专题：常见递推数列通项公式的求法(完整版)实用资料.doc

专题：常见递推数列通项公式的求法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）专题：常见递推数列通项公式的求法一. 教学内容：专题：常见递推数列通项公式的求法 二. 教学重、难点：1. 重点：递推关系的几种形式。2. 难点：灵活应用求通项公式的方法解题。 【典型例题】例1 型。（1）时，是等差数列，（2）时，设 比较系数： 是等比数列，公比为，首项为 例2 型。（1）时，若可求和，则可用累加消项的方法。例：已知满足，求的通项公式。解： 对这（）个式子求和得： （2）时，当则可设 解得：， 是以为首项，为公比的等比数列 将A、B代入即可（3）（0，1）等式两边同时除以得令 则 可归为型例3 型。（1）若是常数时，可归为等比数列。（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知：，（）求数列的通项。解： 例4 型。考虑函数倒数关系有 令 则可归为型。练习：1. 已知满足，求通项公式。解：设 是以4为首项，2为公比为等比数列 2. 已知的首项，（）求通项公式。解： 3. 已知中，且求数列通项公式。解： 4. 数列中，求的通项。解： 设       5. 已知：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列  【模拟试题】1. 已知中，求。2. 已知中，（）求。3. 已知中，（）求。4. 已知中，（）求。5. 已知中，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式6. 已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证：是等差数列 （2）若，求的前n项和的最小值   【试题答案】1. 解：由，得 2. 解：由得： 即是等比数列 3. 解：由得 成等差数列， 4. 解： （） （）设即 是等差数列 5. 解：（1） 是首项为1，公差为2的等差数列 （2） 又 6. 解：（1） 时，整理得： 是正整数数列 是首项为2，公差为4的等差数列 （2） 为等差数列 当时，的最小值为 递推数列通项求解方法举隅类型一：（）思路1（递推法）：。思路2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。例1 已知数列满足且，求数列的通项公式。解：方法1（递推法）：。方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。类型二： 思路1（递推法）：。思路2（叠加法）：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，即。例2 已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠加法）：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，。类型三： 思路1（递推法）：。思路2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。例3 已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。类型四： 思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时， (、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。例4 已知、,求。解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即，解得，即。类型五： （）思路（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。例5 已知，求。解：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。类型六： （且）思路（转化法）：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例6 已知，求。解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、，各式叠加得，即。类型七： （）思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例7 已知，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。类型八：（）思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例8 已知，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。类型九： （、）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例9 已知， （），求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得则，即，从而，。寒假专题常见递推数列通项公式的求法重、难点：1. 重点： 递推关系的几种形式。2. 难点：灵活应用求通项公式的方法解题。【典型例题】例1 型。（1）时，是等差数列，（2）时，设 比较系数： 是等比数列，公比为，首项为 例2 型。（1）时，若可求和，则可用累加消项的方法。例：已知满足，求的通项公式。解： 对这（）个式子求和得： （2）时，当则可设 解得：， 是以为首项，为公比的等比数列 将A、B代入即可（3）（0，1）等式两边同时除以得令 则 可归为型例3 型。（1）若是常数时，可归为等比数列。（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知：，（）求数列的通项。解： 例4 型。考虑函数倒数关系有 令 则可归为型。 练习：1. 已知满足，求通项公式。解：设 是以4为首项，2为公比为等比数列 2. 已知的首项，（）求通项公式。解： 3. 已知中，且求数列通项公式。解： 4. 数列中，求的通项。解： 设       5. 已知：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列 【模拟试题】1. 已知中，求。2. 已知中，（）求。3. 已知中，（）求。4. 已知中，（）求。5. 已知中，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式6. 已知在正整数数列中，前项和满足 （1）求证：是等差数列 （2）若求的前n项和的最小值1. 解：由，得 2. 解：由得： 即是等比数列 3. 解：由得 成等差数列， 4. 解： （） （）设即 是等差数列 5. 解：（1） 是首项为1，公差为2的等差数列 （2） 又 6. 解：（1） 时，整理得： 是正整数数列 是首项为2，公差为4的等差数列 （2） 为等差数列 当时，的最小值为利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，下面介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略.一、构造等差数列法例1.在数列an中，求通项公式an。解：对原递推式两边同除以可得：令则即为，则数列bn为首项是，公差是的等差数列，因而，代入式中得。故所求的通项公式是二、构造等比数列法1.定义构造法利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。例2.设在数列an中，求an的通项公式。解：将原递推式变形为/得：，即设式可化为，则数列bn是以b1为首项，公比为2的等比数列，于是，代入式得：，解得为所求。2.（A、B为常数）型递推式可构造为形如的等比数列。例3.已知数列，其中，求通项公式。解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。3.（A、B、C为常数，下同）型递推式可构造为形如的等比数列。例4.已知数列，其中，且，求通项公式an。解：将原递推变形为，设bn。得设式可化为，比较得于是有数列是一个以为首项，公比是3的等比数列。所以，即，代入式中得：为所求。4.型递推式可构造为形如的等比数列。例5.在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为，比较系数可得：，上式即为是一个等比数列，首项，公比为。所以。即，故为所求。