矩阵的特征值与特征向量(完整版)实用资料.doc

矩阵的特征值与特征向量（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第五章 矩阵的特征值与特征向量第一讲 特征值与特征向量 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生理解特征值与特征向量及相似矩阵基本概念，掌握特征值与特征向量的求解方法及其主要性质教学重点与难点：特征值与特征向量的求解教学计划时数：2课时教 学 过 程：一、基本概念定义1 设是阶方阵，若对于数，存在维非零向量，使得 （1）成立，则称数为方阵的一个特征值，非零向量称为的属于特征值的一个特征向量.说明：（1）式可以等价地写成： ， （2）而（2）式存在非零列向量的充分必要条件是， （3）即 .定义2 设是一个未知量，矩阵称为的特征矩阵，行列式称为矩阵的特征多项式，方程称为的特征方程，它的根称为的特征根，的特征根即为的特征值.说明：1、特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶方阵在复数范围内有个特征值. 2、 若是的属于特征值的特征向量，则的任何一个非零倍数也是的属于特征值的特征向量. 且可以推广到有限个的情形().3、特征向量不是被特征值所唯一决定. 相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一个特征值.二、求解方法根据上述定义和讨论，即可得出阶方阵的特征值和特征向量的求法：1、计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，即的全部特征值；2、对每个求出的特征值，求齐次线性方程组的一组基础解系，则 不全为是的属于特征值的全部特征向量.例1：求矩阵的特征值和特征向量.解 特征多项式为：,所以的特征值为.当时，由, 解得，求得基础解系为 .所以是的属于特征值的一个特征向量，而是的属于特征值的全部特征向量.当时，由，解得，求得基础解系为 .所以是的属于特征值的一个特征向量，而是的属于特征值的全部特征向量.例2：求矩阵的特征值与特征向量.解 的特征多项式为 ,所以的特征值为.当时，解方程，由，求得基础解系为：.所以是的属于特征值的全部特征向量.当时，解方程，由，求得基础解系为:.所以是的属于特征值的全部特征向量.例3：求矩阵的特征值与特征向量.三、主要性质性质1 阶矩阵与它的转置矩阵的特征值相同.证明 因为,所以与的特征多项式相同，从而它们的特征值相同.性质2 设阶矩阵的特征值为，则有(1)；(2).推论 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的任一特征值不为零.性质3 设是阶矩阵A的特征值，则是的特征值；当A可逆时，是的特征值. 推论1 设是阶可逆矩阵A的特征值，则是的特征值.推论2 设是A的特征值，则是的特征值；是的特征值，其中是的多项式，是矩阵A的多项式.例4：设3阶矩阵A的特征值为，求.定理1 设是方阵的属于两个不同特征值的特征向量，则线性无关.定理2 设是阶矩阵的属于互不相等的特征值的特征向量，则线性无关.说明：属于矩阵不同特征值的特征向量是线性无关的. 另外，定理还可以进一步推广为:定理3 设是阶矩阵的不同特征值，而是的属于特征值的线性无关的特征向量，则向量组也线性无关.例5：设是方阵的两个不同的特征值，是的分别属于的特征向量，证明不是的特征向量.四、相似矩阵定义3 设都是阶矩阵，若存在一个阶可逆矩阵，使得：成立，则称与相似. 对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.例如 矩阵与矩阵相似，因为存在可逆矩阵，使得.说明：1、若与相似，则也与相似.所以我们常说相似，也就是指对中的任一个矩阵总可以找到可逆矩阵，通过相似变换化为另一个矩阵.2、相似矩阵具有以下基本性质：（1）相似矩阵的转置矩阵也相似；（2）相似矩阵的幂也相似；（3）相似矩阵的多项式也相似；（4）相似矩阵的秩相等；（5）相似矩阵的行列式相等；（6）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.（7）若阶矩阵相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值相同.（8）若阶矩阵与对角矩阵相似，则即是的个特征值.3、若矩阵与对角矩阵相似，即有可逆矩阵，使，或，则 ，其中是的多项式.而对于对角矩阵，有，由此可方便地计算及的多项式.4、哈密尔顿凯莱定理设是阶矩阵的特征多项式，若与对角矩阵相似，则.事实上，若与对角矩阵相似，即有可逆矩阵，使，其中为的特征值，有.由得.哈密尔顿凯莱（Hamilton-Cayley）定理：设是阶矩阵，是的特征多项式，则. 第二讲 矩阵相似对角化的条件教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解矩阵相似对角化的条件，并掌握矩阵对角化的过程.教学重点与难点：矩阵相似对角化的条件教学计划时数：2课时教 学 过 程：由于相似的矩阵的特征值相同，且对角矩阵的特征值为其主对角线上的元素。因此，矩阵的特征值、行列式或秩等的研究，均可转化为对它们的相似对角形矩阵的研究。但是，任一矩阵是否都能与对角矩阵相似呢？一、可相似对角化的概念与条件定义1：若阶矩阵与对角矩阵相似，则称是可相似对角化的，简称可对角化，并称是的相似标准形.