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微波、波阻和膨胀波（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）3.6.3 微波、波阻和膨胀波1.激波和波阻飞机在空中飞行时，对空气产生的小扰动以音速向外传播，时周围空气受到扰动。由于飞机的飞行速度不同，周围空气受到的扰动情况也不相同。图3-34 小扰动波传播图形由图3-34（a）可以看到，当飞机停留在机场时，飞机发出的小扰动就会以扰动源（飞机所在位置）为中心，以同心圆形的波面向四周传播；（b ）中表示当飞机前进的方向分布较密，反方向分布较疏。但对于这两种情况，只要时间足够长，周围的空气都会受到扰动（不考虑扰动波在传播中的衰减）。通过一个个波面，空气的参数会连续不断地发生微小的变化。这就使飞机前方的空气对飞机的到来有“预知”，并对自己的状态进行调整。而在（c）（d）中情况就不同了。当飞机的速度等于音速时（见图3-34（c），飞机和它发出的扰动波同时到达前方；而当飞机的速度大于音速时（见图2-34（d），飞机更是领先它所发出的扰动波跑到了前面。在图3-34（c）、（d）中，通过飞机机头作各扰动波波面的切线，切线形成的圆锥体叫做马赫锥。从图3-34（c）（d）中可以看到，当飞机以音速或超音速飞行时，马赫锥以内的空气将会受到扰动，而马赫锥以外的空气无论经过多长时间都不会受到扰动。这样，当飞机以很大的速度撞击到前面完全平静的、对飞机到来毫无“预知”的空气上时，对空气产生了强烈的压缩，就会在机头前面形成一层薄薄的。稠密的空气层，这就是在机头形成的激波。 激波是气流以超音速流过带有内折角物体表面时，受到强烈压缩而形成的强扰动波（见图3-35）。气流通过激波后空气的参数要发生剧烈的变化（见图3-36）：速度下降，温度、压力、密度上升。参数的剧烈变化说明激波时一种强扰动波，他在空气中的传播速度大于音速。激波的强度越大，传播的速度越快。通过激波后，空气的温度上升，说明空气的部分能量不可逆转地变为热能，能量的损失说明气流通过激波时受到了阻力，这个阻力就叫做波阻。图3-35 超音速气流流过内折角表面时，形成激波图3-36 激波前后气流物理参数的变化 激波与气流方向之间的夹角叫做激波角。当激波角等于90°时，激波波面与气流方向垂直，激波称为正激波。如果激波波面与气流方向不垂直，就称为斜激波。因为正激波波面正对着气流，所以对气流产生的波阻最大。超音速气流通过正激波后，压力、温度和密度都骤然升高，速度下降，由超音速气流转变为亚音速气流。斜激波的波面相对气流倾斜了一个角度，所以它的波阻比正激波小。超音速气流通过斜激波后，压力、温度和密度也都升高，速度也下降，超音速气流可能减速为亚音速气流，也可能仍为超音速气流。图3-37 脱体激波与附体激波 飞机高速飞行时，形成的激波形状与飞机飞行的马赫数及飞机的外形有关。当飞行马赫数超过1较多时，在飞机尖削的头部形成斜激波。在飞机圆钝头部的正面形成正激波（见图3-37），并在机头上下逐渐倾斜为斜激波，最后减弱为边界波。在圆钝头部开始形成的正激波强度比较大，以较快的速度向前传播。在传播过程中，能量逐渐所耗，传播的速度也逐渐慢了下来，最后，在圆钝头部的前面，与圆钝头部保持一定的距离向前运动，这种正激波也叫脱体波。气流经过激波后要减速为亚音速气流，所以，在正激波波面的后面会形成一个牙音速区。当飞行的马赫数等于略大于1时，在飞机尖削头部的正面也会形成正激波。 2.膨胀波 当超音速气流流过带有外折角的物体表面时（见图3-38），由于流管变粗，气流的速度要加快，压力要下降。这些变化是通过外折角对气流的扰动，形成的以折角为中心逐渐散开的扇形波来完成的。气流通过一个个波面逐渐加速降压，并转变方向，最后生成更高速的气流，沿外折后的物体表面流走。由于物体外折角对超音速气流的扰动，引起气流膨胀加速的扇形波叫做膨胀波，膨胀波引起气流参数的变化是逐渐的、连续的，所以是弱扰动波。通过上述分析可以得出这样的结论：超音速气流是通过激波压缩减速，通过膨胀波膨胀加速的。