湖北省武汉市2023届高三5月模拟训练数学试卷（武汉5调）含答案.pdf

武 汉 市 2 0 2 3 届 高 三 年 级 五 月 模 拟 训 练 试 题数 学 试 卷2023.5.24本试 题卷 共 5 页，22 题，全卷 满分 150 分。考试 用时 120 分钟。祝考 试顺 利注意 事项：1.答题 前，考生 务必 用黑色 碳素 笔将自 己的姓 名、准考 证号，考场 号、座位 号填写在 答题 卡上，并认 真核准 条形码 上的 准考证 号、姓名、考场 号、座 位号及 科目，在规 定的位 置贴 好条形 码。2.回答 选择 题时，选出 每小 题答案 后，用铅 笔把 答题卡 上对 应题目 的答案 标号 涂黑。如需 改动，用橡 皮擦干 净，再 选涂 其它答 案标 号。回 答非 选择题 时，将 答案写 在答 题卡上。写 在本试 卷上无 效。3.考试 结束 后，将 本试 卷和答 题卡一 并交 回。一、选择 题：本题 共 8 小题，每小 题 5 分，共 40 分。在每 小题 给出的 四个 选项中，只有 一项是 符合 题目要 求的。1.设 集 合 1,A y y x x R，e,xB y y x R，则 A B RA.0,B.1,C.0,1 D.,1 2.设 复 数 z 满 足11zz为 纯 虚 数，则 z A.1 B.2 C.3 D.23.已 知 p：1 a b，q：2 a b，则 p 是 q 的A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件4.已 知 1,2 a，b为 单 位 向 量，若 0 a b a b，则 b A.5 2 5,5 5 B.5 2 5,5 5 C.5 2 5,5 5 D.5 2 5,5 5 5.函 数 s i ne ex xxf x的 部 分 图 象 可 能 为A.B.C.D.6.将 1,2,n 按 照 某 种 顺 序 排 成 一 列 得 到 数 列 na，对 任 意 1 i j n，如 果i ja a，那 么 称 数 对,i ja a 构 成 数 列 na 的 一 个 逆 序 对.若 4 n，则 恰 有 2 个 逆 序 对 的 数 列 na 的个 数 为A.4 B.5 C.6 D.77.已 知 点 M，N 是 抛 物 线：22 0 y p x p 和 动 圆 C：2 221 3 0 x y r r 的两 个 公 共 点，点 F 是 的 焦 点，当 M N 是 圆 C 的 直 径 时，直 线 M N 的 斜 率 为 2，则 当 r 变 化时，r M F 的 最 小 值 为A.3 B.4 C.5 D.68.已 知 l n 1.0 1l n l n 1.0 11.0 1 l n 1.0 1 a，s i n l n 1 c o s 1.0 1 b，l n s i n 1.01 1e c，则 a，b，c 的 大 小 关 系 为A.a b c B.b a c C.c b a D.c a b 二、选择 题：本题 共 4 小题，每小 题 5 分，共 20 分。在每 小题 给出的 四个 选项中，有多 项符合 题目 要求，全部选 对的 得 5 分，部分 选对的 得 2 分，有选 错的得 0 分。9.已 知 圆 C：2 21 x y，直 线 l：1 y x，则A.直 线 l 在 y 轴 上 的 截 距 为 1 B.直 线 l 的 倾 斜 角 为4C.直 线 l 与 圆 C 有 2 个 交 点 D.圆 C 上 的 点 到 直 线 l 的 最 大 距 离 为 21 0.在 去 年 的 足 球 联 赛 上，甲 队 每 场 比 赛 平 均 失 球 数 是 1.5，方 差 为 1.1；乙 队 每 场 比 赛 平 均失 球 数 是 2.1，方 差 是 0.4，下 列 说 法 正 确 的 有A.平 均 来 说 甲 队 比 乙 队 防 守 技 术 好 B.乙 队 比 甲 队 的 防 守 技 术 更 稳 定C.每 轮 比 赛 甲 队 的 失 球 数 一 定 比 乙 队 少 D.乙 队 可 能 有 一 半 的 场 次 不 失 球1 1.已 知 函 数 2s i n s i n s i n3 3 3nf x x x x，其 中 0，*N n，则A.若 f x 存 在 最 小 正 周 期 T 且 T，则 2 B.若 2，则 f x 存 在 最 小 正 周 期 T 且 T C.若 3 n，2，则 12 13g x f x x 的 所 有 零 点 之 和 为 2D.若 3 n，2，则 3exf xg x 在 0,上 恰 有 2 个 极 值 点1 2.