中考数学必刷压轴题专题：抛物线之等腰三角形+.docx

中考数学抛物线压轴题之等腰三角形1已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由2如图，抛物线y=ax2+bx3（a0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=x+1与y轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）证明：DBOEBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由3如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由4如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当PQB为等腰三角形时，求m的值5如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n（mn）分别是方程x22x3=0的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD当OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标6如图，已知二次函数L1：y=ax22ax+a+3（a0）和二次函数L2：y=a（x+1）2+1（a0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F（1）函数y=ax22ax+a+3（a0）的最小值为 ，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 （2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当AMN为等腰三角形时，求方程a（x+1）2+1=0的解7在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2（m+n）x+mn（mn）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，1），求ACB的大小；（3）若m=2，ABC是等腰三角形，求n的值8如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由（3）当P，Q运动到t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标9如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（2，0），（6，8）（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形10如图，已知抛物线y=x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由11在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BEDB交x轴于点E（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；（2）将DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使PFE为等腰三角形，求Q点的坐标12如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A（0，2）（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1x2）两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标13如图1，抛物线y=ax2+bx1经过A（1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：OBDABC（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求POD的面积（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标14如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标15如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx4（a0）的图象与x轴交于A（2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m0，n0），连结PB，PD，BD，求BDP面积的最大值及此时点P的坐标16如图，抛物线y=ax2+bx+c经过ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上（1）求该抛物线的函数关系表达式（2）点F为线段AC上一动点，过F作FEx轴，FGy轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由17如图1，抛物线y=x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：t为何值时MAN为等腰三角形；t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少18如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PNBC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由19如图1，抛物线y+2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点H，与AC相交于点T（1）点P是线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQAC交抛物线的对称轴于点Q，当AQH面积最大时，点M、N在y轴上（点M在点N的上方），MN，点G在直线AC上，求PM+NG+GA的最小值（2）点E为BC中点，EFx轴于F，连接EH，将EFH沿EH翻折得EF'H，如图所示，再将EF'H沿直线BC平移，记平移中的EF'H为E'FH'，在平移过程中，直线E'H'与x轴交于点R，则是否存在这样的点R，使得RF'H'为等腰三角形？