图2-38 膨胀波（a）扇形膨胀区 （b）膨胀区的气流方向脉搏波分析与脉搏波速度(综述)日期：2007-06-19来源：  字体：大 中 小 脉搏波分析与脉搏波速度 Korotkov后的一百年对于血压解释的回顾刘景林 杨栓平摘要：血压（如，脉压）由搏动产生的，作为一个重要的心血管疾病的风险因子，受到人们广泛的关注。在预测心血管事件上，测量升主动脉或者颈动脉的中心动脉血压要比测量传统的肱动脉脉压更有意义，这是因为靶器官承受的压力来源于中心动脉压力而不是肱动脉压力。而由于波的反射，上肢的血压并不能真实反映中心动脉血压；因此，知名学者把焦点放在了一种无创检测中心动脉血压的方法上，并寻求主动脉僵硬度产生的原因。直到现在，越来越多的证据表明：在评定主动脉的性质上，测量中心动脉血压要比测量传统的肱动脉血压更准确和更具优越性。在此我们通过两种主要的方法对“中心”指数进行评定，即“脉搏波分析”和“脉搏波速度”。在这篇综述里我们对此进行了总结，目的在于把中心动脉血压和大动脉僵硬度应用到临床研究和临床实践中。关键词：动脉僵硬度；中枢血压测量；波反射最近一个时期，关于袖带式血压计检测脉压（肱收缩压和舒张压）受到人们越来越多的质疑。其关注远远超过人们熟悉的问题如“白大衣”高血压，静态测量和血压24小时动态监控，并逐步淘汰水银为基础的设备。这些关注关于所有袖带设备通过肱动脉检测脉压的不准确性，在肱动脉和中心动脉之间压力的差异，和对收缩压，舒张压和脉压的解释。从上下文可以看到目前的问题是在过去的两个世纪中当医师对高血压病史的检测和评估。Richard Bright最早开始研究“高动脉血管张力”与肾病，心脏衰竭和中风的关系。他的评估是从触诊手腕上的脉搏以及临床认识的情况下脉搏需要相当大的阻力才能消失，而脉搏在收缩压的后期还在持续。在十九世纪末期开始使用图形的方法记录桡动脉脉搏，并被英国心血管疾病的先驱Mackenzie和Lewis用于临床实践（与人身保险考试）。但是这些都很难用，并且迅速被Riva-Rocci发明的袖带式血压计和Korotkov记录收缩压和舒张压的流通学报所代替。直到1916年，用收缩压预测无症状的人身保险申请人心血管情况的价值已被Fisher所证实。早在二十世纪初，血压计的从业人员更倾向于使用舒张压而非收缩压。舒张压被认为比收缩压更可靠是因为它更能接近真实血压同时能更好地解释周围动脉闭塞性疾病和高血压病。这一看法得到了Orr的认可，“收缩压代表心脏的最大力量，而舒张压则用于检测心脏需要克服的抵抗力”也就是说，高的舒张压是有害的，而高的收缩压是有益的。在Framingham的结论出现之前，这种看法已经很根深蒂固并被广泛传播，其结果被美国国立卫生研究院的老年收缩期高血压项目（SHEP）所反驳。在1991年之前，有关动脉压与心血管问题和舒张压的研究一直不断地被报道着（图1）。   直到1991年SHEP结论的发表，我们有充分的理由认为为什么在Korotkov时代更倾向于舒张压而非收缩压。这是个高血压盛行的时代，当没有有效的治疗方法和高血压的恶性循环经常导致恶性的中风早死，或肾脏和心脏的衰竭。FranklinD. Roosevelt是一位先天中风受害者记录250/160。图1主要涉及这个时期的报告。在这个时代的后期，强调的重点由舒张压转向收缩压，同时在明显的器官损害之前高收缩脉压被认为表现比较频繁，通过有效的抗高血压疗法其恶性循环被打破。当隔离收缩高压时，另一类型的心血管疾病就变得明显。现在这个主导着临床实践。在现代社会，舒张期高血压为主导的疾病在二十世纪初到中期，已经几乎被征服。现代研究反映了这个观点。最近Framingham的论题表明，在旧的学科中，心血管疾病与收缩压有直接的关系而不是舒张压，研究的结论是，对任何特定收缩压，心血管疾病相反的与舒张压有关（图2）。这些结论表明升高的脉压是心血管疾病一个重要的独立危害因素，从最近对欧洲，美国和中国的研究已经得到证实（图3）。  图3在这个时期，有并不完全一致的意见。这一分歧，涉及到舒张压与心血管疾病存在不同层面的相对风险因素，如图1和图2所示。在此基础上一定会更好，有影响力的前沿性研究协作组通过对一百万受检者报道舒张压比收缩压在评估心血管疾病方面具有更好的优越性，在这项研究中，脉压（PP）和心血管疾病并没有关系。Lancet在这一问题上进行了多次讨论。这个研究是61项前沿性研究的综合分析的结果，在日前进行的时代现代医学疗法中大部分已经被应用。