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联合波叠加法的全息理论与实验研究（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）联合波叠加法的全息理论与实验研究3李卫兵 陈 剑 毕传兴 陈心昭(合肥工业大学噪声振动工程研究所 , 合肥 230009 (2005年 3月 15日收到 ;2005年 8月 20日收到修改稿 当空间声场中同时存在多个相干声源时 , 运用常规近场声全息方法无法重建每个相干声源表面的声学信息 , 当然也无法预测每个声源单独产生的空间声场 , 相干声场的全息重建与预测已成为全息技术推广应用过程中亟待 解决的问题 . 在提出联合波叠加法并将其应用于空间声场变换的基础上 , 对其进行了实验研究 . 通过对实际相干声 场的全息重建与预测 , 验证了常规波叠加法在相干声场重建中的局限性 、 联合波叠加法在相干声场全息重建与预 测过程的可行性和准确性 , 还研究了 T ikhonov 正则化方法在抑制声学逆问题的非适定性中的有效性和滤波系数的 选择原则的可行性 , 以提高全息重建与预测的精度 .关键词 :近场声全息 , 联合波叠加 , 相干声场 , T PACC :4320, 43633国家自然科学基金 (批准号 :10504006 及教育部重点项目 (批准号 :02126 资助的课题 . E -mail :h f -lwb sina 11引言近场声全息技术作 为 声 学 逆 问 题 的 一 个 分 支1 3, 已经发展成为一种声源识别和声场辐射问题研究的有效技术 . 它只需测量声源附近全息面上 的复声压数据 , 就可以重建与预测整个三维空间的 声压场 、 质点振速及声强矢量场 , 因而对有效地进行 噪声源识别 、 控制和声辐射特性的研究具有重要意 义4 15.上世纪 80年代初 ,Williams 提出了基于空间声 场变换的近场声全息方法4 6; 但它只能重建平面 、柱面及球面等可分离变量的空间声场 , 因而在一定 程度上限制了其适用范围 . 为了克服这一缺点 , Veronesi 和 Maynard 在 1989年提了基于边界元法的近场声全息技术 ; 它可以分析具有任意表面形状的 内部和外部声辐射场 , 但在重建声源表面声场时存 在奇异积分和解的非唯一性问题7 12. 为了避免奇异积分问题 , K oopmann 等提出了波叠加技术 13,14.文献 15将其应用于单源声场的重建与预测 , 并且取得了很好的效果 .但实际声场通常存在多个声源 , 对于非相干声 源 , 可以采用常规波叠加法 ; 对于相干声源 , 由于常的标量声压 , 所以无法重建相干声场中单个相干声源表面的声学信息 , 也就无法预测单个相干声源所 辐射的空间声场 , 给噪声源辐射特性的分析及其控 制带来许多不便 , 所以相干声场的全息重建已经成 为全息技术推广过程中亟待解决的问题 . 由于辐射 声源之间的相互影响是十分微弱的 , 并且对于非理 论声源也无法了解它们之间的相互作用 , 所以本文 所研究的相干声场 , 都忽略了相干声源之间的相互 作用 , 大量的实验和仿真结果也表明这种处理是可 行的 .本文提出了联合波叠加法 , 并将其应用于相干 声场的全息重建与预测 . 它利用相干声场的可叠加 性 , 通过构造全息面与多个相干声源之间的联合声 压匹配矩阵 , 精确地重构出各个相干声源的表面声 学信息 , 进而分别预测每个相干声源的空间声场分 布 , 再叠加以获得整个相干声场的空间分布 , 从而实 现了相干声场中单个相干声源表面声学信息的重建 及其辐射声场的预测 . 详细地介绍了采用联含波叠 加法实现相干声场重建与预测的实验过程 , 并且采 用 T ikhonov 正则化方法来抑制声学逆问题中的非适 定性 , 以提高全息重建与预测的精度 ; 还对 T ikhonov 正则化方法中滤波系数的选择进行了探讨 , 得出了 一些重要的结论 .第 55卷 第 3期 2006年 3月 100023290200655(03 1264207物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol. 55,N o. 3,March ,20062006Chin. Phys. S oc.21联合波叠加法的基本理论2111基于常规波叠加法的声全息理论 理想流体媒质中 , 由表面法向振速已知的声源 产生的小振幅时间谐振声场 , 其在无限域中引起的外部声辐射问题可以 Helmholtz 方程描述为2p (r +k 2p (r =0,(1 式中 p (r 为点 r 上的复声压 ; k =c =2为声 波数 , c 为声速 , 为声波长 , 为角频率 .