传染病问题中的SIR模型【完整版】.doc

传染病问题中的SIR模型【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）传染病问题中的SIR模型 摘要：2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。在这里我采用SIRSusceptibles，Infectives，Recovered模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病开展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济开展。关键字：传染病；动力学；SIR模型。一模型假设1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数这局部人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。占总人数的比例。2. 病人的日接触率每个病人每天有效接触的平均人数为常数，日治愈率每天被治愈的病人占总病人数的比例为常数，显然平均传染期为1，传染期接触数为=。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。二模型构成在以上三个根本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：sisiri在假设1中显然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1 1对于病愈免疫的移出者的数量应为 2不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0，0，=0.SIR根底模型用微分方程组表示如下： 3 s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。三数值计算在方程3中设=1，=0.3，i0= 0.02，s0=0.98，用MATLAB软件编程：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，is图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时到达最大值,然后减少,t,i0,s(t)那么单调减少,t,s0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.t 0 1 2 3 4 5 6 7 8i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 45i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398 表1 i(t),s(t)的数值计算结果四相轨线分析 我们在数值计算和图形观察的根底上，利用相轨线讨论解it,st的性质。 i s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域s，iD为 D = s，i| s0，i0 ， s + i 1 4 在方程3中消去并注意到的定义，可得 ， 5 所以： 6利用积分特性容易求出方程(5)的解为： 7在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t时它们的极限值分别记作, 和)。1.不管初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即： 8其证明如下： 首先,由(3) 而 故 存在; 由(2) 而 故 存在;再由(1)知存在。其次,假设那么由(1),对于充分大的t 有 , 这将导致，与存在相矛盾.从图形上看,不管相轨线从P1或从P2点出发,它终将与s轴相交(t充分大).2.最终未被感染的健康者的比例是,在(7)式中令i=0得到, 是方程 9在(0,1/)内的根.在图形上是相轨线与s轴在(0,1/)内交点的横坐标. 3.假设>1/,那么开始有，i(t)先增加, 令=0，可得当s=1/时,i(t)到达最大值： 10 然后s<1/时，有 ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)那么单调减小至,如图3中由P1(，)出发的轨线.4.假设 1/,那么恒有，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至,如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线. 可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/是一个阈值,当>1/(即>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数,即提高阈值1/使得1/(即 1/),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通常可认为接近1)。 并且,即使>1/,从(19),(20)式可以看出, 减小时, 增加(通过作图分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在=中,人们的卫生水平越高,日接触率越小;医疗水平越高,日治愈率越大,于是越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延. 从另一方面看, 是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被个健康者交换.所以当 即时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。五群体免疫和预防 根据对SIR模型的分析,当 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/变大以外,另一个途径是降低 ,这可以通过比方预防接种使群体免疫的方法做到. 