问题：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使为对角形.定理1：阶矩阵可相似对角化A有n个线性无关的特征向量.推论：若阶矩阵的个特征值互不相等，则可相似对角化.如：2阶矩阵有两个互不相等的特征值：，所以可对角化，又分别是属于的特征向量，它们是线性无关的，若令，则有.一个阶矩阵，若它有重特征值，则它应具备什么条件才有个线性无关的特征向量呢？给出下面的一个结论：定理2：n阶矩阵A可对角化属于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即对A的每个重特征值，矩阵的秩等于.说明：，则基础解系所含的向量个数为：.例1：设，问为何值时，矩阵可对角化?解 ，得的特征值：.对应，解方程，可求得1个线性无关的特征向量（非零即无关）。故矩阵可对角化对应重根有2个线性无关的特征向量方程的系数矩阵的秩.即由 因为，则，即.故，当时，矩阵可对角化.二、矩阵可对角化的判断我们知道，并非每一个矩阵都可对角化，那么如何判断阶矩阵是否可对角化？我们可以采用如下具体步骤：1、求出的全部特征值，设为，且其相应的重数分别.2、对每个特征值，解齐次线性方程组：，可得属于特征值的线性无关的特征向量，设为.3、若，则可对角化；若，则不可对角化.4、当可对角化时，把个线性无关的特征向量当作矩阵的列向量，即令，则 成为对角矩阵，其主对角线上的元素恰好是的所有互不相等的特征值，并且的列向量顺序与对角元素顺序对应.例2：判断矩阵可否对角化，若能的话，将它化为标准形.解 由 求得的特征值为：.当时，解方程可得一个线性无关特征向量（基础解系）为；当时，解方程，由可得两个线性无关特征向量（基础解系）为.由于线性无关，即有三个线性无关的特征向量，所以可对角化.令，则.第三讲 实对称矩阵及其相似对角化教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握实对称矩阵的相似对角化方法.教学重点与难点：相似对角化方法教学计划时数：2课时教 学 过 程：上一节我们讨论了一般矩阵的相似对角化问题：，则.下面讨论实对称阵的特殊性质及相似对角化问题.一、基本性质 性质1 实对称矩阵的特征值都是实数.说明：对实对称矩阵，因其特征值是实数，故齐次线性方程组：是实系数方程组，它有实的基础解系，所以属于特征值的特征向量可以取为实向量.性质2 属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的.证明 设是实对称矩阵的属于两个不同特征值的特征向量，则有.因为，所以有 即 。即向量与向量正交.性质3 设是阶实对称矩阵的重特征值，则矩阵的秩，从而对于特征值，恰有个属于的线性无关的特征向量.性质4 实对称矩阵一定可以对角化.证明 设实对称矩阵的不同特征值为：，且重数分别为：.由性质3知：对于特征值，恰有个属于的线性无关的特征向量：，则有个特征向量且线性无关。所以故可对角化，即存在可逆矩阵，使为对角矩阵. 说明：如果把特征向量：正交单位化，得到个两两正交的单位特征向量：.令，则T为正交矩阵（）且.性质5 对阶实对称矩阵，必有正交矩阵，使：, 其中是以的个特征值为主对角线上元素的对角矩阵.二、实对称矩阵的相似对角化方法 实对称矩阵，不仅存在可逆矩阵，使为对角矩阵，而且存在正交矩阵使为对角矩阵（称可正交相似对角化）. 步骤：1、求出的全部互不相等的特征值；2、对，由求出基础解系：；3、将属于每个的特征向量先单位正交化，可得到个两两正交的单位特征向量；4、令，则有，其中与的排列顺序一致.注意：当阶实对称矩阵有个互不相同特征值时，只需对其相应的特征向量单位化，得：，令，则为所求正交矩阵.例1：设，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解 由求得的特征值为：.当时，解方程，由，得基础解系，将单位化，得.当时，解方程，由，得基础解系，将单位化，得.当时，解方程，由，得基础解系，将单位化，得.令，则有且T为正交矩阵. 例2：设，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解 由 求得的特征值为：.当时，解方程，由，得基础解系，将单位化得.当时，解方程，由，得基础解系. 将正交化：取，.再将单位化，得.令，则有且T为一个正交矩阵.例3：设，求.解 因是实对称矩阵，故可对角化，即有可逆矩阵及对角矩阵，使.于是，从而.由 ,得的特征值为.于是，.当时，由，得；当时，由，得.令，从而.故.第四讲 习题课教 学 目 的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.教学计划时数：2课时教 学 过 程：一、内容总结1、矩阵的特征值与特征向量的定义： 2、矩阵的特征值与特征向量的性质：1）属于不同特征值的特征向量线性无关；2）实对称矩阵的特征值都是实数；3）属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交；4）对实对称矩阵的重特征值，恰有个线性无关的特征向量.3、求法：1）按定义求；2）解特征方程求出特征值，解齐次线性方程求特征向量. 4、相似矩阵的定义：；5、相似矩阵可对角化的定义：与对角矩阵相似；6、矩阵可对角化的条件：1）充分条件；2）充要条件；3）实对称矩阵一定可对角化，一定正交相似于对角阵；7、相似矩阵的应用：二、作业讲评三、练习 1.设，则A的特征值为.2.设为阶矩阵，若方程有非零解，则必有一个特征值为.3设为阶可逆矩阵，若为的一个特征值，则必有特征值.4.