在 A B C 中，1 2 0 A B C，2 A B B C，点 D 满 足 0 C D D A，将 A B D 沿 直 线 B D 翻 折 到 P B D 位 置，则A.若 2，则396B D B.异 面 直 线 P C 和 B D 夹 角 的 最 大 值 为2C.三 棱 锥 P B C D 体 积 的 最 大 值 为33D.点 到 平 面 B C D 距 离 的 最 大 值 为 2三、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。1 3.在 422 x x 的 展 开 式 中，含5x 项 的 系 数 为 _ _ _ _ _ _ _.1 4.如 图，一 个 水 平 放 置 在 桌 面 上 的 无 盖 正 方 体 容 器1 1 1 1A B C D A B C D，4 A B，容 器 内装 有 高 度 为 h 的 水，现 将 容 器 绕 着 棱1 1A B 所 在 直 线 顺 时 针 旋 转 4 5，容 器 中 溢 出 的 水 刚 好 装满 一 个 半 径 为36的 半 球 形 容 器，不 考 虑 容 器 厚 度 以 及 其 它 因 素 影 响，则 h _ _ _ _ _ _ _.1 5.设 样 本 空 间,a b c d 含 有 等 可 能 的 样 本 点，且,A a b，,B a c，,C a d，则 A，B，C 三 个 事 件 _ _ _ _ _ _ _ _（填“是”或“不 是”）两 两 独 立，且 P A B CP A P B P C _ _ _ _ _ _ _ _.（第 1 个 空 2 分，第 2 个 空 3 分）1 6.已 知 椭 圆 C：2 22 21 0 x ya ba b，点 A，B 分 别 为 椭 圆 C 的 左 右 顶 点，点 F 为 椭 圆C 的 右 焦 点，为 椭 圆 上 一 点，且 P F 垂 直 于 x 轴.过 原 点 作 直 线 P A 的 垂 线，垂 足 为 M，过原 点 作 直 线 P B 的 垂 线，垂 足 为 N，记1S，2S 分 别 为 M O N，P A B 的 面 积.若21409SS，则 椭 圆 C 的 离 心 率 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _.四、解答 题：共 70 分。解答 应写出 文字 说明、证明过 程或 演算步 骤.1 7.（1 0 分）已 知 各 项 均 不 为 零 的 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS，11 a，*12n n nS a a n N.（1）求 na 的 通 项 公 式；（2）若 2 0 2 3kS 恒 成 立，求 正 整 数 k 的 最 大 值.1 8.（1 2 分）A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，且1 13 2A C A B A B B C B C C A.（1）求 角 A；（2）若 2 b，求 A B C 的 面 积.1 9.（1 2 分）如 图，在 四 棱 锥 P A B C D 中，底 面 A B C D 为 正 方 形，P A 平 面 A B C D，2 P A A B，为 线 段 P B 的 中 点，F 为 线 段 B C 上 的 动 点.（1）求 证：平 面 A E F 平 面 P B C；（2）求 平 面 A E F 与 平 面 P D C 夹 角 的 最 小 值.2 0.（1 2 分）2 0 2 3 年 5 月 1 0 日 长 征 七 号 火 箭 剑 指 苍 穹，搭 载 天 舟 六 号 货 运 飞 船 为 中 国 空 间 站 运 送 补 给 物资，为 中 国 空 间 站 的 航 天 员 们 长 时 间 探 索 宇 宙 奥 秘 提 供 强 有 力 的 后 援 支 持.某 校 部 分 学 生 十分 关 注 中 国 空 间 站 的 发 展，若 将 累 计 关 注 中 国 空 间 站 发 展 的 消 息 达 到 6 次 及 以 上 者 称 为“航天 达 人”，未 达 到 6 次 者 称 为“非 航 天 达 人”.现 从 该 校 随 机 抽 取 5 0 人 进 行 分 析，得 到 数 据 如表 所 示：航 天 达 人 非 航 天 达 人 合 计男 2 0 2 6女 1 4合 计（1）补 全 2 2 列 联 表，根 据 小 概 率 值 0.0 1 0 的 独 立 性 检 验，能 否 认 为“航 天 达 人”与 性别 有 关 联?