线性代数讲义(第一章)课件.ppt

第一章 行列式 二阶、三阶行列式 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 Cramer法则用消元法解二元线性方程组1、二阶行列式1.二阶与三阶行列式方程组的解为由方程组的四个系数确定.为便于记忆，引入记号 其中，数称为行列式的元素。该记号为一个数表，横排称为行，竖排称为列，共有两行两列，故称之为二阶行列式。每一元素有两个下标，第一个下标 i 称为 行标，表明该元素位于行列式的第 i 行；第二个下标 j 称为列标，表明该元素位于行列式的第 j 列；主对角线辅对角线若记对于二元线性方程组则二元线性方程组的解为三阶行列式的计算:对角线法则对角线法则2 n阶行列式的定义1.全排列与逆序数定义1 如，1234和4312都是4阶排列，而53142为一个5阶排列。显然，n阶全排列的个数为n！个。定义2 例1 求下列排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.2.n阶行列式的定义考察三阶行列式的定义（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，其中，行标均按自然顺序排列，列标为3阶排列，当列标取遍所有的3阶排列后，就得到三阶行列 式代数和中的所有项；（3）每项的正负号都取决于三个元素的列标排列的 奇偶性（1）三阶行列式共有6项，即3阶排列的个数；故定义3例2 计算下三角形行列式解展开式的一般项为不为零的项只有 定义4 将一个排列中的两个数位置对调称为对换，将相邻两个数位置对调称为相邻对换。定理1 一次对换改变排列的奇偶性。定理2 定理33 行列式的性质称之为 D 的转置行列式。记性质性质11 行列式与它的转置行列式相等.性质2 交换行列式的两行（列）,行列式变号.说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如推论1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零证明性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如例3 解性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变例如1、行列式与其转置行列式的值相等;2、交换行列式的两行或两列,行列式的值变号;3、用数k乘行列式的某一行(列),等于以数k乘此 行列式;5、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加到另一行的对应元素上，行列式的值不变.行列式的性质4、如果行列式的某一列(行)的每一个元素都可写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和;计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值例4 解将第 列都加到第一列得例5 计算n阶行列式 4 行列式按行(列)展开 余子式与代数余子式行列式按行（列）展开法则在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，余下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作叫做元素 的代数余子式 例如1、余子式与代数余子式 2、行列式按行（列）展开法则 例6定理4 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证相同 考察下述行列式 同理 关于代数余子式的重要性质 证用数学归纳法例7证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式例8 计算n+1阶行列式练习：计算n阶行列式5 Cramer法则 非齐次与齐次线性方程组的概念 Cramer法则 齐次线性方程组的相关定理设线性方程组则称此方程组为n元非 齐次线性方程组;则称方程组为n元齐次线性方程组.1、非齐次与齐次线性方程组的概念2、Cramer 法则定理5 如果n元线性方程组的系数行列式 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为例 9 解线性方程组解