若存在，求出R点坐标20如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x4交x轴于A、B两点，交y轴于点C（1）点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，一动点G从点P出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y轴上一点M，再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x轴上的点N，再沿x轴以每秒个单位长度运动到点B当四边形ACPB面积最大时，求运动时间t的最小值；（2）过点C作AC的垂线交x轴于点D，将AOC绕点O旋转，旋转后点A、C的对应点分别为A1、C1，在旋转过程中直线A1C1与x轴交于点Q与线段CD交于点I当DQI是等腰三角形时，直接写出DQ的长度1.抛物线的解析式：y=x2+2x+3（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；点A、B关于直线l对称，PA=PB，BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b（k0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：直线BC的函数关系式y=x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）（3）抛物线的对称轴为：x=1，设M（1，m），已知A（1，0）、C（0，3），则：MA2=m2+4，MC2=（3m）2+1=m26m+10，AC2=10；若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m26m+10，得：m=1；若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；若MC=AC，则MC2=AC2，得：m26m+10=10，得：m1=0，m2=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，）（1，1）（1，0）方法二：（1）A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），y=（x+1）（x3），即y=x2+2x+3（2）连接BC，l为对称轴，PB=PA，C，B，P三点共线时，PAC周长最小，把x=1代入lBC：y=x+3，得P（1，2）（3）设M（1，t），A（1，0），C（0，3），MAC为等腰三角形，MA=MC，MA=AC，MC=AC，（1+1）2+（t0）2=（10）2+（t3）2，t=1，（1+1）2+（t0）2=（10）2+（03）2，t=±，（10）2+（t3）2=（10）2+（03）2，t1=6，t2=0，经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，），M3（1，1），M4（1，0）（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HGAO，垂足为G，AHG+GHO=90°，AHG+GAH=90°，GHO=GAH，GHOGAH，HG2=GOGA，A（1，0），C（0，3），lAC：y=3x+3，H（，），H为OO的中点，O（，），D（1，4），lOD：y=x+，lAC：y=3x+3，x=，y=，Q（，）2.（1）抛物线解析式为y=x22x3，（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x22x3=（x1）24，E（1，4），B（3，0），A（1，0），C（0，3），BC=3，BE=2，CE=，直线y=x+1与y轴交于点D，D（0，1），B（3，0），OD=1，OB=3，BD=，BCEBDO，（3）存在，理由：设P（1，m），B（3，0），C（0，3），BC=3，PB=，PC=，PBC是等腰三角形，当PB=PC时，=，m=1，P（1，1），当PB=BC时，3=，m=±，P（1，）或P（1，），当PC=BC时，3=，m=3±，P（1，3+）或P（1，3），符合条件的P点坐标为P（1，1）或P（1，）或P（1，）或P（1，3+）或P（1，3）3（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90°，AOB=120°，BOC=60°，又OA=OB=4，OC=OB=×4=2，BC=OBsin60°=4×=2，点B的坐标为（2，2）；（2）此抛物线的解析式为y=x2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在RtPOD中，PDO=90°，sinPOD=，POD=60°，POB=POD+AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为（2，2）若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2）方法二：（3）设P（2，t），O（0，0），B（2，2），POB为等腰三角形，PO=PB，PO=OB，PB=OB，（20）2+（t0）2=（2+2）2+（t+2）2，t=2，（20）2+（t0）2=（0+2）2+（0+2）2，t=2或2，当t=2时，P（2，2），O（0，0）B（2，2）三点共线故舍去，（2+2）2+（t+2）2=（0+2）2+（0+2）2，t=2，符合条件的点P只有一个，P（2，2）（4）点B，点P关于y轴对称，点M在y轴上，设M（0，m），M为OBF的外接圆，MO=MB，（00）2+（m0）2=（0+2）2+（m+2）2，m=，M（0，）4（1）该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），该抛物线的解析式可设为y=a（x0）（x5）=ax（x5）点B（4，4）在该抛物线上，a×4×（45）=4a=1该抛物线的解析式为y=x（x5）=x2+5x（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大当0x4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示 B（4，4），易知直线OB的解析式为：y=x设M（x，x2+5x），过点M作MEy轴，交OB于点E，则E（x，x），ME=（x2+5x）x=x2+4xSOBM=SMEO+SMEB=ME（xE0）+ME（xBxE）=MExB=ME×4=2ME，SOBM=2x2+8x=2（x2）2+8当x=2时，SOBM最大值为8，即四边形的面积最大当4x5时，点M在抛物线AB段上时，图略可求得直线AB解析式为：y=4x+20设M（x，x2+5x），过点M作MEy轴，交AB于点E，则E（x，4x+20），ME=（x2+5x）（4x+20）=x2+9x20SABM=SMEB+SMEA=ME（xExB）+ME（xAxE）=ME（xAxB）=ME×1=ME，SABM=x2+x10=（x）2+当x=时，SABM最大值为，即四边形的面积最大比较可知，当x=2时，四边形面积最大当x=2时，y=x2+5x=6，M（2，6）（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上设P（m，m2+5m），则Q（m，m）当PQB为等腰三角形时，若点B为顶点，即BP=BQ，如答图