连续系统常用的数学模型.ppt
第四章第四章补充补充连续系统常用的数学模型及其转换连续系统常用的数学模型及其转换1微分方程及传递函数的多项式模型微分方程及传递函数的多项式模型 在在MATLAB MATLAB 语语言言中中，可可以以利利用用分分别别定定义义的的传传递递函函数数分分子子、分分母母多多项项式式系系数数向向量量方方便便地地加加以以描描述述。例例如如对对于于（2-22-2）式式，系系统统可可以以分分别别定定义义传传递递函函数数的的分子、分母多项式系数向量为：分子、分母多项式系数向量为：例例1已知系统传递函数为利用MATLAB将上述模型表示出来，并将其建立在工作空间中。解解:补充知识：MATLAB的基础知识的基础知识一一.MATLAB简介简介MATLAB具有以下主要特点：具有以下主要特点：1)超强的数值运算功能。在MATLAB里，有超过500种的数学、统计、科学及工程方面的函数可供使用，而且使用简单快捷。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。2)语法限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。3)程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。4)强大的数据可视化功能。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATMB里，数据的可视化非常简单。MATIAB还具有较强的编辑图形界面的能力。5)丰富的工具箱；由各学科领域内学术水平很高的专家编写的功能强劲的工具箱，使用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、尖的研究。二二.MATLAB的工作环境的工作环境启动MATIAB6.x后，显示的窗口如图所示。而选中命令窗口中View菜单的“DockcommandWindow”子菜单又可让命令窗放回桌面(MATIAB桌面的其他窗口也具有同样的操作功能)。窗口中的符号“”，表示MATIAB已准备好，正等待用户输入命令。用户可以在“”提示符后面输入命令，实现计算或绘图功能。在命令窗口中，可使用方向键对已输入的命令行进行编辑，如用“”键或“”键回到上一句指令或显示下一句命令。(3)工作空间窗口“Work-space”工作空间指运行MATLMB程序或命令所生成的所有变量构成的空间。每打开一次MATLAB，MATIAB会自动建立一个工作空间。(4)命令历史窗口“CommandHistory”例例2已知系统传递函数为利用MATLAB将上述模型表示出来。解：解：其MATLAN命令为：num=7*2,3;den=conv(conv(conv(1,0,0,3,1),conv(1,2,1,2),5,0,3,8);sys=tf(num,den)运行结果：运行结果：Transferfunction:14s+2115s8+65s7+89s6+83s5+152s4+140s3+32s22传递函数的零极点增益模型传递函数的零极点增益模型 在在MATLABMATLAB里，用函数命令里，用函数命令zpk()zpk()来建立控制系统的零极点增来建立控制系统的零极点增益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型。益模型。zpk()zpk()函数的调用格式为：函数的调用格式为：sys=zpk(z,p,k)zpk(z,p,k)函数返回的变量sys为连续系统的零极点增益模型。例例3已知系统传递函数为，利用MATLAB将上述模型表示出来。k=5;z=-20;p=0,-4.6,-1;sys=zpk(z,p,k)结果：结果：Zero/pole/gain:5(s+20)-s(s+4.6)(s+1)解解：3状态空间模型状态空间模型 在MATLAB中，用函数ss()来建立控制系统的状态空间模型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统状态空间模型。ss()函数的调用格式为：sys=ss(a,b,c,d)函数的返回变量sys为连续系统的状态空间模型。函数输入参数a,b,c,d分别对应于系统的A，B，C，D参数矩阵。例例4已知系统的状态空间描述为利用MATLAB将上述模型表示出来。P41 P41 作业作业2-22-2解解：a=2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75;b=4;2;2;0;c=0,2,0,2;d=0;sys=ss(a,b,c,d)4.三种数学模型之间的转换三种数学模型之间的转换表2-1数学模型转换函数及其功能函数名函数功能ss2tf将系统状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp将系统状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss将系统传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp将系统传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss将系统零极点增益模型换为状态空间模型zp2tf零极点增益模型换为传递函数模型(1)(1)控制系统模型向传递函数或零极点增益形式的转换控制系统模型向传递函数或零极点增益形式的转换1.1.