受检者在研究早期虽然是轻度的心血管病患者但他们其中一部分人已经达到动脉僵硬度的年龄，成为主要影响动脉僵硬度和血压升高的因素。显然这些研究未能正确定义风险的个体患有高血压。Framingham研究小组建议40岁以下的患者把舒张压作为心血管疾病最好的诊断手段；然而，对于60岁以上的人群，脉压（PP）是最好的诊断手段。在新学科中这些研究可以作为肱动脉压扩增的基础，这一现象，其极端表现是轻度的“伪收缩压”，但他们的中央收缩压和中央动脉压是正常的。通过使用百年袖带式血压计提出问题，探寻更现代的可以广泛应用于临床实践的办法。本世纪，医疗设备有所改善，但至今仍未普遍应用于临床评估。讽刺的是，有益的补充方法，PWA和PWV检测方法和其他前人发明的袖带式血压计不同程度的被Mackenzie和Lewis使用。十九世纪之前，这些可以提供动脉僵硬度，早期波反射和中央血压人口老龄化和隔离的收缩压基于病理和临床研究的动脉弹性的问题。        PWA：波反射的测量学术上几种与上臂血压（收缩血压和PP）的搏动部位相关的新发现中，之所以重点强调非扩散中枢血压测量，有两点原因。第一，仅仅中枢压力，非上臂压力，直接影响病人的器官。第二，上臂血压不总代表中枢血压。在青壮年身上，上臂或放射压力的振幅比上升主动脉的振幅高出50%，然而对老年人来说，两者重要性几乎相同。这一存在于在青年和老年人间在波反射的基础上的不同可以很容易得到解释。波反射传导于中枢主动脉的前压力波，反射既而被来自外围部的任一点的间断的阻抗力所增强，如动脉分支和小动脉连接点。高阻力的细动脉在血液循环系统中被认为是波反射的主要部分。然而，单独的反射波共同起作用时，如同源于同一个功能反射点，从临近胸动脉到腹部动脉的终端。结果，上升主动脉的压力波可被看作是由心脏产生的前压力波和来自身体的后压力波的总和。在年轻人和老年人之间不同的肱动脉的压力扩增，主要取决于不同时间段的波反射在中心主动脉压和肱动脉压的效应（图5）。在老年群体中，来自身体的反射压力波由于动脉僵硬度和主脉压扩增与肱动脉有一定的相似度（低扩增）。相反地，在年轻人当中，波反射影响的既不是主动脉压也不是肱动脉压，因为反射波在主动脉回流通过后收缩压和和前舒张压。因此，不能归咎于主动脉的升高，而是高扩增的结果。压力扩增也取决于动脉阻抗通路；然而，这个因素的影响已经被认为很小，其中，肱动脉弹性性能随着年龄的老化没有那么显著的变化。在患有退行性心血管疾病的患者身上，在中央主动脉和肱动脉上的压力扩增已经很不明显。然而，在使用官方的药物的心脏衰竭患者和心动过速，休克等症状的扩增增加。扩增指数（AIX）代表波反射的指标，被定义为压力扩增与脉压（PP）的比（图6）。这一指数仅在创血流动力学研究中被引进和使用。Fujii等人是第一次在临床中应用变平张力测量法对无创颈动脉扩张指数的测量。目前，PWA应用统计的方法合理的解释主动脉波反射的无创性和产生的中枢血压径向压力波形。转换函数的概括：PWA的原理一个众所周知的事实，任何的波动周期可以分为一系列的正弦波，所谓的级数，其频率是整数倍的重复。中央压力的扩增，可以用傅立叶分析找出函数的最佳位点，扩增出现在两个振幅的距离成为一个函数周期或谐波。1970年，ORourke应用转换函数指出中央动脉及肱动脉的关系来解释主动脉瓣膜疾病和心房颤动的区别。Lasance随后在一个大型的心导管检测组织发表了这一论题，转换函数报道的68位患者的情况几乎相同，尽管他们的年龄、性别、大小及社会地位有所不同。 1993年，这些结果变得明显，采取可行的方法用无创上肢脉压波形来估算中央脉压波形。Karamanoglu等人表明在中央动脉和肱动脉之间每个转换函数在冠状动脉疾病方面也是一致。他们反复分析发布的数据，在所有的患者和14名在不同情况下检测的患者在径向-肱-主动脉间没有发现明显不同的情况（图7）。因此,对于个人之间的转换函数在多项研究中显示是一致的，在肱动脉老化和高血压中表现变化不大的弹性。理论上，转换函数的传输路线和形状由输入压力波决定输出压力波；此后，随着不断的个体之间的转换函数，暗示在不同的个体和不同情况下，只有主动脉上输入压力波的形状（主动脉压波形）是肱动脉输出压力波形状的一个主要的决定性因素。此外，有这样一个可能性，用平均转换函数根据上肢脉压波准确的重建主脉压波形。