如图 1所示的声辐射外问题中 , S 为声源的闭 合表面 , 其外部区域为 E , 内部区域为 D . 现假设在 D 域中 , 所有的等效简单源连续分布在一虚构的闭 合曲面上 , 将该等效声源体记为 O , 则满足 (1 式的 空间声场中任意点 r 处的复声压可以用波叠加积 分公式表示为p (r =i o(r , (其微分形式为u (r =Oq (r o g (r , r o d O , (3式中 , r o 为 O 上的任意一点 , p (r 和 u (r 分别为点r 处的声压和振速矢量 , q (r o 为位于点 r o 处的等效简单源的源强 “ ” 为梯度运算符 .图 1 声源与声场各域之间的位置关系 等效源的连续分布无法实现计算 , 所以实际采 用的是在虚构曲面上放置若干个简单源来代替的办 法 , 设 N 为简单源的单个数 , 且表面 S 上有 M (M N 个边界结点 。 则针对这 M 个边界结点 , (2 , (3式表示成矩阵形式为P s =DQ ,(4U =EQ , (5式中 , P s =p (r s1 p (r s2 p (r s M T为声源表面声压列向量 ; U =u (r s1 u (r s2 u (r s M T, 为声源表 面边界结点处的法向振速列向量 ;Q =q (r o1 q (r o2 q (r o N T为等效源序列的源强列向量 ; D , E 分别为等效源序 列与声源表面之间的声压与法向振速匹配矩阵 , 且D mn =i ckg (r s m , r o n ,(6 E mn =9g (r s m , r o n 9n rs m, (7式中 , 99n r s 为曲面 S 在点 r s 处的外法向导数 。设全息面上有 M 个测量点 r h m , 则同样有P h =HQ ,(8式中 , P h 为等效源序列与 H i r h m , r o n .(9:由 (8 式求出等效源序列的源强列向量 Q , 将其代 入 (4 , (5 式中即可重建出声源表面 S 上的声压 P s 与法向振速 U , 实现声场的全息重建 ; 将其代入 (2 , (3 式中即可预测声场中任意场点处的声压p (r 与振速矢量 u (r , 实现声场的全息预测 .2121误差分析及正则化处理 假设全息面测量声压 P h 为其真实值 P h 和随 机误差 P he 之和 , 即P h =P h +P he . (10 为了更好地分析 P he 对 Q 的计算结果的影响 , 先对 H 做奇异值分解得H =V diag (1, 2, , N W H, (11 式中1 2 N 0,(12 v Hi v j =ij , w Hi w j =ij ,(13式中 , i 代表奇异值 ; v i 和 w i 分别是左 、 右奇异 矢量 .运用 (11 式 , 可得到Q =Ni =1 P i w i(14式中 , 表示求内积 。随着 i 的增大 , 奇异值 i 会越来越小 , 则 w i 的 权重系数增大 ; 从而使随机测量误差 P he 的影响被放大 . 所以必须采取相应的滤波措施来抑制 P he 对56213期 李卫兵等 : 联合波叠加法的全息理论与实验研究计算结果的影响 .正则化滤波的主要宗旨是抑制 (14 式中对重建 结果贡献小 , 而对误差非常敏感的较小奇异值的影响 . 通常采用的方法是对 (14 式中的每项加上滤波 因子 , 这样就有Q reg= Ni =1f i P h , v i i w i , (15式中 , f i 为滤波系数 , 滤波系数随着奇异值 i 的减 小而趋近于零 , 这样就削弱了其对误差的敏感性 .根据不同的滤波系数选择方法 , 正则化方法可 以分为好几种 . 其中 T ikhonov 正则化方法是应用比较多的一种有效方法 , 它的主要思想是使由 (15 式 求得的 Q reg 满足解的残余范数 HQ reg -P h 2和 解的范数 Q reg 2之间的联合加权达到最小 , 也就 是min Qreg HQ reg -P h 22+22,( 满足上式的 Q Q reg =i =122i +2P i w i , (17式中 >0为正则化滤波系数 , Q reg 只受 影响 . 且 (15 式中 f i =2i (2i +2.由 (17 式可以看出 , 滤波系数 的选取对正则 化结果有着非常关键的影响 . 的选择一般采用 L 曲线法则16.2131联合波叠加法 当空间声场为相干声场时 , 测量声压是多个相 干声源在全息面上产生的声压叠加 , 而现有的仪器 和设备是无法将每个声源各自产生的声压分离开来 的 . 