（2）现 从 抽 取 的“航 天 达 人”中，按 性 别 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 6 人，然 后 从 这 6 人 中 随机 抽 取 3 人，记 这 3 人 中 女“航 天 达 人”的 人 数 为 X，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.附：22n ad bca b c d a c b d 0.1 0 0 0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 5 0.0 0 12.7 0 6 3.8 4 1 6.6 3 5 7.8 7 9 1 0.8 2 82 1.（1 2 分）新 郦 已 知 双 曲 线1C：2 22 21x ya b 的 一 条 渐 近 线 为12y x，椭 圆2C：2 22 21x ya b 的 长 轴长 为 4，其 中 0 a b.过 点 2,1 P 的 动 直 线1l 交1C 于 A，B 两 点，过 点 的 动 直 线2l 交2C于 M，N 两 点.（1）求 双 曲 线1C 和 椭 圆2C 的 方 程；（2）是 否 存 在 定 点 Q，使 得 四 条 直 线 Q A，Q B，Q M，Q N 的 斜 率 之 和 为 定 值?若 存 在，求 出点 Q 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由.2 2.（1 2 分）已 知 l nbf x a x c xx，其 中,a b c R.（1）若 0 b c，讨 论 f x 的 单 调 性；（2）已 知1x，2x 是 f x 的 两 个 零 点，且1 2x x，证 明：2 1 1 21 1 x a x b x a x.武 汉 市 2 0 2 3 届 高 三 年 级 五 月 模 拟 训 练 试 题数 学 试 卷 参 考 答 案 及 评 分 标 准选择 题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2答 案 C A D D A B B A A B C A B A D B D填空 题：1 3.3 2 1 4.941 5.是；2 1 6.63解答 题：1 7.（1 0 分）解：（1）当 1 n 时，1 1 22 a a a，即22 a.当 2 n 时，1 12n n nS a a.所 以 1 12n n n na a a a.因 为 数 列 na 中 各 项 均 不 为 零，即1 12n na a.所 以 数 列 na 中 奇 数 项 是 以1a 为 首 项，2 为 公 差 的 等 差 数 列；偶 数 项 是 以2a 为 首 项，2 为 公 差 的 等 差 数 列.当 2 n k 时，2 21 2 2ka a k k，即na n；当 2 1 n k 时，2 1 11 2 2 1ka a k k，即na n.综 上，数 列 na 的 通 项 公 式 为na n（2）由（1）知 数 列 na 是 以 1 为 首 项，1 为 公 差 的 等 差 数 列，即 易 知 12nn nS.因 为 2 0 2 3kS，所 以 1 4 0 4 6 k k，当 6 3 k 时，不 等 式 恒 成 立；当 6 4 k 时，2 0 2 3kS.故 正 整 数 k 的 最 大 值 为 6 3.1 8.（1 2 分）解：（1）在 A B C 中 有1 13 2A C A B A B B C B C C A.即1 1c o s c o s c o s3 2b c A a c B a b C.因 为1c os c os3bc A ac B，由 正 弦 定 理 可 得1s i n c o s s i n c o s3B A A B，即t a n 3 t a n A B.同 理3t a n t a n2C B.在 A B C 中 有 t a n t a nt a n t a n t a nt a n t a n 1B CA B C B CB C.解 得 t a n 1 A，1t a n3B，1t a n2C.由 0 A，得：34A.（2）A B C 面 积1s i n2S bc A，代 入34A，2 b，整 理 得：22S c.由（1）知1t a n3B，1t a n2C，即10s i n10B，5s i n5C.A B C 中 由 正 弦 定 理 可 得s i n s i nb cB C，即 2 2 c.所 以22 2 22S.1 9.