他们命名平均转换函数为广义转换函数，并表明它能准确估计中央收缩压（分别为2.4±1.0mmHg）。中央主动脉测量采用了径向压力波形和广义转换函数（即PWA）已经得到许多研究机构的验证，包括药物管理机构和被认为是无创中枢血压测量最好的评估方法。图8应用高保真扁平张力测量法显示径向压力波形的典型踪迹和应用广义转换函数从年轻到老年阶段重建主脉压波形。 PWA检测系统现在已经上市，并且已经获得美国食品及药物管理局对这一系统的认可。中枢血压的预测价值和增强指数尽管该方法基于它的原理和许多利用广义转换函数检测无创性主动脉的验证研究，相比那些使用PWV的,有为数较少的前沿性研究利用PWA。Safar等人报道说颈动脉压是肾脏疾病末晚期（ESRD）死亡率原因的一个独立的危害因素。他们也指出增强指数源自颈动脉脉冲是晚期肾病患者的重要预报器。Asmar等人指出，效果优于利尿剂/血管紧缩素抑制酶组合在左心室肥大与影响较大的主动脉增强指数和利用PWA对主脉压进行评估。Weber等人报道说，强大和独立的协会组织之间利用PWA对主动脉增强指数和冠状动脉疾病和预后经皮冠状动脉介入疗法进行评估。相比常规的对小动脉波形的分析我们更喜欢PWA，由于更好的重复性、对心率影响较小（压力感受器的刺激），相当好的患者接受能力（颈动脉检测过程常常造成恶心作呕和咳嗽）和减少把颈动脉的饰板搅乱的危险。基于这些关于颈动脉优势的分析，几个人口普查已经被PWA采用用来检测中枢血压数据；许多这些近来的成果已经出版发行。PWV脉压的扩展表现为动脉僵硬度的扩增；因此，对于从事关于动脉僵硬度和心血管疾病患者的研究的人员来说是很自然的事情。这些在众多的关于动脉僵硬度的数据中已经报道；然而，在其测量和解释上都存在问题，而没有单一指标已经证实优于其他的。这些指数中，PWV是最常用的前瞻性检测指标。   PWV的方法论PWV是测量沿着动脉段的压力波速度的测量（图9）。测量的理论基础取决于Moens-Korteweg公式：PWV2= （杨氏模具 × h/2r)，为血液密度（通常在1.05左右）， h/2r为管壁厚度/动脉内直径。杨氏模具代表弹性材料硬度的物理参数。在实践中，PWV是由距离 / 两个脉搏测量点的传输时间计算出的。对其深入的实验研究中，PWV能够测量在同一动脉同一路线上的位点（例如，大动脉）。然而，在一个无创的临床研究中，这两个测量位点是在人体体表的可触摸到的体表的动脉（通常在颈动脉和股动脉之间测量大动脉的PWV，颈动脉和肱动脉之间测量上肢PWV，颈动脉和桡动脉测量手臂的PWV，股动脉和颈骨动脉测量大腿的PWV）；严格地说，这些位点不总是在脉搏传输的同一线路上。这种技术在测量上的局限性是这种方法主要问题。除了年龄，动脉粥样僵硬度和动脉僵硬度，PWV值也随着血压的升高而升高，取决于包括杨氏模具的血管壁的自然弹性。这是PWV检测的第二个问题。在对血管性能的实际效果进行估算之前已排除影响血压的变化。尽管有这些限制因素，因为它的原理简单，PWV检测方法正在被广泛的应用，而且PWV不受反射波的影响。水锤公式特征性阻抗（Zc）是另一项测量动脉僵硬度的指标，它能通过测量脉压和流速波及其相关的频率组分获得。当PWV和Zc表示为cm/s或dyne.s/cm3 公式如下：Zc=1.330*PP（mmHg）/max F（cm/s）=PWV* (=1.05)。这个被称为水锤公式，它与PWV及压力和流量有直接的关系。PWV价值的预测在1999年的法国，PWV最初被认为是心血管疾病还包括晚期肾病患者患者（ESRD）的独立的危害因素的前瞻性研究。在这项研究中，PWV12m/s的比率相对于PWV9.4m/s的死亡率为5.4。这项队列研究在同一所研究机构另一篇文献也验证了PWV的准确性。据有ESRD的患者比没有患此病的患者具有更高的死亡率和发病率；因此，有相当数量的人关注PWV检测心血管疾病的可预知性。然而，最近的同龄研究证实PWV检测的预见性价值。另一个问题就是PWV的预见性是否是具有潜在的心血管疾病的患者或者是否高的PWV值代表患有心血管疾病。若干的研究暗示这两种现象都有可能。Cruickshank等人建议PWV可能是心血管的危害因素综合指数（如，高血压或者糖尿病的持续时间），可以预测先天心血管疾病。