状态方程向传递函数形式的转换状态方程向传递函数形式的转换num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu用于指输入量序号，对于单输入系统iu=1；返回结果num为传递函数分子多项式系数，按s的降幂排列；相应的传递函数分母系数则包含在矩阵den中。为了获得传递函数的形式，还可以采用下述方式进行，即：G1=ss(A,B,C,D);G2=tf(G1)例例5已知连续系统的状态空间描述如下，求相应的传递函数模型。a=2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25;0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75;b=4;2;2;0;c=0,2,0,2;d=0;T=1;num,den=ss2tf(a,b,c,d,T);sys=tf(num,den)2.2.模型向零极点形式的转换模型向零极点形式的转换其基本格式为：z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)状态方程模型转换为零极点模型z,p,k=tf2zp(num,den)传递函数模型转换为零极点模型G1=zpk(sys)非零极点模型转换为零极点模型例例6已知连续系统的状态空间描述如下，将其转换成零极点形式。(2)(2)系统模型向状态方程形式的转换系统模型向状态方程形式的转换其基本格式为：a,b,c,d=tf2ss(num,den)a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)G1=ss(sys)例例7已知系统传递函数为利用MATLAB将上述模型转换成状态空间模型。(3)(3)约当规范状态方程的实现约当规范状态方程的实现 在在MATLABMATLAB中提供给用户一个规范实现函数中提供给用户一个规范实现函数canon,canon,以进行线性定以进行线性定常系统模型常系统模型syssys的规范状态空间表达式的实现的规范状态空间表达式的实现.其基本格式：其基本格式：G1=canon(sys,G1=canon(sys,modalmodal)同时，规范实现函数canon还可以返回状态变换阵TG1G1，T=canon(sys,T=canon(sys,modalmodal)例例8现代控制理论教材P46-47试用canon函数将下列状态空间表达式化为约当标准型。在现代控制理论课程中变换后的状态空间表达式为：解：A=0,1,0;0,0,1;2,3,0;B=0;0;1;C=1,0,0;D=0;sys=ss(A,B,C,D,1);G1,T=canon(sys,modal)控制系统建模的基本方法控制系统建模的基本方法1.解析法建立数学模型解析法建立数学模型如：现代控制理论例试列写如图所示RLC的电路方程，建立系统的状态空间表达式。解：根据电路定律可列写如下方程：2.实验建模法实验建模法自动控制原理P131一一.正弦信号产生器正弦信号产生器在进行频率响应实验时，必须提供适当的正弦信号产生器。对于大时间常数系统，实验所需要的频率范围约为0.00110赫兹；对于小时间常数系统，实验所需要的频率范围约为0.11000赫兹。正弦信号必须没有谐波或波形畸变。二由二由Bode图求最小相位系统传递函数图求最小相位系统传递函数 为了确定传递函数，首先要画出实验得到的对数幅值曲线的渐进线。渐进线的斜率必须是20分贝/十倍频程的倍数。图2.2-1表示了0型、型、型系统的对数幅值曲线，同时也表示了频率与增益K之间的关系。2.2-1三频率响应法建立系统传递函数模型举例三频率响应法建立系统传递函数模型举例例例用实验方法测得某系统的开环频率响应数据表2-1。试用表中数据建立该系统开环传递函数模型G(s)。解解（1）由已知数据绘制该系统的开环频率响应的Bode图。（2）20dB/dec及其倍数的折线逼近幅频特性，如图中折线。得两个转折频率。求出相应惯性环节的时间常数为：（3）由低频段幅频特性知道：所以K=1。（4）由高频段相频特性知，相位滞后已超过-1800，且随着增大，相位滞后加大，显然该系统存在纯滞后环节 ，为非最小相位系统。（5）设法确定纯滞后时间设法确定纯滞后时间值值。查图中而按所求得的传递函数，应有解得：1=0.37s。再查图中解得：2=0.33s。（6）最终求得该系统开环传递函数模型G(s)为：3 3控制系统建模实例控制系统建模实例独轮自行车实物仿真问题独轮自行车实物仿真问题1 1问题提出问题提出2.3-12.3-2控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆问题”（如图2.3-3所示）。2.3-3G2 2解析法建立该系统数学模型解析法建立该系统数学模型1 1）根据牛顿第二定律，在水平）根据牛顿第二定律，在水平x x轴方向满足：轴方向满足：2 2）摆杆重心的水平运动可描述为：）摆杆重心的水平运动可描述为：3 3）摆杆重心的垂直方向上的运动可描述为：）摆杆重心的垂直方向上的运动可描述为：4）摆杆绕其重心的转动方程为：）摆杆绕其重心的转动方程为：整理式（2）和式(6)3 3模型简化模型简化 因为摆杆是均质细杆,所以可以求其对于质心的转动惯量.设单位长度的质量为 ,取杆上一个微段dx,其质量为,则此杆对于质心的转动惯量有:当小车的质量M=1kg；倒立摆的质量m=1kg；倒摆长度2=0.6m；重力加速度g=10m/s2时得：若只考虑在其工作点附近0=0附近（-100100）的细微变化，则可以近似认为：其等效动态结构图为：其等效动态结构图为：F(s)(s)X(s)设系统状态为：设系统状态为：本章小结本章小结
