教材矩阵习题及答案(完整版)实用资料.doc
教材矩阵习题及答案（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）教材矩阵习题及答案习题2.11 设，求答案2求答案（13），3答案4答案5 设, , 问: (1)吗? 解 。 因为, (2)吗? 解 因为, , 但 , (3)吗?解 因为, , , 而 , 6举反列说明下列命题是错误的: (1)若 解 取, (2)若 解 取 (3)若。 解 取 , , , 7设, 求。 解 , , × × × × × ×, . 8设答案9. 设答案 10设为阶实方阵，且，证明 。11如果矩阵均为阶方阵，且，求证：习题2.21 试证：两个上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵。2 如果为实对称矩阵，且。3 设矩阵均为阶方阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。 4 设均为阶对称矩阵，试证也是对称矩阵。5 设均为阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充要条件是。6 设为反对称矩阵，为对称矩阵试证：（1）是对称矩阵，是反对称矩阵。（2）是对称矩阵，是反对称矩阵。（3）是反对称矩阵的充要条件是。习题2.31用分块矩阵计算。 .2设, 求及。 解令, , 则 , 故 , . . 习题2.41 判别下列矩阵是否可逆？如果可逆，求出其逆矩阵（1）（2）（3）答案（1）（2）（3）2用分块矩阵法求下列矩阵的逆阵: （1） ; 解 设, , 则 , . 于是 .（2）答案 3设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆, 求 解 设, 则 . 由此得 Þ,所以 .4求的逆矩阵。5解下列矩阵方程: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 . 6利用逆矩阵解下列线性方程组: (1); 解 方程组可表示为 , 故 , 从而有 . (2). 解 方程组可表示为 , 故 , 故有 . 7求证：（1）如果是可逆的上（下）三角矩阵，那么也是上（下）三角矩阵。（2）如果是可逆的对称（反对称）矩阵，那么也是对称（反对称）矩阵。8. 设矩阵可逆, 证明其伴随阵也可逆, 且。 证明 由, 得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有 |A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1¹0, 从而A*也可逆. 因为A*=|A|A-1, 所以 (A*)-1=|A|-1A. 又, 所以 (A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*. 习题2.41. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1); 解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. ) (下一步: r2 ¸(-1), r3¸(-2). ) (下一步: r3- r2.) (下一步: r1-2 r2.) (2); 解 (下一步: r2´2+(-3)r1, r3+(-2)r1. ) (下一步: r3+r2, r1+3r2. ) (下一步: r1¸2. ) . (3); 解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. ) (下一步: r2¸(-4), r3¸(-3) , r4¸(-5). ) (下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . (4). 解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. ) (下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. ) (下一步: r1«r2, r2´(-1), r4-r3. ) (下一步: r2+r3. ). 2试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1); 解 故逆矩阵为. (2). 解 故逆矩阵为. 3.试用初等行变换解矩阵方程：提示：设。答案复习题与答案一、单项选择题 1. 对于阶可逆矩阵，则下列等式中（ ）不成立.(A) (B) (C) (D) 答案B 2. 设是上（下）三角矩阵，那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B） 不全为零 （C）全不为零 （D）没有限制答案C 3. 设 ，那么（ ）. （A） （B） （C） （D） 答案 C 4. 如果为三阶方阵，且，则（ ）。（A） 4 （B） 8 （C） 2 （D） 16 答案 A 5. 值不为零的阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）. （A） 保持不变 （B） 保持不为零 （C） 保持有相同的正负号 （D） 可以变为任何值答案B 6. 设和都是阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确.（A） 若和都是对称阵，则也是对称阵（B） 若，且，则（C） 若是奇异阵，则和都是奇异阵（D） 若是可逆阵，则和都是可逆阵答案 D7. 设均为阶方阵，若由能推出，则应满足下列条件中的（ ）。 （A） （B） （C） （D） 答案B 8. 设、为阶矩阵，则下面必成立的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）答案D 9. 设为阶矩阵，且，则必有（ ） （A） （B） （C） （D）答案D 10. 设为阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 答案 B 二、填空题1. 若，则。答案 2. 设矩阵，则 ， 答案 , , 3. 设，则 答案 .4. 设三阶矩阵，则 。答案. 5.已知，则 答案 。三、计算题1. 设,且,求.解 ： 【思路分析】.,其中,则.又.所以.2. 设,求.解： 【思路分析】利用分块对角矩阵的求逆公式和. ,其中.则.又.所以.3.设为三阶矩阵,求.解： 【思路分析】先化简,再计算行列式. 方法一:,所以.方法二:,所以.4.设，且 ，求。 解：由得，即 因为， 所以 . 5.设，求矩阵。 解： . 6.解矩阵方程求，其中 ， 解： 所以. 7.解矩阵方程，其中，. 解：由，得， 为此对矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵， 所以 . 8. 设,为正整数,求.解： ,所以.四、证明题1. 设为阶可逆阵，.证明的伴随阵.2. 若，都是阶非零矩阵，且.证明和都是不可逆的.3. 设为阶方阵，如果存在正整数，使得，证明可逆，并求逆。答案：1. 证：根据伴随矩阵的性质有又，所以，再由于可逆，便有.2. 证：假设可逆，即存在，以左乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾；类似的，若可逆，即存在，以右乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾，因此，和都是不可逆的.3. 证： 所以，可逆，并且.