（1 2 分）解：（1）P A B 中 P A A B，E 为 P B 的 中 点，所 以 A E P B.在 正 方 形 A B C D 中，B C A B.因 为 P A 平 面 A B C D，B C 平 面 A B C D，即 P A B C.又 因 为 P A A B A，,P A A B 平 面 P A B，所 以 B C 平 面 P A B.A E 平 面 P A B，即 A E B C，又 因 为 A E P B，P B B C B，,P B B C 平 面 P B C.所 以 A E 平 面 P B C，A E 平 面 A E F，即 平 面 A E F 平 面 P B C.（2）因 为 P A 平 面 A B C D，底 面 A B C D 是 正 方 形，所 以 易 知 A B，A D，A P 两 两 垂 直.以 A 为 原 点，A B，A D，A P 所 在 直 线 分 别 为 x 轴、y 轴、z 轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐标 系.有 0,0,0 A，2,0,0 B，2,2,0 C，0,2,0 D，0,0,2 P，P B 中 点 1,0,1 E，设 2,0 F，0 2.0,2,2 P D，2,0,0 D C，1,0,1 A E，2,0 A F.设 平 面 P C D 的 法 向 量,m x y z，由00m P Dm D C，得2 2 02 0y zx，取 0,1,1 m.设 平 面 A E F 的 法 向 量,n a b c，由00n A En A F，得02 0 x zx y，取,2,n.所 以 平 面 A E F 与 平 面 P C D 的 夹 角 的 余 弦 值 为2 22 2c os,2 2 4 2 2m n.令 2 t，2,4 t，则2 221 1c os,6 42 4 61 1 12 12 63 3tm nt tt tt，所 以 当1 13 t 即 3 t 时，平 面 A E F 与 平 面 P C D 的 夹 角 的 余 弦 值 取 得 最 大 值32，此 时 平 面 A E F 与 平 面 P C D 的 夹 角 取 得 最 小 值6.2 0.（1 2 分）解：（1）补 全 2 2 列 联 表 如 下 表：航 天 达 人 非 航 天 达 人 合 计男 2 0 6 2 6女 1 0 1 4 2 4合 计 3 0 2 0 5 0零 假 设0H：假 设“航 天 达 人”与 性 别 无 关.根 据 表 中 的 数 据 计 算 得 到 2250 20 14 6030256.46430 20 26 24 468.查 表 可 知0.0 1 06.4 6 4 6.6 3 5.所 以 根 据 小 概 率 值 0.0 1 0 的2 独 立 性 检 验，没 有 充 分 证 据 推 断0H 不 成 立，因 此 可 以 认为0H 成 立，因 此“航 天 达 人”与 性 别 无 关.（2）在“航 天 达 人”中 按 性 别 分 层 抽 样 抽 取，男 航 天 达 人 有2 06 43 0（人），女 航 天 达 人 有2 人.X 所 有 可 能 取 值 为：0，1，2.则 3436105CP XC，2 14 236315C CP XC，1 24 236125C CP XC.所 以 X 的 分 布 列 如 下：X0 1 2P 153515X 的 数 学 期 望 为 1 3 10 1 2 15 5 5E X.2 1.（1 2 分）解：（1）已 知 双 曲 线 渐 近 线 为by xa，即12ba.因 为 椭 圆2C 的 长 轴 长 2 4 a，即 2 a，1 b.所 以 双 曲 线1C 的 方 程 为：2214xy.椭 圆2C 的 方 程 为：2214xy.（2）当 直 线1l、2l 的 斜 率 不 存 在 时，不 满 足 题 意.故 直 线1l 的 方 程 设 为：y k x m，直 线1l 过 点 2,1 P，即 2 1 k m.与 双 曲 线 方 程 联 立2214y k x mxy，得 2 2 21 4 8 4 4 0 k x k m x m.故21 4 0 k，2 2 2 26 4 1 6 1 1 4 0 k m m k.设 1 1,A x y，2 2,B x y，有1 2 281 4k mx xk，21 2 24 41 4mx xk.设 0 0,Q x y.0 1 0 2 0 2 0 1 0 1 0 220 1 0 2 0 0 1 2 1 2Q A Q By k x m x x y k x m x x y y y yk kx x x x x x x x x x.