对某个具体声源而言 , 测量声压既包含了该声源 自身在全息面上产生的声压 , 也包含了其余声源在 全息面上产生的声压 . 若仍然采用常规波叠加方法 来重建该声源的表面信息时 , 则其余声源在全息面 产生的声压会以噪声的形式叠加在该声源自己在全 息面上产生的声压上 . 而全息重建属于声学逆问题 , 测量数据的微小误差都会对重建结果产生很大影响 甚至是产生毫无意义的重建结果 , 所以无法通过常 规波叠加方法来实现相干声源表面声学信息的 重建 .为此 , 下面介绍联合波叠加方法的基本原理 . 假设空间声场中同时存在 K 个辐射源 , 每个辐射源在全息面上点 r h 处产生的复声压为 p k (r h , 则 根据相干声场的可叠加性知全息面上点 r h 处的测 量声压 p (r h 为p (r h = Kk =1pk(r h , (18则对全息面上的 M 个测量点 , 结合 (8 式可得P h = K k =1H kQk, (19式中 , H k 为第 k 个辐射源的等效源序列与全息面之 间的声压匹配矩阵 , Q k 为第 k 个辐射源的等效源序 列的源强列向量 .将各个相干源的 H k 及其对应 Q k 分别进行合 并 , 即令H T =H 1, , , H K , (20 Q T 1Q T,(21T , 上标 T 表示转置矩阵 . 则有P h =H T Q T .(22(22 式与 (8 式具有相同的形式 , 则结合前面介绍的正则化方法即可求得 Q T (reg , 对 Q T (reg 进行列向量分 解可分别得到 K 个声源的等效简单源的源强列向量 Q k (reg , 再运用和常规波叠加法相同的步骤即可实 现每个声源单独产生的声场的重建与预测 , 叠加后 则可实现相干声场的重建与预测 . 这就是联合波叠 加法的基本原理和其全息重建与预测公式 .31实验研究实验是在半消声室中完成的 , 测量装置如图 2所示 . 实验中发声装置为两只尺寸相同的音箱 , 相干 声场频率为 630H z.两音箱的前端面同在平面 x =7cm 上 , 两者纸 盆中心的位置坐标分别为 (7cm , -20cm ,0 和 (7cm , 20cm ,0 , 纸盆中心距地面 1. 32m. 全息面为 1m ×1m 的平面 , 全息面上均匀分布 21×21个测点 , 全息面 与音箱前端面之间的平行距离为 0. 15m , 且全息面 中心对准空间坐标原点 . 计算过程中 , 每个音箱的外表面均匀地分布 54个结点 , 在音箱的角边处采取稍离结点法进行网格结点的划分 17; 等效简单源位于音箱表面结点背离 分析域 (即位于音箱内部 的法向方向上 , 每个等效 简单源与其对应的表面结点之间的距离为该结点所6621物 理 学 报 55卷 图 2 半消声室中的实验系统照片在平面与坐标原点之间距离的 0. 2倍 . 实验过程中 , 时域声压信号由图 2 中固定在两音箱附近的参考传声器和在全息面上扫描移动的 11只扫描传声器测量 . 图 3声压 .图 3 全息面声压 (a 全息面声压幅值 ; (b 全息面声压相位3111常规波叠加法的局限性验证 下面采用常规波叠加法来重建图 2所示的相干 声场中左边音箱 (记为 1号音箱 的表面法向振速 , 以验证常规波叠加法在单个相干声源表面声学量重 建过程中的局限性 .图 4所示即为常规波叠加法重建的 1号音箱表 面法向振速 . 音箱纸盆实际位置在前端面左右方向 的中间 、 距上端面 0. 135m 处 . 显然 , 图 4所示的表面 法向振速与纸盆的实际位置不符 ; 并且从图 4可以 发现 :1号音箱右侧面和后端面的法向振速也比较 大 , 而且前端面上纸盆位置也向右侧偏移 , 这是由于 在重建 1号音箱表面法向振速时 , 采用的是 1号和 2号音箱在全息面上产生的声压之和作为全息声压 , 而 2号音箱的声压贡献必然在离其相对比较近的 1号音箱的前端面 、 右侧面和后端面上反映出来 , 这样 就出现了图 4所示的重建结果 .图 4 1号音箱表面法向振速分布 常规波叠加法无法准确重建相干声场中各个相 干声源表面声学量 , 当然也无法对每个相干声源产 生的空间声场进行全息重建与预测 , 这对相干声源 的辐射特性和其辐射声场的研究和控制带来不便 . 所以图 4的重建结果充分证明了常规波叠加法在相 干声场全息重建与预测过程中的局限性 .3121联合波叠加法对相干声场的重建与预测 为了验证本文提出的联合波叠加法在单个相干 声源表面声学量重建与其辐射声场预测 , 及整个相 干声场全息重建与预测过程中的有效性和准确性 , 以及忽略相干声场中相干声源之间的相互作用在实 际应用中的可行性 , 下面采用联合波叠加法来重建 与预测 1,2号音箱产生的相干声场 .