆，要用到与的1-逆 定理69 设，则 Y=1，2，3， Z=1，2，4 证 由定理1.26知 rank()=， rank()=rankA 根据引理61，存在，使得或 于是 AYA= 即YA1由1-逆的性质知rankYrankA，又有 rankY=rank 故由定理68得YA1，2又因为 AY= = 可见，故YA1，2，3 同理可证ZA1，2，4证毕 定理610 设，且则 证 记由定理67知XA1，2又因为 所以 所以 可见XA1，2，3，4由于A1，2，3，4只含一个元素，故证毕§63 Moore-Penrose逆 一、的计算及有关性质 定理61给出了利用奇异值分解求的方法这里给出的利用满秩分解求的方法较为简便 定理611 设(r>0)，且A的满秩分解为 A=FG (，)则 证 由定理126知，rank()=rankG=r，rank()=rankF=r，从而与都是r阶可逆矩阵记 容易验证X满足四个Penrose方程，故X=证毕 推论 设则当rankA=m时，有而当rankA=n时，有 例63 求下列矩阵的Moore-Penrose逆：(1)；（2）解 （1）例49已求得于是 （2） 由于的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下 定理612 设，则 (1)； (2)， (3)，其中C，且如式(63)； (4)； (5)； (6)； (7)，； (8)当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有 (9)的充分必要条件是rankA=m； (10)的充分必要条件是rankA=n 证 只证(6)，其余结论直接利用的定义或仿定理64证明 记，由定理69知XA1，2，3余下只要验证X满足Penrose方程(4)因为上式右边是Hermite矩阵，故，即XA1，2，3，4，从而 同理可证证毕 应当指出，有关逆矩阵的另外一些性质对于一般不再成立： 对于同阶可逆矩阵A和B有，定理612中之(7)表明对矩阵A和，Moore-Penrose逆有类似的性质但一般来说该性质不成立如，设A=(1 1)，B=，于是AB=(1)，而，故 对可逆矩阵A有当A是长方阵时，与的阶数不等即使A为方阵，也不一定有如，设，有，从而，可见 二、在解线性方程组中的应用 利用1-逆已经解决了判断线性方程组是否有解及求通解的问题由于是特殊的1-逆，所以相应地有 定理6.13 设，则线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是且通解为 （任意） (69) 由式(69)可知，如果线性方程组Axb有解，则当且仅当，即rankAn时解惟一在实际问题中，常需求出线性方程组的无穷多个解中2-范数最小的解，即称为线性方程组Ax=b的极小范数解 定理614 设，且Ax=b有解则它的惟一极小范数解为 证 对于式(69)给出的Ax=b的通解x，有可见，即是极小范数解 再证惟一性设是Ax=b的极小范数解，则，且存在，使得与前面推导过程类似，有 从而，即，从而证毕 当线性方程组无解时，往往希望求出它的最小二乘解(见式(312)利用Moore-Penrose逆可以解决这一问题定理6.15设，矛盾方程组Ax=b的全部最小二乘解为 （6.10）证 由式（6.10）可求得对任意，有于是这表明式（6.10）给出的z都是Ax=b的最小二乘解。又设是Ax=b的任一最小二乘解，则有与前面推导过程类似，有从而=0，即，可见是线性方程组的解，由于，根据定理6.13知，上述方程组有解，且通解为故可见式（6.10）给出了Ax=b的全部最小二乘解。 由定理6.15的推证过程可得如下结论。 推论1 设，则设 是矛盾方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是，z 是方程组的解。 推论2 设，则设 是矛盾方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是，z 是方程组的解。 证 若z是Ax=b的最小二乘解，由推论1知，z是的解，于是即z是的解，则有 证毕 由式（6.10）可见，矛盾方程Ax=b的极小范数最小二乘解或最佳逼近解。 定理6.16 设，则矛盾方程组Ax=b的唯一极小范数最小二乘解为。 证 由推论1知，Ax=b的极小范数最小二乘解就是的唯一极小范数解，根据定理6.14可求得 证毕 综上所述，可以得到利用Moore-Penrose逆求解线性方程组Ax=b的如下整齐的结论：（1） Ax=b有解（或相容）的充分必要条件是；（2） 是相容方程组Ax=b的通解，或是矛盾方程组Ax=b的全部最小二乘解；（3） 是相容方程组Ax=b的唯一极小范数解，或是矛盾方程组Ax=b的唯一极小范数最小二乘解例6.4 用广义逆矩阵方法判断线性方程组是否有解？如果有解，求通解和极小范数解；如果无解，求全部最小二乘解和极小范数最小二乘解。解 将线性方程组写成矩阵型式Ax=b,其中 例6.3已求得由于所以方程组无解，全部最小二乘解为极小范数最小二乘解为