忽略病人比例的初始值有,于是传染病不会蔓延的条件 可以表为 (11)这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例即免疫比例满足11式，就可以制止传染病的蔓延。这种方法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 =5，由11式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界铲除。而有些传染病的更高，铲除就更加困难。六模型验证 上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了的实际数据，Kermack等人用这组数据对SIR模型作了验证。首先，由方程2，3可以得到 ，两边积分得 所以： (12)再 (13)当 时，取13式右端Taylor展开式的前3项得： 在初始值=0 下解高阶常微分方程得: (14)其中， 从而容易由14式得出： 15 然后取定参数 s0, 等，画出15式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。 七被传染比例的估计 在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值与之差，记作x,即 (16)当i0很小，s0接近于1时，由9式可得 (17)取对数函数Taylor展开的前两项有 (18) 记 , 可视为该地区人口比例超过阈值的局部。当 时18式给出 19 这个结果说明，被传染人数比例约为的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变。而当阈值提高时，减小，于是这个比例就会降低。八评注该模型采用了数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,先有感性认识(表1,图1,图2),再用相轨线作理论分析,最后进行数值验证和估算,可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。可取之处在于它们比拟全面地到达了建模的目的,即描述传播过程、分析感染人数的变化规律,预测传染病高潮到来时刻,度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段和措施。 许多MM在减肥的过程中困难重重，用尽方法却瘦不下来，其实只有在数不清的技巧，推敲中找到属于跟适合自己的最正确方式，才能在健康的瘦身道路上走下去，下面一些瘦身的小技巧，一定可以帮到你！ 1、慢慢吃我们都曾在美味佳肴面前狼吞虎咽。等你发现自己吃撑的时候，已经为时太晚了。然而当发现自己因为吃得太撑感到不适时总是为时已晚。这是因为，我们的大脑需要大概20分钟，才能接收到“已经吃饱了的讯息。营养学专家Wesley Delbridge表示。“在吃第二碗饭前，不妨先喝上一杯水，等个十几分钟。他说，“让你的大脑告诉你，你是否已经吃饱了。“2、切碎你的食物不管是享用牛腩、三文鱼、面包圈还是鸡蛋卷，在食用之间都可以尝试把这些食物切成碎片。近期，美国亚利桑那州立大学的研究说明，被给予切好的面包圈的参与者，比直接食用完整面包圈的参与者，在试验中吃的要少得多。在20分钟后的免费午餐招待中，那些吃面包圈切片的参与者仍然吃的比拟少。研究人员表示，预先切好食物能使食用过程中的每一次咀嚼都更加舒适，因此能够一定程度上实现对饮食量的掌控。3、饭后刷牙、剔牙“一旦结束午餐或晚餐，应当立刻使用牙刷或者牙线。匹兹堡Nutrition CheckUp的营养学家Heather Mangieri如此建议道。当你感到牙齿清洁、口气清新时，你就不会再没心没肺的呆在厨房吃个不停了。久坐族常常都有恼人的“游泳圈，不仅仅影响美观，还很难减，这可怎么办呢？来看看小编推荐的10个最正确的瘦腰运动吧！总有适合你的一种，还等什么？赶紧动起来吧！ 1、简易坐扭转这个体式可以很好的帮你拉伸脊柱并消除背痛，然后帮你按摩腹部减少腰部的赘肉，来促进消化器官的蠕动。盘腿坐在一块折叠的毛毯上，骨盆水平，挺直腰背。吸气向上拉长脊柱，随着呼气的时候拉伸着向右前方转，左手放在右大腿上，右手放在身后毛毯边缘，保持30秒，然后收回。相反方向重复同样的动作。2、半鱼王这个扭转可以很好的作用在腹部区域，把横膈膜及腹腔带进行一个强烈的扭转，它的扭转力度会非常强大，帮助收紧腰腹肌肉。这是一个更为高级的扭转体式。我们需要让一腿折叠在下方，让脚掌竖着立在地面上，上面的脚跨过来放在膝盖的外侧，脚尖和膝盖在一条线上，上面腿应该是垂直的。可以把臀部下面垫上一个毯子，以防骨盆不会向后部倒，使背能向上立起来，随着呼气的时候转，同样吸气拉伸脊柱，呼气把中背部推入体内，增加扭转。快速瘦腰一：“椅子运动像是坐在椅子上那样，双手做扶扶手的姿势，后背靠在椅背上，注意其实没有椅子，只是自己想象着坐在椅子上。之后身体慢慢下蹲，感觉屁屁真的坐在椅子上一样。在做这个动作时腰部要用力，脚的位置不动，让大腿来承受身体的重量。 3、自行车运动身体平躺在地板上，双手放于脑后，左腿膝盖弯曲并尽量向胸部靠近，右手肘向左腿膝盖靠近，右侧肩榜随之抬起。之后换另一侧重复进行这个动作。4、交错腿运动身体平躺在地板上，双腿交叉，双手抱头，之后交叉的双腿慢慢抬起，尽量向上抬，使双腿与地面呈直角，头部也随之慢慢抬起。当抬到最高点时停顿呼吸一次，之后重复进行这个动作。5、健身球运动让自己躺在健身球上，使下背部接触健身球，双手交叉放于胸部，也可以抱头。腰部用力抬起上身，使身体离开健身球，注意保持平衡。之后再躺下来，重复进行这个动作，像在健身球上做仰卧起坐一样，对于瘦腰腹很有效果。6、蜘蛛侠式这款动作可以运用到腹肌上的全部肌肉，也能兼顾到小腿、大腿、胸部、背部、手臂、肩膀的肌肉。先是俯卧撑的姿势，手臂要伸直，保持手肘和肩膀在同一条直线上，从侧面向前提拉右腿，如图中的方式，让膝盖尽量靠向右臂手肘，到极限的位置时再放下腿；之后换左腿，提拉再伸直，循环反复，两侧各15个算一组。