图 5所示的 1,2号音箱表面法向振速分布情 况 , 准确地显示了两音箱的纸盆位置 . 同时从图 5也 可以发现 2号音箱的纸盆振动较 1号音箱要大 , 实 际测量发现 ,2号音箱的纸盆中心前 5mm 处的声压 级比 1号音箱相同位置处的声压级高 1dB.7621 3期 李卫兵等 :联合波叠加法的全息理论与实验研究 图 5 1,2号音箱表面法向振速分布 为了进一步验证联合波叠加法在整个相干声场重建与预测过程中的有效性和准确性 , 选取平面 x =0. 105m 为相干声场的全息预测面 .图 6所示为预测面第 11测量声压幅值之间的比较情况 .图 6 预测面第 11行计算声压幅值和测量声压幅值定义其计算的预测面声压幅值的相对误差为=NTi =1|p i -p i |2NTi =1|p i |2, (23式中 , N T 为所有预测表面节点总数 , p i 和 p i 分别 为第 i 个节点上计算和测量声压 . 则滤波时 , 联合波 叠加法计算的预测面声压幅值的相对误差 =18182%.同样的方法可以计算滤波时 , 图 6所示的 第 11行上的计算声压幅值的相对误差为 6. 67%.可 见虽然在整个预测面上的预测精度不是很高 , 但是 在正对音箱纸盆区域上的预测精度还是很高的 . 其 原因是由于全息面边缘区域上测量声压信号的信噪 比较中心区域要低 , 而对应的预测面边缘区域上计 算声压又主要受全息面边缘区域的测量声压影响 ,所以预测面边缘区域的重建精度比中心区域要低很 多 , 从而使整个预测面的精度降低 .图 5中所示的表面法向振速分布情况和以上计 算的预测相对误差 , 充分证明了联合波叠加法在相 干声场预测过程中的准确性 .在以上相干声源表面声学量的重建和相干声场 的预测过程中 , 都忽略了相干声源之间的相互作用 , 这也验证了本文为了简化计算过程而忽略相干声源 之间的相互作用在实际应用中是可行的 .3131Tikhonov 正则化滤波的作用及滤波系数的选择 图 6所示的未滤波计算声压幅值 , 由于没有采 用正则化滤波抑制全息面上测量误差对计算结果的 影响 , . 并且 6. 67%下降为 88. ,T ikhonov , 同时也表明 只要选择合适的滤波系数 , 重建与预测结果的精度 是非常高的 .T ikhonov 正则化滤波方法实施的关键是滤波系 数 的选择 , 根据 2. 2节的讨论可知 , 滤波系数可以 根据 L 曲线准则来确定 . 但是由于影响重建与预测 结果的因素是多方面的 , 所以该准则在实际过程中 要灵活运用 .图 7 L 曲线由于所绘制的 L 曲线变化比较平滑 , 所以拐点 不是很明显 . 但是从其变化的趋势看 , 拐点的大概位置应在 0. 01 0. 2之间 , 所以可以在这个区间内选取若干点 , 比较预测的效果 , 选择合适的滤波系 数 , 以获得最佳的重建与预测效果 . 按照上述的滤波 系数选择方法 , 选定滤波系数为 0. 05. 图 5和图 6中8621物 理 学 报 55卷3期 李卫兵等 : 联合波叠加法的全息理论与实验研究 1269 采取滤波措施时的滤波系数均为 0. 05 , 这充分说明 了该滤波系数选择方法的有效性 . 图 4 所示的重建 结果也是正则化滤波以后得到的 , 滤波系数为 0. 1 , 由于 2 号音箱在全息面上产生声压全部以噪声的形 式体现在 1 号音箱的表面法向振速的重建过程中 , 所以虽然进行了滤波 ,也不可能获得准确的结果 . 得到有效解决 ; 分析了测量误差对重建与预测结果 的影响 ,提出用 Tikhonov 正则化滤波方法来抑制误 差的影响 ,讨论了滤波系数的选择问题 . 通过实验验 证了常规波叠加法的局限性 、 联合波叠加理论推导 的正确性 、 Tikhonov 正则化滤波方法的有效性和滤 波系数选择准则的可行性 . 理论分析和实验结果表明 : 联合波叠加法解决 了相干声源表面声学量重建及其单独辐射声场的全 息预测问题 ,有利于更加深入和具体地了解辐射源 的辐射特性及其辐射声场的空间分布特点 , 为相干 噪声源的识别和控制提供了有力手段 , 拓宽了全息 技术的应用范围 . 41 结 论 1 2 3 4 5 68 340 6 1395 7 8 9 提出了联合波叠加法 , 将其应用于相干声场的 全息重建与预测过程 , 解决了常规波叠加法在相干 声源表面声学量重建及其辐射声场的全息预测过程 中的局限性 ,使得相干声场的全息重建与预测问题 Y Y X ,Miao G P 2000 Acta Phys . Sin . 51 2038 (in Chinese ou 10 11 12 13 Bai M R 1992 J . Acoust . Soc . Am . 