若4阶矩阵与相似，的特征值为，则行列式.5设（1）试求矩阵的特征值；（2）利用（1）小题的结果，求矩阵的特征值6设矩阵可逆，向量是的伴随矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，试求和的值7已知是矩阵的一个特征向量（1）试确定参数及特征向量所对应的特征值；（2）问能否相似于对角阵？说明理由8设矩阵问当为何值时，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵？并求出和相应的对角矩阵9设是奇数阶正交矩阵，且，试证明:是的特征值.10设阶实对称矩阵的特征值相同，证明：存在阶矩阵和正交矩阵，使得矩阵特征值和特征向量的几何意义（-by 小马哥整理）从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放，比如我们考虑下面的矩阵：(列向量 特征值为：1=1.81，2=0.69 注意，这里U 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，我们有1T U U -=。用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下面笑脸图案： 图1.1 的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案：图1.1可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。根据特征向量的定义，我们知道1U AU -=，也即，T U AU =，那么：TA U U =假设我们把笑脸图案也看作某一个矩阵C ，那么，矩阵A*C，即把矩阵A 作用于C ，可以理解为：TU U C 我们从这个式子就可以看出来，A 矩阵是从旋转和沿轴缩放的角度来作用于C ，分成三步： 第一步，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴，这一步相当于用U 的转置，也就是T U 进行了变换图1.2第二步，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵1.810.69，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩放： 图1.3 第三步，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘U 就可以了 图1.4所以，从旋转和缩放的角度，一个矩阵变换就是，旋转->沿坐标轴缩放->转回来，的三步操作。多提一句，这里给的是个(半 正定矩阵的例子，对于不镇定的矩阵，也是能分解为，旋转->沿坐标轴缩放->旋转，的三步的，只不过最后一步和第一步的两个旋转不是转回去的关系了，表达如下：TT U V=这个就是SVD 分解，就不详细说了。另外，这个例子是二维的，高维类似，但是形象理解需要脑补。矩阵特征值和特征向量解法的研究周雪娇（德州学院数学系，山东德州 253023）摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率.关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之特征值问题.1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质1.1 矩阵特征值与特征向量的定义设是阶方阵，如果存在数和维非零向量，使得成立，则称为的特征值，为的对应于特征值的特征向量.1.2 矩阵特征值与特征向量的性质矩阵特征值与特征向量的性质包括：（1）若重特征值，则个线性无关的特征向量，其中.（2）若线性无关的向量都是矩阵的对应于特征值的特征向量，则当不全为零时，仍是的对应于特征值的特征向量.（3）若的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵的特征值分别为，则 ，. （5）实对称矩阵的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若是实对称矩阵的重特征值，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量. （7）设为矩阵的特征值，为多项式函数，则为矩阵多项式的特征值.2 普通矩阵特征值与特征向量的求法2.1 传统方法确定矩阵的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步：（1） 求出矩阵特征多项式的全部特征根；（2） 把所求得的特征根逐个代入线性方程组，对于每一个特征值，解方程组，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.例1 已知矩阵求矩阵的特征值和特征向量.解 = = 所以，由知的特征根. 当时， 由，即= 0得， 因此，属于特征值的特征向量为 . 当时， 由,即 = 0 得，因此，属于特征值的特征向量为 .2.2 列行互逆变换法把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换：（1）互换两列，同时互换两行；（2）第列乘以非零数,同时第行乘； （3）第列倍数加到第列，同时第行倍加到第行.例2 已知矩阵求的特征值和特征向量. 