相反的，明显的心血管疾病患者具有高的PWV值。观点。除了对大规模人口进行研究获得的证据，另一个问题是两种方法在临床环境的可用性。医师相对于常规的血压测量不容易获得PWA和PWV值。这个测量需要特殊的设备和训练有素的操作者同时需要新的医疗技术。他们通常需要病人仰卧着进行测量。尽管有这些缺点，当通过大规模的人研究的有效的方法和在临床环境中有用的测量变得清晰，PWA和PWV将会是心血管医师的必要的工具。多项研究表明正常的人随着年龄的增长其主动脉PWV值会逐步升高，表现为主动脉的衰退和僵硬度。这样的升高会使高血压患者和心脏病患者的病情加重。研究还表现为桡神经的后收缩压得扩增的增长，颈动脉和主脉压随着年龄的增长而增加。相反的，弗莱明起初的研究数据，证实主动脉PWV的增长与年龄的关系。Adji等人报道说心血管病人AIX指数的增长打折可能归功于日常多种心血管疾病药物的作用。他们还指出AIX指数在药物治疗的情况下很容易变化；然而，PWV却不是这样。AIX也是依靠流动波外形，如果有相对的后收缩流动的减少，它可能不会随着年龄增加而升高。这些观点暗示AIX和PWV检测在临床环境中具有不同的作用。运用PWV检测，临床医师可以了解血管僵硬度，可以反映病人的患病史。通过测量AIX值可以评估疗效者的药物治疗和正常心室射血。降低的AIX值可以减速动脉僵硬度的进程。  另一个个仍待解决的问题是设备，这两个指数都影响着心血管系统。一个大动脉疾病的恶性循环被建议，其中高中央大动脉造成动脉扩张并加速弹性纤维断裂（图10）。这个理论基于工程原理和人类提供的供观察的研究成果；然而，他还不能通过实验和人类的研究提供直接的证明，因为过去的20年在弹性动脉中有弹性破裂需要八亿搏动的延伸。此外，他还不清楚这个理论可以应用于肌性动脉；举例来说，冠状动脉和周围动脉的靶器官。最近的研究表明，脉压与冠状动脉的破裂有关，而且比以前所认为的更加深入；因此，将来应该有关于动脉僵硬度的发病率的调查。结论现代科技已经带来先进的工具以评估临床医学中主动脉血流和中央动脉僵硬度。尽管很多问题尚待解决，正如100年前袖带式血压计那样，新方法有对心血管研究和实践创新的潜力，。当前和今后对PWA和PWV的前瞻性的研究，会为我们提供新的策略和希望以治疗心血管疾病，这个论题，有助于心血管医师抓住时机，利用这些新的方法进行临床研究和实践。（刘景林，杨栓平）小波方法一、小波的由来传统的信号分析是建立在傅里叶变换基础之上的，由于傅里叶变换是一种全局的变换，而且要么完全在时域，要么完全在频域，因而无法描述信号的时频局部性质。而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质，为了分析和处理非平稳信号，科学家们对傅里叶分析进行了推广，提出并发展了一系列新的信号分析理论。其中小波分析理论是其中应用最广，使用起来最便捷的一种分析方法。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论和应用的双重意义。其实这是一个很新的理论，由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，但在几十年内理论就发展的如此完善，应用的范围如此之广大，可见其确实是一种很好用的方法。小波这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性，而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波分析的基本数学思想源自经典的调和分析，是傅里叶分析的拓展和延伸，解决了傅里叶分析的局限性，是傅里叶分析发展中的一个里程碑。付里叶分析就其实质而言是将（02）上平方可积函数空间中任一函数分解成不同波函数的叠加。是现代工程中应用最广泛的数学方法之一，尤其适用于信号及图象的处理。在L(R)空间中利用傅里叶变换，可将信号从时域变到频域，并分解成不同尺度上连续重复的成分，据此完成从不同空间对同一信号进行分解分析，计算结果通过逆变换返回原空间。在L(R)空间中记fL(R)，这时定义f的傅里叶变换， 在物理上或工程上，常称为f的频谱，可以证明，而且有严谨的反变换 此式的物理意义是把“信号”f分解为e的加权迭加，事实上， 就是f关于频率为的谐波分量的振幅和相位。