三、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。例6.在数列中，求通项公式an。分析：首先考虑所给递推式与公式的联系。解：设，则同理，。即，猜想。下面用数学归纳法加以证明（证明略）。由于即，解得，于是为所求。求an=pan1+q型数列通项公式的方法武进横山桥高级中学 许光健关键词：等差数列 等比数列 递推公式 通项公式 化归 待定系数法摘要：上篇解决了几种如何由an=pan+q型递推公式求数列an的通项公式的方法按p，q的不同取值情况分别给出了讨论还给出了由与之类似的几种递推公式求通项公式的方法这里主要是通过化归的思想，待定系数等方法来解决本篇再来探讨由an=an+f(n)，an=f(n)an，an=pan+f(n)型的递推公式求通项公式的方法正文：上篇给出了由an=pan+q型递推公式求数列an的通项公式的方法，下面再研究几种类似的题型：1an=an+f（n）对于形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。这种类型是由an=an+q型将其中的q换为f（n）而引申得到的，这种类型可以采用求等差数列通项公式的叠加法得到：a2=a 1+f（2），a3=a 2+f（3），a4=a 3+f（4），an=an+f（n）将式子叠加得：an=a 1+ f（n）这里将问题转化为求f（n），特别地，若f（n）是表示等差或等比数列时，即求数列的前n项和例如1：若在数列中，求通项。解析：由得，所以，将以上各式相加得：，又所以 =2an= f（n）an 对于形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。这种类型是由an=pan型将其中的p换为f（n）而引申得到的，这种类型可以采用求等比数列通项公式的思想得到：a 2=f（2）a 1a 3= f（3）a 2a 4= f（4）a 3an= f（n）an将式子叠乘得：an=a 1 f（n）这里将问题转化为求f（n）例如2.在数列中，（），求通项。解析：由已知，又，所以=3an=pan+f（n）其中p1这种类型是由an=pan+q，p1将其中的q换成f（n）得到的这里我们可以在两边同除以pn得：，记：bn，则转化为类型1来求解最后，an= f（n）an+q型和an= f（n）ang（n）型的通项公式还未发现初等的一般解法，也在这里提一下，希望读者给予解决参考文献:初等数学研究教程 葛军涂荣豹编著数学(必修)人民教育出版 三大类递推数列通项公式的求法1 一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式： （1） 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列f(n)可求前n项和).当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为 （2） 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列g(n)可求前n项积).当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式（3）；这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.例已知数列中，,求的通项公式解析解法一转化为型递推数列又，故数列是首项为，公比为的等比数列，即解法二转化为型递推数列=2xn-1+1(n2)=2xn+1，得(n2)，故是首项为x2-x1=2，公比为的等比数列，即，再用累加法得解法三用迭代法当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明例已知函数的反函数为求数列的通项公式.解析由已知得，则令=,则.比较系数，得.即有数列是以为首项，为公比的等比数列，故评析此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之（4）若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.（5）；这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.例设数列求数列的通项公式解析，两边同除以，得令，则有于是，得，数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而例设求数列的通项公式解析设用代入，可解出是以公比为-2，首项为的等比数列，即（6）这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列例设数列求数列的通项公式解析由可得设故即用累加法得或例在数列求数列的通项公式解析可用换元法将其转化为一阶线性递推数列令使数列是以 为公比的等比数列(待定)即对照已给递推式， 有即的两个实根从而或由式得；由式得消去例在数列求解析由，得式+式，得，从而有数列是以为其周期故=-13 特殊的n阶递推数列例已知数列满足，求的通项公式解析 ，得故有将这几个式子累乘，得又例9数列满足，求数列的同项公式解析由 ，得 式式，得，或，故有.,.将上面几个式子累乘，得，即也满足上式，巧用不动点求两类递推数列的通项公式聂文喜若满足方程，则称是函数的一个不动点，利用不动点可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列。下面举例说明。结论1 若，为的不动点，满足，则是公比为a的等比数列。证明：因为为的不动点，所以，所以，所以，所以数列是公比为a的等比数列。例1. （2005年高考·北京卷）设数列的首项，且。记。判断是否为等比数列。解：。令，求出不动点，由结论1得：数列是公比为的等比数列。故是首项为，公比为的等比数列。例2. （2005年高考·山东卷）已知数列的首项为，前n项和为，且，求的通项公式。解：由已知，得当时，两式相减得当时，即，也即又，所以，从而1，故对成立。令，求出不动点。由结论1得：数列是公比为2的等比数列，所以，故。结论2 设，数列满足，且。（1）若有两个相异不动点，则数列是公比为的等比数列；（2）若只有唯一不动点，则数列是等差数列。证明：（1）因为由题设知。同理。所以所以数列是公比为的等比数列。（2）因为为的唯一不动点，所以x，即有唯一解，所以且。所以，所以数列是公差为的等差数列。例3. （2005年高考·重庆卷）设数列满足（），且。求数列的通项公式及数列的前n项和。解：由已知得，由方程，求出不动点，。于是，所以数列是公比为的等比数列所以，解得故数列的前n项和为例4. 已知数列满足。解：由方程，求出唯一不动点，于是，所以数列是公差为的等差数列。所以解得。求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法m w.w例1 在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则 ，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2 设数列是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），则它的通项公式是=（2000年高考15题）解：原递推式可化为： =0 0， 则 ， 逐项相乘得：，即=.三、换元法例3 已知数列，其中，且当n3时，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为：是一个等比数列，公比为.故.故.由逐差法可得：. 例4已知数列，其中，且当n3时，求通项公式。解 由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，公差为1.故.。由于又所以，即四、积差相消法例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，满足= 且，求的通项公式.解 将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，故有 (由+ +(得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故 . 五、取倒数法例6 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=（2002年上海高考题）.解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.七、平方（开方）法例8 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9 若数列中，=1，是数列的前项之和，且（n），求数列的通项公式是.