化 简 得 0 0 0 0 1 2 1 2 020 0 1 2 1 22 2 2Q A Q Bx y k x y m x x k x x m xk kx x x x x x.代 入 韦 达 定 理 得：2 2 20 0 0 0 02 2 20 02 1 4 8 8 8 2 1 41 4 8 4 4Q A Q Bx y k k m k x y m k m k m x kk kk x k m x m.将 2 1 k m 代 入 其 中 消 去 m 化 简 得：20 0 0 0 0 0 0 02 2 20 0 0 016 8 4 8 8 2 216 16 4 16 8 8Q A Q By x y k x y k x y xk kx x k x k x.由 动 直 线1l、2l 互 不 影 响 可 知，要 满 足Q A Q B Q M Q Nk k k k 为 定 值，则Q A Q Bk k 为 定 值，Q M Q Nk k 为 定 值.因 此 要 满 足Q A Q Bk k 为 定 值，则 有：若0 0 01 6 8 0 y x y，20 016 16 4 0 x x，计 算 得02 x，00 y.经 检 验 满 足 2,0 Q，此 时 1Q A Q Bk k.若0 0 01 6 8 0 y x y，即00 y，02 x，有0 0 0 0 0 0 0 02 20 0 0 016 8 4 8 8 2 216 16 4 16 8 8y x y x y x y xx x x x.无 解.综 上，当 2,0 Q，1Q A Q Bk k.下 面 只 需 验 证 当 2,0 Q 时，Q M Q Nk k 是 否 为 定 值.设 直 线2l 方 程 为：y t x n，直 线2l 过 点 2,1 P，即 2 1 t n.椭 圆 方 程 联 立2214y t x nxy，得 2 2 21 4 8 t n 4 4 0 t x x n.故 0.设 3 3,M x y，4 4,N x y，有3 4 281 4t nx xt，23 4 24 41 4nx xt.3 4 4 3 3 43 4 3 4 3 42 22 2 4 2Q M Q Nt x n x t x n x y yk kx x x x x x.化 简 得 3 4 3 43 4 3 42(2)44 2Q M Q Nt x x n t x x nk kx x x x.代 入 韦 达 定 理 化 简 可 得：2 28 44 16 16Q M Q Nt nk kn t t n.将 2 1 t n 代 入 其 中 可 得：1Q M Q Nk k.所 以 当 2,0 Q，1Q A Q Bk k，1Q M Q Nk k，0Q A Q B Q M Q Nk k k k.所 以 点 Q 坐 标 为 2,0.2 2.（1 2 分）解：（1）若 0 b c，即 l n 0 f x a x x x.1 1 a xf x ax x.若 0 a，则 0 f x，即 f x 在 0,单 调 递 减；若 0 a，令 0 f x 有1xa，即 f x 在10,a 上 单 调 递 减，1,a 上 单 调 递 增.综 上 有，当 0 a，f x 在 0,单 调 递 减.当 0 a，f x 在10,a 上 单 调 递 减，1,a 上 单 调 递 增.（2）由 题 意 知：已 知1x，2x 是 f x 的 两 个 零 点，1 2x x.即1 11l n 0bax c xx，2 22l n 0bax c xx.所 以 1 2 2 11 21 1l n l n 0 a x x b x xx x，即2 11 2 1 22 1l n l n x xb ax x x xx x.要 证：2 1 1 21 1 x a x b x a x.只 需 证：1 2 2 1 2 1a x x x b a x x x.即 证：2 12 1 2 12 1l n l n x xx x x xx x.即 证：1 2 22 1 11 l n 1x x xx x x，令211xtx.即 证：11 l n 1 t tt.令 1l n 1 1 p t t tt，有 2 21 1 10tp tt t t.即 p t 在 1,上 单 调 递 增，则 1 0 p t p，即1l n 1 tt.设 l n 1 1 p t t t t，有 11 0 p tt.所 以 p t 在 1,上 单 调 递 减，则 1 0 p t p，即 l n 1 t t 综 上 可 得：2 1 1 21 1 x a x b x a x.