逆矩阵与广义逆矩阵.ppt

逆矩阵 定义：定义：若一个若一个nn 的正方矩阵有的正方矩阵有n个线性无关的列个线性无关的列向量和向量和n个线性无关的行向量，则这个矩阵个线性无关的行向量，则这个矩阵称为非奇异矩阵。称为非奇异矩阵。对于非奇异矩阵来说才存在逆矩阵，奇异对于非奇异矩阵来说才存在逆矩阵，奇异矩阵一定不存在逆矩阵。矩阵一定不存在逆矩阵。逆矩阵 设设 A 是是 nn 的正方矩阵，如果有的正方矩阵，如果有 nn正方正方矩阵矩阵B，使，使AB=BA=I 则称则称 A 是可逆矩阵，且称是可逆矩阵，且称 B 为为 A 的逆的逆矩阵矩阵.如果矩阵如果矩阵 A 是可逆是可逆 的，则的，则 A 的逆矩阵是唯一的，记其为的逆矩阵是唯一的，记其为 A-1.逆矩阵方阵的奇异性和可逆性的等价说法：（1）A是非奇异矩阵；（2）A-1 存在；（3）rank（A）=n；（4）A的行线性无关，列线性无关；（5）det（A）0；（6）Ax=b对每一个b有唯一解；（7）Ax=0只有平凡解x=0；（行秩列秩，解的情况）逆矩阵 逆矩阵的性质：（1）复共轭转置矩阵AH 的逆矩阵等于逆矩阵A-1 的复共轭转置，即（AH）-1 =（A-1）H（2）若AH =A，则（A-1）H=A-1（3）（A*）-1 =（A-1）广义逆矩阵 引入 ：正方矩阵的逆矩阵推广到长方形矩阵或奇异的正方矩阵，就得到了广义逆矩阵。广义角度，对于任一矩阵L，若它与矩阵A乘积等于单位矩阵I，即LA=I,那么L就是A 的逆矩阵。广义逆矩阵满足以上条件的矩阵L有以下三种情况：（1）在某些情况下，L存在，并且唯一；（2）在另一些情况下，L存在，但并不唯一；（3）在某些情况下，L不存在。广义逆矩阵左、右逆矩阵定义：满足LA=I,但不满足AL=I的矩阵L称为矩阵A 的左逆矩阵；满足AR=I,但不满足RA=I的矩阵称为矩阵A 的右逆矩阵。1.5Ay=x Bz=yCz=x 2 -1 1 4C=AB=1 2 3 -1 =13 3 -2 3 5 2 -9 8Z1 4Z2=X113Z1+3Z2=X2-9Z1+8Z2=X3