解 所以，特征值，对应特征值的特征向量为，对应特征值的特征向量为.2.3 列初等变换法列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤是：（1）将经过一系列初等变化变成，其中为含的下三角矩阵，为经过初等变换得到的矩阵；（2）令主对角线元素之积为零，求出根即为特征值；（3）将求出的代入中为，在进行列初等变换，当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，中后的个列向量即为 对应的特征向量. 例3 已知矩阵求矩阵的特征值和特征向量.解 = = 由知的特征根.当时， ,特征向量为 .当时， = ,特征向量为 .3 矩阵特征值与特征向量在线性变换中的应用例4 设是数域上的维线性空间，线性变换在的基下的矩阵为（1） 求线性变换在的基下的矩阵；（2） 求线性变换的特征值与特征向量. 解（1）因为=所以由基到基的过渡阵为而在下的矩阵为所以在下的阵为 = （2）计算可得= = =所以有3个相同的特征值，代入特征方程，有可得，故的属于特征值的线性无关的特征向量为.4 正互反阵特征值与特征向量的求法4.1 正互反阵的定义 矩阵（，）称为正互反阵，其中元素与须互为倒数，即.4.2 和法： ； ； ； .这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量.因为当为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以若得不一致性不严重，则取的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的. 例5 运用和法求矩阵的特征值和特征向量.解 = = ； = = .则特征根为.因此，运用和法计算的特征向量，特征值为.4.3 根法 将A的每一列向量归一化得； 将按行求积并开次方，即； 将归一化，； 计算，作为最大特征值的近似值.例6 运用根法计算的特征值与特征向量.解 = = = = = 因此，特征向量为. 根据以上两种方法，不难发现和法较为简便.和法和根法都是采用平均值来计算特征向量，只是和法是求列向量的算术平均值，而根法是求几何平均值.两种方法都比定义法计算高阶矩阵特征向量简便得多，是正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法.5 小结本文给出了矩阵特征值与特征向量的定义及性质，并且对一般矩阵及特殊矩阵正互反阵特征值与特征向量的解法进行了归纳总结，最后给出了这些解法的具体实现步骤.通过文章的梳理总结，在比较中让人们更好更快的确定解题方法，提高解题效率. 参考文献：1 向以华.矩阵特征值与特征向量的研究J.重庆三峡学院报，2021（02）：1-2.2 王萼芳，石生明.高等代数M. 北京：高等教育出版社，2003.3 钱吉林，刘丁酉.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社，2005.4 黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法J.福建信息技术教育，2006（05）：34.5 孟道骥.高等代数与解析几何M. 北京：科学出版社，1988.6 施劲松，刘剑平.矩阵特征值、特征向量的确定J.大学数学，2003（01）：5.7 赵院娥，李顺琴.矩阵的特征值与特征向量J.江西科学，2021（05）：2.8 徐树方.矩阵计算的理论与方法M.北京：北京大学出版社，1992.9 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院报，2021（03）：1.The Research on Eigenvalues and Eigenvectors of MatrixZhou Xue-jiao(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou Shandong 253023) Abstract:In this paper,some solution methods for the matrix eigenvalues and eigenvectors are inducted.In comparison ,people are easy to find the best solution and improve problems solving efficiency through the article's summing . Key words: Matrix; Eigenvalue;Eigenvector; solution谢 辞 本研究及学位论文是在我的导师刘耀斌的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，刘老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。刘老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给以无微不至的关怀，在此谨向刘老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的同学和舍友，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!愿把我的幸福和快乐都送给关心和支持过我的人，也愿你们一切如意。