且此变换很容易推广到d维空间R上的函数，即fL( R)的情形。这样我们就可以将原来对时域或空域上的“信号”f的研究转化为对它的频谱的研究。傅里叶变换使来自不同领域，千差万别的实际问题得以采用统一的处理方法解决，有效地简化了数学计算及分析过程。但是傅里叶分析是一种频谱分析，只能揭示信号f(x)的频谱结构，即傅里叶系数是信号f(x)在时间域上的加权平均。要想用它来反映信号f(x)在时间域上的局部性质是不可能的，而且傅里叶分析的另一个缺点就是分辨率不够高，在傅里叶系数中，由于频谱点的等距分布，不能很好的反映一些具有突变的非平稳信号而信号的局部性质无论是在理论研究方面还是在实际应用方面都是十分重要的，为了解决这一问题产生了带有时限函数的傅里叶变换，这种傅里叶变换可以对时域和频域起到双重限制作用。在这种分析工具中，傅里叶变换基函数起频限作用，时限函数起时限作用。时限函数又称为窗口函数，带有窗口的傅里叶函数称为加窗傅里叶函数。 其中的g是某个确定的具有单位能量（即属于空间L(R)）的函数，称为窗函数，这种函数也有反变换加上窗口以后我们就可以把信号分段来进行研究，已经能刻画局部信息。但是加窗傅里叶分析函数的窗口宽度是固定的，g取定后窗口的宽度也就固定了，又因为加窗傅里叶函数只能对稳定的信号进行分析研究。而实际的信号中中很少有平稳信号，所以人们希望有一种能随着频率的变化能自动改变窗口宽度的函数，并试图寻找能表示函数空间L(R)外的函数空间的一种基函数，使这种得这种函数基既能保持指数函数基的优点，又能弥补指数函数基的不足，并且希望这种函数基是由某个具有光滑性、紧支撑性和较高的消失矩的函数通过伸缩和平移而生成的函数族。现在我们称这种函数基为小波基，对它的存在性、构造和性质的研究便构成小波分析研究的内容。它既在整体上包括了信号的全部信息，又可描述任一局部时间内信号的激烈程度。表现出“变焦距”的特征。小波变换是这样的一种变换：选取h L(R)，使满足条件则对任一fL（R），定义f（关于h的）小波变换为相应的逆变换为其中h是母小波函数，观察上面几式可以看出这三种变换都是积分形式，只是积分的“壳”函数和参数取得不同。观察小波变换函数，h有一定的震荡性，这一震荡性表明它的某种频率特性，且有随着频率的变化而变化的特点，a可视为频率参数，b是时空参数。在实际应用中，常选取h与为在有界区间外为0或衰减较快的函数，所以小波可以实现时频的局部化。加上小波的自适应能力，可使小波在描述信号时具有变焦的能力，这就解决了傅里叶函数和傅里叶加窗函数不能满足的特性。概括的来说小波变换就是能满足这样要求的一种变换，小波函数中存在与局部频率相对应的尺度因子，可以改变时频窗口的形状，却不改变窗口的面积，当尺度因子逐渐减小时，小波函数的频谱便渐趋高频方向，而其宽度则渐趋狭小。据此满足了信号的频度愈高，它在时空域上的分辨率愈高的要求。小波分析由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，故赢得了“数学显微镜”得美誉。虽然从原则上讲，以往使用付里叶分析的场合现在都可采用小波分析，尤其对非平稳信号的处理，小波分析因能更好地反映其频率特性而取得更好的结果。但小波分析并不能完全取代付里叶分析，在处理渐变信号时，付里叶或加窗付里叶分析较之小波分析更为有效。二者配合才可适应任意信号的分析与处理。二、小波方法1、尺度函数空间假设是在三维空间里表达一个向量，我们需要建立一个三维的坐标系，只要坐标系建立我们就可以用三个点（x,y,z）来简单的表示一个向量，同样的在一个信号我们设为f(t)，要想表示它，我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系，然后将f(t)映射在这些简单的正交函数上，产生一个系数，这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的不好想象。总之就是利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t)。这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是小波函数的作用了。