九年级数学中考复习+四边形综合+正方形专题+.docx

九年级数学中考复习 四边形综合正方形专题1（2023金寨县一模）如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不含，两点），将沿直线翻折，点落在点处，在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，（1）求证：；（2）求的周长；（3）求线段长度的最小值2（2023周村区一模）如图，在正方形中，是边上的一点，过点作的垂线交于点，交于点，连接并延长交于点（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）若，求的面积3（2023春江岸区期中）（1）【操作与探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，延长至点，使得，连接，请根据题意画出图形求证：；若，求正方形的边长（2）迁移与应用如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），、分别是，上一点，交于点，若，直接写出的值：4（2023东莞市校级模拟）如图，已知正方形在边上取点，连接将沿着翻折，点的对应点是连接，过点作，交的延长线于点，连接（1）若，求的正切值（2）求的大小（3）当落在上时，证明：5（2023春江岸区校级月考）如图1，在矩形中，点是边上一点，于点，交于点（1）求证：；（2）如图2，若，直接写出；求的值；（3）如图3，若，直接写出（用含有的代数式表示）6（2023江西模拟）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点（1）【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是 ；（2）【尺规作黄金分割点】如图2，在中，则，在上截取，则，在上截取，则的值为 ；（3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点；（4）【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为 7（2023历下区一模）如图1，已知正方形与正方形有公共顶点，点在正方形的对角线上（1）如图2，正方形绕点顺时针方向旋转，和的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图3，正方形绕点逆时针方向旋转，求的值以及直线和直线所夹锐角的度数；（3）如图4，点在对角线上，将正方形绕顺时针方向旋转，点是边的中点，过点作交于点；在旋转过程中，线段的长度是否变化？如果不变，请直接写出的长度；如果改变，请说明理由8（2023鄞州区校级一模）（1）特殊发现如图1，正方形与正方形的顶点重合，、分别在、边上，连接，则有：； 直线与直线所夹的锐角等于 度；（2）理解运用将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接、，如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；如图3，若、三点在同一直线上，且过边的中点，直接写出的长 ；（3）拓展延伸如图4，点是正方形的边上一动点（不与、重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由9（2023庐阳区校级一模）【初步尝试】（1）如图1，在正方形中，点，分别为、边上的点且，求证：（2）【思考探究】如图2，在矩形中，点为中点，点为上一点，连接、且，求的值（3）【拓展应用】如图3，在四边形中，点、分别在线段、上，且直接写出的值10（2023昆明模拟）综合与实践【问题情境】数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，交于点，求证：数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：由正方形的性质得到，再由垂直和平行可知，再利用同角的余角相等得到，则可根据“”判定，得到，所以【建立模型】该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：（1）如图2，四边形是正方形，是对角线上的点，连接，求证：四边形是菱形；【模型拓展】该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；（2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，求的值答案版1 【解答】证明：（1），四边形是正方形，（2）将沿直线翻折，点落在点处，且四边形是正方形，又，的周长为：；所以的周长为4（3）设，则，作于，最小时最小，时，最小值，的最小值，所以，线段长度的最小值为2 【解答】（1）证明：于，在正方形中，；（2）解：过点作交于，在和中，；（3）解：过点作交于，在和中，又，设，则，解得，或3，作于，点为的中点，或，或3 【解答】（1）画图如图所示，5证明：四边形是正方形，；解：设正方形边长为，由得，根据勾股定理得，解得，正方形的边长（2）解：作，连接，设正方形的边长为，四边形是平行四边形，根据勾股定理得，解得，则，故答案为：4 【解答】（1）解：将沿着翻折，为等边三角形，；（2）解：将沿着翻折，；（3）证明：当落在上时，如图所示，5 【解答】（1）证明：四边形为矩形，；（2）解：四边形为矩形，四边形为正方形，设，则：，；故答案为：；设，则：，由可知：，；过点作于点，则：，即：，；（3）解：四边形为矩形，四边形为正方形，设，则：，过点作于点，则：，即：，；故答案为：6 【解答】（1）解：设，则，即，解得或（舍去）经检验，是原方程的解，故答案为：（2）解：在中，设，则，解得或（舍去），经检验是原方程的解，则故答案为：，（3）解：如图，设与交点为，且为中点，过作，平分，设，即，解得，经检验为原方程的解，为的黄金分割点（4）解：如图：延长、交于点，过作，过作交于点，过作，取、交点，即，又，是等腰直角三角形，在和中，为的黄金分割点，设，设，解得，经检验，符合题意，7 【解答】解：（1）如图所示，过点作交于点，正方形与正方形，即又，和的数量关系是相等，位置关系是垂直，故答案为：，；（2）连接，由旋转性质知，在和中，延长、交于点，；（3），点是边的中点，点在对角线上，过点作，在中，即点，重合，设，则，如图所示，连接，过点作交于点，是等腰直角三角形，又，、四点共圆，线段是一个定值，8 【解答】解：（1）连接，如图，四边形和四边形为正方形，三点在一条直线上，和为等腰直角三角形，；，三点在一条直线上，直线与直线所夹的锐角等于故答案为：；45；（2）（1）中的结论仍然成立，理由：连接，如图，四边形和四边形为正方形，和为等腰直角三角形，；延长，交于点，交于点，即直线与直线所夹的锐角等于，（1）中的结论仍然成立；连接，如图，四边形为正方形，由知：，边的中点为，在和中，故答案为：；（3）的值是定值，定值为3，理由：过点作于点，连接，与交于点，如图，四边形为正方形，由折叠的性质可得：，为等腰直角三角形，由（2）的结论可得：，的值是定值，定值为39 【解答】（1）证明：四边形是正方形，；（2）解：如图1，延长，交的延长于，四边形是矩形，点、在以点为圆心，为半径的圆上，；（3）解：如图2，过点作于，作于，作，四边形是矩形，四边形是平行四边形，同理（1）可得：，设，10 【解答】（1）证明：四边形是正方形，四边形是平行四边形，是菱形；（2）解：如图，把绕点逆时针旋转点得到，连接，四边形是正方形，以为直径作圆，则点，均在此圆上，由旋转得，在与中，由，设，则，在中，则，正方形的边长为12，由勾股定理得，即， 30 / 30学科网（北京）股份有限公司