92 533 K B K, Ih J G 1996 J . Acoust . Soc . Am . 100 3003 im K B K, Ih J G 2001 J . Acoust . Soc . Am . 107 3289 im K oopmann G H , Song L , Fahnline J 1989 J . Acoust . Soc . Am . 86 2433 尤云祥 、 缪国平 2002 物理学报 51 2038 Y Y X , Miao G P , Liu Y Z 2001 Acta Phys . Sin . 50 1103 (in ou Y Y X , Miao G P 2002 Acta Phys . Sin . 51 270 (in Chinese ou Chinese 尤云祥 、 缪国平 、 刘应中 2001 物理学报 50 1103 尤云祥 、 缪国平 2002 物理学报 51 270 14 Song L , K oopmann G H , Fahnline J 1991 J . Acoust . Soc . Am . 89 2625 Williams E G, Maynard J D 1980 Phys . Rev . Lett . 45 554 Williams E G, Maynard J D , Eugen S 1980 J . Acoust . Soc . Am . 15 Yu F ,Chen J , Li W B et al 2004 Acta Phys . Sin . 53 2607 (in Chinese 于 、 、 飞 陈 剑 李卫兵等 2004 物理学报 53 2607 Maynard J D , Williams E G, Lee Y1985 J . Acoust . Soc . Am . 78 16 17 Hansen P C 1992 S . I . A . M . Rev . 34 561 Zhang S Y 1998 A study on a new numerical method for the calculation of the machine acoustic radiation ( Hefei : Dissertation Veronesi W A , Maynard J D 1989 J . Acoust . Soc . Am . 85 1307 Gardner B K, Berhar R J 1988 Trans . ASME , J . Vib . Aoust . Reliab . Des . 110 84 P57 (in Chinese 张胜勇 1998 机器声辐射计算的新型数值 方法的研究 ( 合肥 : 博士论文 第 57 页 K G T , Lee B T 1990 J . Sound . Vib . 136 245 im 1270 物 理 学 报 55 卷 acoustic source in coherent acoustic field ,which has more than one acoustic sources with the same frequency , and they cannot realize holographic reconstruction and prediction of the independent acoustic field generated by one coherent acoustic source too. So the holographic reconstruction and prediction of coherent acoustic field has become the foremost problem to be resolved in the application of NAH. On the basis of the proposed combined wave superposition approach , an experiment is carried out to realize the holographic reconstruction and prediction of a coherent acoustic filed generated by two sound boxes. By this experiment ,the feasibility and accuracy of combined wave superposition approach are demonstrated ,the shortcoming of general wave superposition approach in holographic construction and prediction of coherent acoustic field are also demonstrated. The Tikhonov regularization method is proposed to control the ill-posedness of inverse acoustic problem , and the principle of filter coefficient selection is also studied. The experiment indicates that Tikhonov regularization method with appropriate filter coefficient can improve the precision of the holographic reconstruction and prediction. PACC : 4320 , 4363 Inve stigatio n o n holo grap hic algorithm and exp eriment of co mbined wave sup erpo sitio n appro ach 3 Li Wei-Bing Chen Jian Chuan- Xing Bi Chen Xin- Zhao ( Received 15 March 2005 ; revised manuscript received 20 August 2005 ( Institute of Sound &Vibration Research , Hefei University of Technology , Hefei 230009 , China Abstract The general nerar-field acoustic holography ( NAH cannot reconstruct the surface acoustic information of each coherent Keywords: near-field acoustic holography , combined wave superposition , coherent acoustic field , Tikhonov regularization method 3 Project supported by the National Natural Science Foundation of China ( Grant No. 10504006 and by the Key Project of Chinese Ministry of Education ( Grant No. 02126 . E-mail :hf - lwb sina. com 实验七 用弦音实验仪测定波的传播速度【实验目的】 1使学生了解弦振动波的传播规律及驻波的形成原理。2测量弦线上横波的传播速度、弦线的线密度和弦张力。【实验原理】图7-1 试验装置示意图1吉它音箱 2磁钢 3频率显示 4接线柱 5弦线导轮6电源开关 7波型选择开关 8频段选择开关 9频率调节旋钮 10弦线劈尖11钢质弦线 12张力调节旋钮 13砝码盘实验装置如图7-1所示。吉它上现有两支钢质弦线，其中一支是用来测定弦线张力，另一支用来测定弦线线密度。实验时，弦线11与音频信号源接通。这样，通有正弦交变电流的弦线就受到周期性的安培力的激励。根据需要，可以调节频率选择开关和频率调节旋钮，从显示器上读出所需频率。移动磁铁的位置，使弦振动调整到最佳状态。移动劈尖的位置，可以改变弦线长度。根据实验要求：在挂有砝码的弦线上，可间接测定弦线线密度；利用安装在张力调节旋钮上的弦线，可间接测定弦线的张力。如图7-1所示，实验时，弦线11（钢丝）绕过弦线导轮5与砝码盘13连接，并通过接线柱4接通正弦信号源。在磁场中，通有电流的金属弦线会受到磁场力（称为安培力）的作用，若弦线上接通正弦交变电流时，则它在磁场中所受的与磁场方向和电流方向均为垂直的安培力，也随着正弦变化，移动劈尖改变弦长，当弦长是半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。移动磁钢的位置，将弦线振动调整到最佳状态，使弦线形成明显的驻波。此时我们认为磁钢所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖与吉它骑码两处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。