在滤波实现中低频滤波就相当于尺度函数的作用，小波函数的实现就是高频滤波器的使用。从小波的构造和小波的算法来看，小波函数总是和尺度函数密切联系在一起的，而按照多分辨分析，小波函数的构造实际上是从构造尺度函数开始的，为此我们首先在多分辨分析的基础上研究关于尺度函数的构造。时如果其傅里叶变换满足如下条件，则可以成为某一多分辨分析的尺度函数。（1）连续有界，且；（2）存在常数A,B使得;(3) 是以2为周期的周期函数。尺度函数空间就是在尺度函数的基础上张成的空间。定义函数为尺度函数，若其经过整数平移k和尺度j上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合:称每一个尺度j上的平移系列所组成的空间为尺度为j的尺度空间对于任意函数，有所以尺度函数在不同尺度下其平移系列组成了一系列的尺度空间。随着尺度j的增大，函数的定义域变大，平移的间隔也变大，所以它的线性组合不能表示函数小于该尺度的细微变化，所以其长成的尺度空间只能表示大尺度的缓变信号。反之如果j减小，函数的定义域就变小，平移间隔也变小，则它的组合式 就能表示出函数的细微变化，所以其张成的尺度空间所包含的函数增多，包括小尺度信号和大尺度的缓变信号。那么尺度函数都有什么性质呢？在介绍尺度函数的性质前我们要先介绍Poisson公式。Poisson公式是正交归一性在频域的表现：（1） 设是一组正交归一的函数集合： 则正交归一性在频域表现为 是的傅里叶变换（2） 设是两组正交的函数集合： 则此正交性质的频域表示为：如前所述空间实际上就是一个集合，而且该集合中的元素之间具有某些特定的联系和性质。如果这个空间中的元素都是函数，那么这个空间就是函数空间。在此处空间中的元素是尺度函数，所以就称为尺度函数空间。以下就是尺度函数空间的性质：同一尺度j下的两个函数之间具有正交归一性，即 根据Poission公式可得 但不同尺度之间的不具有正交性，即以上就是小波尺度函数的性质。另外尺度函数概念中还有尺度因子的概念，所谓尺度因子就是尺度函数中的系数。尺度函数对应图像二维小波变换中的近似子带、小波函数对应细节子带。如果尺度函数为（2a*x-i），则尺度因子a越大尺度函数生成的矢量空间越大，波形越小。 细节也越不明显，包含的信息也越少2、多分辨分析Mallat使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当.当人的眼睛观察物体时，如果距离物体比较远，即尺度较大，则视野宽、分辨能力低，只能观察事物的概貌而看不清局部细节;若距离物体较近，即尺度较小，那么视野就窄而分辨能力高，可以观察到事物的局部细节却无法概览全貌。因此，如果既要知道物体的整体轮廓又要看清其局部细节，就必须选择不同的距离对物体进行观察。和人类视觉机理一样，人们对事物、现象或过程的认识会因尺度选择的不同而得出不同的结论，这些结论有些可能反映了事物的本质，有些可能部分地反映，有些甚至是错误的认识。显然，仅使用单一尺度通常只能对事物进行片面的认识，结果不是只见“树木”不见“森林”，就是只见“森林”不见“树木”，很难对事物有全面、清楚的认识。只有采用不同的尺度，小尺度上看细节，大尺度上看整体，多种尺度相结合才能既见“树木”又见“森林”。 多分辨分析的思想与用照相机焦距跟景物的局部与全局的关系对应起来更容易让人理解，当放大焦距(相当于在小波函数中放大尺度因子一对应于低频时)，我们可以拍摄到景物的全局与概貌，当缩小焦距(相当于在小波函数中缩小尺度因子一对应于高频)时，我们可拍摄到景物的某些细致的局部。另一方面，在自然界和工程实践中，许多现象或过程都具有多尺度特征或多尺度效应，同时，人们对现象或过程的观察及测量往往也是在不同尺度上进行的。因此，多尺度分析是正确认识事物和现象的重要方法之一。 由粗到细或由细到粗地在不同尺度(分辨率)上对事物进行分析称为多尺度分析，又称多分辨分析。多尺度分析最早用于计算机视觉研究领域，研究者们在划分图像的边缘和纹理时发现边缘和纹理的界限依赖于观察与分析的尺度，这激发了他们在不同的尺度下检测图像的峰变点。