21所示过点B作BEPQ于点E，则点E为线段PQ中点，E（m，）BEx轴，B（4，4），=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）m=2；若点P为顶点，即PQ=PB，如答图22所示易知BOA=45°，PQB=45°，则PQB为等腰直角三角形PBx轴，m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）m=1；若点Q为顶点，即QP=QB，如答图23所示P（m，m2+5m），Q（m，m），PQ=m2+4m又QB=（xBxQ）=（4m），m2+4m=（4m），解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），m=综上所述，当PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或5（1）（2）设直线AB的解析式为y=kx+b解得：，直线AB的解析式为C点坐标为（0，）直线OB过点O（0，0），B（3，3），直线OB的解析式为y=xOPC为等腰三角形，OC=OP或OP=PC或OC=PC设P（x，x），（i）当OC=OP时，解得，（舍去）P1（，）（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，P2（，）（iii）当OC=PC时，由，解得，x2=0（舍去）P3（，）P点坐标为P1（，）或P2（，）或P3（，）过点D作DGx轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BHx轴，垂足为H设Q（x，x），D（x，）SBOD=SODQ+SBDQ=DQOG+DQGH，=DQ（OG+GH），=，=，0x3，当时，S取得最大值为，此时D（，）方法二：（1）略（2）由A（1，1），B（3，3）得lAB：y=x，C（0，），lOB：y=x，设P（t，t），O（0，0），C（0，），OPC为等腰三角形，OP=OC，OP=PC，PC=OC，（t0）2+（t0）2=（00）2+（0+）2，t1=，t2=（舍），（00）2+（0+）2=（t0）2+（t+）2，t1=，t2=0（舍），（t0）2+（t0）2=（t0）2+（t+）2，t=，P点坐标为P1（，）或P2（，）或P3（，）过D作x轴垂线交OB于Q，B（3，3），lOB：y=x，设D（t，t2+t），Q（t，t），SOBD=（DYQY）（BXOX），SOBD=（t2+t+t）（30）=t2+t，当t=时，S有最大值，D（，）（3）FAB是以AB为斜边的直角三角形，GOA+BOH=90°，BHOH，OBH+BOH=90°，GOA=OBH，GOAOBH，点F为x轴上一动点，设F（m，0），A（1，1），B（3，3），m22m=0，m=0或2，F1（0，0），F2（2，0）6（1）二次函数L1：y=ax22ax+a+3=a（x1）2+3，顶点M坐标为（1，3），a0，函数y=ax22ax+a+3（a0）的最小值为3，二次函数L1的对称轴为x=1，当x1时，y随x的增大而减小；二次函数L2：y=a（x+1）2+1的对称轴为x=1，当x1时，y随x的增大而减小；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是1x1；故答案为：3，1x1（2）由二次函数L1：y=ax22ax+a+3可知E（0，a+3），由二次函数L2：y=a（x+1）2+1=a2x2axa+1可知F（0，a+1），M（1，3），N（1，1），EF=MN=2，a+3（a+1）=2，a=1，作MGy轴于G，则MG=1，作NHy轴于H，则NH=1，MG=NH=1，EG=a+33=a，FH=1（a+1）=a，EG=FH，在EMG和FNH中，EMGFNH（SAS），MEF=NFE，EM=NF，EMNF，四边形ENFM是平行四边形；EF=MN，四边形ENFM是矩形；（3）由AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：如图2，当MN=NA=2时，过点N作NDx轴，垂足为点D，则有ND=1，DA=m（1）=m+1，在RtNDA中，NA2=DA2+ND2，即（2）2=（m+1）2+12，m1=1，m2=1（不合题意，舍去），A（1，0）由抛物线y=a（x+1）2+1（a0）的对称轴为x=1，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）方程a（x+1）2+1=0的解为x1=1，x2=1如图3，当MA=NA时，过点M作MGx轴，垂足为G，则有OG=1，MG=3，GA=|m1|，在RtMGA中，MA2=MG2+GA2，即MA2=32+（m1）2，又NA2=（m+1）2+12，（m+1）2+12=32+（m1）2，m=2，A（2，0），则抛物线y=a（x+1）2+1（a0）的左交点坐标为（4，0），方程a（x+1）2+1=0的解为x1=2，x2=4当MN=MA时，32+（m1）2=（2）2，m无实数解，舍去综上所述，当AMN为等腰三角形时，方程a（x+1）2=0的解为x1=1，x2=1或x1=2，x2=47方法一：（1）y=x2（m+n）x+mn=（xm）（xn），x=m或x=n时，y都为0，mn，且点A位于点B的右侧，A（m，0），B（n，0）m=2，n=1，A（2，0），B（1，0）（2）抛物线y=x2（m+n）x+mn（mn）过C（0，1），1=mn，n=，B（n，0），B（，0）AO=m，BO=，CO=1 AC=， BC=， AB=AO+BO=m+，（m+）2=（）2+（）2，AB2=AC2+BC2，ACB=90°（3）A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，A（2，0），B（n，0），C（0，2n）AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，AC=， BC=|n|， AB=xAxB=2n当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=2；当AC=AB时，=2n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=；当BC=AB时，|n|=2n，当n0时，n=2n，解得n=，当n0时，n=2n，解得n=综上所述，n=2，时，ABC是等腰三角形方法二：（1）略（2）C点的坐标是（0，1），mn=1，设A（m，0），B（，0），即，AOC=CBO=90°，AOCCOB，ACO=CBO，ACB=90°（3）m=2，mn=2n，C（0，2n），B（n，0），A（2，0）ABC是等腰三角形，AB=AC，AB=BC，AC=BC，（n2）2+（00）2=（20）2+（02n）2，n1=0，n2=，（n2）2+（00）2=（n0）2+（02n）2，n1=，n2=，（20）2+（02n）2=（n0）2+（02n）2，n1=2，n2=2，经检验n=0，n=2（舍）当n=2，时，ABC是等腰三角形（4）过点A作BC的平行下交抛物线于点D，m=2，n=，A（2，0），B（，0），ADBC，KAD=KBC=2，又A（2，0），解得x1=2（舍），x2=，D1（，），过点B作AC的平行线交抛物线于点D，BDAC，KBD=KAC=，又B（，0），解得：x1=（舍），x2=，D2（，9），8（1）y=x2x4C（0，4）（2）存在如图1，过点Q作QDOA于D，此时QDOC， A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0），AB=4，OA=3，OC=4，AC=5，当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，AQ=4QDOC，QD=，AD=作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=ADAE=|x|，在RtEDQ中，（x）2+（）2=x2，解得 