考察与张力调节旋钮相连时的弦线11，当调节张力调节旋钮改变张力时，使驻波的长度产生变化。图7-2 波形示意图为了研究问题的方便，认为波动是从骑码端发出的，沿弦线朝劈尖端方向传播，称为入射波，再由劈尖端反射沿弦线朝骑码端传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖10到适合位置。弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图7-2所示。设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们合成的驻波用粗实线表示。由图可见，两个波腹间的距离都等于半个波长，这可从波动方程推导出来。下面由简谐波表达式出发，用波的叠加原理对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”，且在X=0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：Y1=Acos2(tx/)Y2=Acos2(tx/)式中A为简谐波的振幅，为频率，为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：Y1+Y2=2Acos2(x/)cos2t （7-1）由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为| Acos2(x/)|，只与质点的位置X有关，与时间无关。由于波节处振幅为零，即=0 2(x/) =(2k+1)/2 (k=0，1，2，3，)可得波节的位置为：X=(2K+1)/4 （7-2）而相邻两波节之间的距离为：XK+1XK=2(K+1)+1/4(2K+1)/4=/2 （7-3），即驻波的振幅，也只与质点的位置X有关，与时间t无关。因为波腹处的质点振幅为最大，即| cos2(X/)|=12X/=K (K=0，1，2，3，)可得波腹的位置为： X=K/2=2k/4 （7-4）这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，其数学表达式为：L=n/2 (n=1，2，3，)由此可得沿弦线传播的横波波长为：=2L/n （7-5）式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。根据波动理论，弦线横波的传播速度为： V=(T/)1/2 （7-6）式中T为弦线中张力，为弦线单位长度的质量，即线密度。根据波速、上面频率及波长的普遍关系式V=，将（7-5）式代入可得： V=2L/n （7-7）再由（7-6）（7-7）式可得 (n=1，2，3，) （7-8）由（7-8）式可知，当给定T、L，频率只有满足该式关系才能在弦线上形成驻波。当金属弦线在周期性的安培力激励下发生共振干涉形成驻波时，通过骑码引起吉他音箱的声振动，经过释音孔释放，我们能听到相应频率的声音，当用间歇脉冲激励时尤为明显。【实验仪器】ZCXSA型弦音实验仪、磁钢、砝码等。【实验内容】1测定弦线线密度。2测定弦线张力。3测定弦线上横波传播速度。4选用间歇脉冲激励，改变、T、L和，聆听音符的高低。（选作）【实验步骤】1弦线线密度的测定调节波形选择开关7至连续位置，可先调节频段选择开关8至200Hz左右，将信号发生器输出接线柱4与悬挂砝码盘13的钢质弦线接通，移动劈尖位置，改变劈尖与骑码间的弦线长度，同时适当移动磁钢2的位置，使弦线形成明显的驻波，记下砝码盘和砝码的总质量、频率显示器上的频率，测出劈尖与骑码间的弦长，数出驻波的波幅个数。根据（7-8）式，可求出弦线的线密度。分别取频率、张力T、弦长L不变，改变其它量调出驻波。测量次数（Hz）T(s)L(cm)n1232弦线张力的测定选择与张力调节旋钮12相连的弦线11，与信号发生器输出接线柱4相接、改变信号激励频率和弦长，调节张力调节旋钮12（此钮一般不必调，弦线不要太紧），使出现明显的驻波。根据（7-8）式，可求得弦线张力。测量次数（Hz）L(cm)n1233调节波形选择开关7至断续位置，改变、T、L和，聆听音符的高低。【注意事项】1在接线柱4与弦线连接时，应避免与相邻弦线短路。2在做弦线张力测定的实验时，张力不易过大，约在40N以下，使驻波效果明显。弦线张力过大，线易断。【数据处理】1 由及步骤1中的表格，计算线密度，并求其平均值。2由公式T=(2L)2/n2及步骤2中的表格，利用已求出的计算各次