1987年，Mallat将计算机视觉领域内多尺度分析的思想引入到小波分析中研究小波函数的构造及信号按小波变换的分解和重构，提出了小波多尺度分析(又称多分辨分析)的概念，统一了此前各种具体小波的构造方法。Mallat的工作不仅使小波分析理论取得了里程碑式的发展，同时也使多尺度分析在众多领域取得了许多重要的理论和应用成果。多分辨分析是小波分析的重要组成部分，是小波分析的重要概念之一，是小波分析应用的基本工具，是小波分析理论的核心部分，它提供了一种构造小波的统一框架，并由此衍生出函数(时间序列)分解和重构的快速算法，同时开辟了从函数空间的高度研究函数的多分辨率表示的先河，即将一个函数表示为一个低频率成分与不同分辨率下的高频成分.基于多分辨分析的预测方法具有划时代的意义，它把小波分析和时间序列分析紧密的联系起来， 在信号分析的研究中，对于缓变的信号中存在的一个短时尖峰，采用单一的分辨率进行分析显然是不合适的.因为单一的分辨率所分的时间间隔不可调整，所以那些持续时间非常短的，频率很高的脉冲的发生时刻难以检测到.对于此问题，Mallat这样解决:首先，把由取样定理得到的带限函数空间用原信号的某个阶段代替.其次。用基于同一空间的不同尺度分析信号，所以称为多分辨分析.这个框架不仅仅对分析信号是理想的，而且实际上还可以构造小波.满足如下几条性质的函数称为多分辨分析（MRA）。设是的一串闭子空间序列，（1） 单调性： ;（2） 稠密性：;（3） 伸缩性：若;（4） Riesa基的存在性:存在使是的Riesz基，称是尺度函数。这里的Z表示整数全体。若将4改成正交基的存在性：存在使是的标准正交基，则称为正交尺度函数。相应的多分辨分析为正交多分辨分析。多分辨分析是构造小波基的基本框架，也是信号在小波基下进行分解和重构的基本理论保证，在小波的发展中起着非常重要的作用。利用多分辨分析，可以将一个复杂函数分解成几个简单函数进行分别讨论，这时函数由一个近似粗糙部分和一系列细节部分组成，其中粗糙部分对应于信号的低频成分，细节部分对应于信号的高频成分，与Fourier分析不同的是这里的高频成分是分层的，是在不同分辨率下逐步产生的。由多分辨子空间的Riesz基导入尺度基，又由尺度基产生小波基，这些形成了构造小波基的框架，而在此之前，要构造一个小波是非常困难的。在多分辨分析的意义下，尺度函数和小波函数与信号处理中的低通滤波器和高通滤波器产生了对应关系，这种对应关系最终导致函数分解和重构的快速算法的实现。 小波函数可提供的多分辨分析，因此，利用小波函数可把函数表示成不同分辨率近似，从而为求解偏微分方程分层解析提供了有效工具，即使在解梯度变化较大的区域，也可以进行局部细化而不必对整个问题进行重新剖分。3、小波空间小波函数构成小波空间。多分辨分析的一系列的尺度空间函数是在不同尺度下组成的，即一个多分辨分析对应一个尺度函数。由多分辨分析概念中的单调性性质知道相互包含，不具有正交性，所以它们的基在不同尺度上不具有正交性，所以不能作为空间的正交基。由泛函空间中的正交分解理论有，其中表示该空间中所有元素与中的任意元素均正交。我们将记为，即为的正交补空间。根据及，我们可得： 上式表明，是由无穷个正交补空间的直和构成的，而的正交基就是把直和的子空间的正交集合合并起来得到的。所以空间的标准正交基为： 二进正交小波的函数的形式为： ，可见与式的形式是完全一样的，这正是从多分辨理论导出的二进正交小波函数。所以我们称为小波函数，相应的是尺度为j的小波空间。同时小波空间是两个相邻尺度空间的差，即，它表示相邻尺度空间的投影之间的细小差别即为函数在相应尺度小波空间上的投影，所以我们又称小波空间为细节空间。在Poission公式基础上可得到小波函数的性质为：对所有的都是相互正交的：同样由于Poission公式可得而且在同一尺度下，因为，所以小波函数和尺度函数之间是正交的，即： 由Poission公式可得三、小波的快速算法快速正交小波变换是Mallat算法的来源，其它的算法可以说都是它的推广。Mallat提出快速滤波器组算法，用于计算优先分辨率下测量的信号的正交小波系数，它不断的将每一逼近分解成较粗糙的逼近与小波系数之和。另一方面由小波系数所做的重构可以恢复原来的近似信号。因为和是和的规范正交基，在这两个空间的投影可以刻画为和记并记 则小波分解可由下式表示 （3.1） （3.2）小波重构