解 递推式可变形为 （1）设（1）式可化为 （2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列的通项公式是 。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10 在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.3、型，可化为的形式。例11 在数列中，当， 求通项公式.解：式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12 在数列中，=6 求通项公式.解 式可化为： 比较系数可得： =-6， 式为 是一个等比数列，首项，公比为.即 故.九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13 在各项均为正数的数列中，为数列的前n项和，=+ ，求其通项公式。 求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为若有二异根，则可令是待定常数）若有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例1已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例2已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得此方法又称不动点法例3已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，例4已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，利用递推公式求数列通项公式及各种数列求和一、数列求通项（一）叠加法1 已知数列满足，求数列的通项公式。2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。（二）叠乘法1已知数列的，求这个数列的通项公式（三）待定系数法1已知数列满足，且。解：（）变形后可得，所以可得1，所以1是一个以为首项，2为公比的一个等比数列，所以1（）从而1，即2 若数列的递推公式为，且 （四）构造法1中，若求an+4,即，是等差数列。可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列 an 的通项。2数列 an 中，an0，且满足求an3数列 an 中，求an通项公式。4数列 an 中,求an.5已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。（五）与混合题型1已知数列的前项和，求2 数列中前n项的和，求数列的通项公式.解：当n2时，        令，则，且    是以为公比的等比数列，    .构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.3  数列中，前n项的和，求. 解：    ，      4已知数列an中，a1=1，Sn=，求an的通项公式解：是以1为首项，公差为2的等差数列=1+2（n1）=2n1，即Sn=an=SnSn1=an=二、数列求和（一）公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、 差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：（二）错位相减这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列。1已知数列,求前n项和2求和. （三）分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。1、 求数列的前项和.注意等比数列求和公式不要用错！2、求数列的前项和.（四）裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1求数列，的前n项和S解：=）Sn=2求数列的前n项和导析：通项求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则 ，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2 设数列是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），则它的通项公式是=（2000年高考15题）解：原递推式可化为： =0 0， 则 ， 逐项相乘得：，即=.三、换元法例3 已知数列，其中，且当n3时，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为： 是一个等比数列，公比为.故.故.由逐差法可得：. 例4已知数列，其中，且当n3时，求通项公式。解 由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，公差为1.故.。由于又所以，即 四、积差相消法 例5（1993年全国数学联赛题一试第五题）设正数列，满足= 且，求的通项公式.解 将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故 . 五、取倒数法例6 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=（2002年上海高考题）.解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.七、平方（开方）法例8 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9 若数列中，=1，是数列的前项之和，且（n），求数列的通项公式是.解 递推式可变形为 （1）设（1）式可化为 （2）比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列的通项公式是 。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10 在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.3、型，可化为的形式。例11 在数列中，当， 求通项公式.解：式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12 在数列中，=6 求通项公式.解 式可化为： 比较系数可得：=-6， 式为是一个等比数列，首项，公比为.即 故.九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例13 在各项均为正数的数列中，为数列的前n项和，=+ ，求其通项公式。 求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。三、利用累乘法求通项公式例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，则所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6 （2004年全国15题）已知数列满足，则的通项解：因为所以所以式式得则则所以由，取n=2得，则，又知，则，代入得。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为（n2），进而求出，从而可得当n2时的表达式，最后再求出数列的通项公式。四、利用待定系数法求通项公式例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，代入式，得由0及式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式，得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，则等式两边消去，得，则得方程组，则，代入式，得由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六、利用迭代法求通项公式例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而七、利用数学归纳法求通项公式例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、利用不动点法求通项公式例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程