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第四节第四节 极限的基本性质极限的基本性质 第一章第一章 一、极限的唯一性一、极限的唯一性二、收敛数列的有界性及有极限二、收敛数列的有界性及有极限 函数的局部有界性函数的局部有界性三、极限的保号性三、极限的保号性(或局部保号性或局部保号性)四、收敛数列与其子列的关系四、收敛数列与其子列的关系五、函数极限与数列极限的关系五、函数极限与数列极限的关系如果极限如果极限那么极限唯一那么极限唯一.证证 (用反证法用反证法)及及且且取取因因存在存在 N1,使当使当 n N1 时时,假设假设一、唯一性一、唯一性定理定理1.1(极限的唯一性极限的唯一性)即当即当 n N1 时时,从而从而 使当使当 n N1 时时,同理同理,因因故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有从而从而 使当使当 n N2 时时,有有矛盾！矛盾！因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时,故假设不真故假设不真!例例1 证明数列证明数列是发散的是发散的.证法证法1 (用反证法用反证法)假设数列假设数列收敛收敛,则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在.对于对于则存在则存在 N,使当使当 n N 时时,有有因此该数列发散因此该数列发散.于是推得于是推得矛盾！矛盾！区间长度为区间长度为1这与这与二、有界性二、有界性例如例如:有界有界无界无界定理定理1.2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性)如果数列如果数列收敛收敛,那么数列那么数列一定有界一定有界.问题问题 对于无限多项对于无限多项如何求如何求 M？证证 设设取取则则当当时时,从而有从而有取取 则有则有即收敛数列必有界即收敛数列必有界.有有例如例如,虽有界但不收敛虽有界但不收敛.数列数列关系：关系：收敛收敛 有界有界反之未必成立反之未必成立.如果极限如果极限存在存在,则必存在则必存在 X 0,f(x)是有界的是有界的.使得当使得当推论推论 无界数列必发散无界数列必发散.定理定理1.2(函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性)注注类似地，类似地，三、三、保号性、保序性保号性、保序性定理定理1.3(收敛数列的保号性收敛数列的保号性)(1)若若则则使当使当n N 时，时，()()(2)若若则则 a 0.(0,取取证证(1)(2)用反证法证明用反证法证明.注注如：如：据此，可由极限符据此，可由极限符号推得函数在该点号推得函数在该点邻域内的符号邻域内的符号据此，可由函数在该点邻据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号域内的符号推得极限符号推论推论1.3(收敛数列的保序性收敛数列的保序性)使当使当n N 时，恒有时，恒有(1)若若时时,有有证证定理定理1.3(函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)(1)如果如果且且 A 0,则存在则存在(A 0)(2)如果如果且存在且存在A 0.则则(A 0).据此，可由极限符据此，可由极限符号推得函数在该点号推得函数在该点邻域内的符号邻域内的符号据此，可由该点邻据此，可由该点邻域内函数的符号推域内函数的符号推得极限的符号得极限的符号若若 f(x)0 时时,有有 f(x)g(x),但是但是不能！不能！问题问题在子数列在子数列中中,一般项一般项是子数列的第是子数列的第k 项项,在原数列在原数列 xn 中则是第中则是第项项.四、四、收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系1.子数列的概念子数列的概念数列数列 xn 的子数列的子数列(或子列或子列)例如例如,从数列从数列中抽出所有的偶数项中抽出所有的偶数项 是其子数列是其子数列.它的第它的第k 项是项是而而在原数列中则是第在原数列中则是第2k 项项.组成的数列：组成的数列：2.收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系定理定理1.4也收敛，且也收敛，且证证 设设的任一子数列的任一子数列.若若则则当当 有有取正整数取正整数 K,使使于是当于是当时时,从而有从而有注注1某某收敛收敛例如，例如，但但发散发散.2若数列有两个子数列收敛于不同的极限，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散.例例1 证法证法2 发散发散!3五、五、函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系如果极限如果极限存在存在,为函数为函数 f(x)的的敛于敛于的数列的数列,且满足且满足:那么相应的函数那么相应的函数 值数列值数列必收敛必收敛,且且的定义域内任一收的定义域内任一收定理定理1.4(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)证证注注1 常常常常利用上述结果来求数列的极限利用上述结果来求数列的极限:例如例如:2 常利用此定理来说明函数极限不存在常利用此定理来说明函数极限不存在.方法方法1 找一个数列找一个数列不存在不存在.方法方法2 找两个趋于找两个趋于的不同数列的不同数列及及说明说明例例2 证明证明不存在不存在.证证 取两个趋于取两个趋于 0 的数列的数列及及有有由定理由定理1.5 ，知知不存在不存在.二者不二者不相等相等,有界函数未有界函数未必有极限必有极限.内容小结内容小结1.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性,有界性有界性,保号性保号性,保序性保序性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限2.函数极限的性质函数极限的性质:唯一性唯一性,局部有界性局部有界性,局部保号性局部保号性,局部保序性局部保序性;3.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系思考题思考题1.如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知已知,求求时时,下述作法是否正确下述作法是否正确?说明理由说明理由.设设由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得不对不对!此处此处