x=，OAAE=3=，E（，0），说明点E在x轴的负半轴上；以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，ED=AD=，AE=，OAAE=3=，E（，0）当AE=AQ=4时，1当E在A点左边时，OAAE=34=1，E（1，0）2当E在A点右边时，OA+AE=3+4=7，E（7，0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（，）理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQAP于F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形AQDP为菱形，FQOC，AF=，FQ=，Q（3，），DQ=AP=t，D（3t，），D在二次函数y=x2x4上，=（3t）2（3t）4，t=，或t=0（与A重合，舍去），D（，）方法二：（1）略（2）点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动过点Q作x轴垂线，垂足为HA（3，0），C（0，4），lAC：y=x4，点P运动到B点时，点Q停止运动，AP=AQ=4，QH=，Qy=，代入LAC：y=x4得，Qx=，则Q（，），点E在x轴上，设E（a，0），A（3，0），Q（，），AEQ为等腰三角形，AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，（a3）2=（a）2+（0+）2，a=，（a3）2=（3）2+（0+）2，a1=7，a2=1，（a）2+（0+）2=（3）2+（0+）2，a1=，a2=3（舍）点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）（3）P，Q运动到t秒，设P（3t，0），Q（3t，t），KPQ=，KPQ=2，ADPQ，KPQKAD=1，KAD=，A（3，0），lAD：y=x，y=，x1=3（舍），x2=，D（，），DY=QY，即t=，t=，DQAP，DQ=AQ=AP，此时四边形APDQ的形状为菱形9（1）抛物线解析式为y=x23x8，y=x23x8=（x3）2，抛物线对称轴为直线x=3，又抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（2，0），点B坐标（8，0）设直线l的解析式为y=kx，经过点D（6，8），6k=8，k=，直线l的解析式为y=x，点E为直线l与抛物线的交点，点E的横坐标为3，纵坐标为×3=4，点E坐标（3，4）（2）抛物线上存在点F使得FOEFCE，此时点F纵坐标为4，x23x8=4，x26x8=0，x=3，点F坐标（3+，4）或（3，4）（3）如图1中，当OP=OQ时，OPQ是等腰三角形点E坐标（3，4），OE=5，过点E作直线MEPB，交y轴于点M，交x轴于点H则=，OM=OE=5，点M坐标（0，5）设直线ME的解析式为y=k1x5，3k15=4，k1=，直线ME解析式为y=x5，令y=0，得x5=0，解得x=15，点H坐标（15，0），MHPB，=，即=，m=，如图2中，当QO=QP时，POQ是等腰三角形当x=0时，y=x23x8=8，点C坐标（0，8），CE=5，OE=CE，1=2，QO=QP，1=3，2=3，CEPB，设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x8，3k28=4，k2=，直线CE解析式为y=x8，令y=0，得x8=0，x=6，点N坐标（6，0），CNPB，=，=，m=综上所述，当m=或时，OPQ是等腰三角形10（1）y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+，对称轴方程为：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，直线BC的解析式为：y=x+4（3）可判定AOCCOB成立理由如下：在AOC与COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90°，AOCCOB（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC=，AQ=，CQ=i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=5，此方程无实数根，此时ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4±，点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4）综上所述，存在点Q，使ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）方法二：（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，Q（3，t），A（2，0），C（0，4），ACQ为等腰三角形，AC=AQ，AC=CQ，AQ=CQ，（20）2+（04）2=（3+2）2+（t0）2，无解，（20）2+（04）2=（30）2+（t4）2，t=4±，（3+2）2+（t0）2=（30）2+（t4）2，t=0，综上所述，存在点Q，使ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）11（1）BEDB交x轴于点E，OABC是正方形，DBC=EBA在BCD与BAE中，BCDBAE（ASA），AE=CDOABC是正方形，OA=4，D是OC的中点，A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），E（6，0）设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则有：经过点D、B、E的抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）结论OF=DG