[理学]高等代数第一章-基本概念课件.ppt

湛江教育学院数学系湛江教育学院数学系 李白桦李白桦 高等代数多媒体课程 数学可以把灵活引导到真理。数学可以把灵活引导到真理。数学可以把灵活引导到真理。数学可以把灵活引导到真理。苏格拉底（苏格拉底（苏格拉底（苏格拉底（SocrateSocrate,前前前前469469年年年年前前前前399399年）年）年）年）数学是科学的大门和钥匙。数学是科学的大门和钥匙。数学是科学的大门和钥匙。数学是科学的大门和钥匙。-培根培根培根培根(Roger Bacon,1214-1294)(Roger Bacon,1214-1294)数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，是一种冷而严肃的美美，是一种冷而严肃的美美，是一种冷而严肃的美美，是一种冷而严肃的美.-罗素罗素罗素罗素(Russel,1872-1970)(Russel,1872-1970)美是首要的标准，不美的数学在世界上找不到永久的容身地。美是首要的标准，不美的数学在世界上找不到永久的容身地。美是首要的标准，不美的数学在世界上找不到永久的容身地。美是首要的标准，不美的数学在世界上找不到永久的容身地。哈代（哈代（哈代（哈代（H.Hardy,1877-1947H.Hardy,1877-1947）数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。阿达玛阿达玛阿达玛阿达玛(S.Hadamard,1865-1963(S.Hadamard,1865-1963)第一章 基本概念第二章 多项式第三章 行列式第四章 线性方程组第五章 矩阵第六章 向量空间第七章 线性变换第八章 欧氏空间和酉空间第九章 二次型附录1：代数发展简史附录2：科学与艺术的完美结合 数学价值的鉴赏第一章第一章 基本概念基本概念1.1 1.1 集合集合1.2 1.2 映射映射1.3 1.3 数学归纳法数学归纳法1.4 1.4 整数的一些整除性质整数的一些整除性质1.5 1.5 数环和数域数环和数域 在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。术更为重要。术更为重要。术更为重要。康托尔（康托尔（康托尔（康托尔（Cantor,Cantor,Cantor,Cantor,集合论的奠基人，集合论的奠基人，集合论的奠基人，集合论的奠基人，18451845184518451918191819181918）算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。库。库。库。-高斯（高斯（高斯（高斯（Gauss,1777-1855Gauss,1777-1855Gauss,1777-1855Gauss,1777-1855）数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。以被认为是作为数学家的完全的装备。以被认为是作为数学家的完全的装备。以被认为是作为数学家的完全的装备。-麦斯韦麦斯韦麦斯韦麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)(James Clark Maxwell 1831-1879)(James Clark Maxwell 1831-1879)(James Clark Maxwell 1831-1879)1.1集合集合内容分布内容分布1.1.1 集合的描述性定义集合的描述性定义1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法1.1.3 集合的包含和相等集合的包含和相等1.1.4 集合的运算及其性质集合的运算及其性质教学目的教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法重点、难点重点、难点 集合概念、证明集合相等集合概念、证明集合相等1.1.1 1.1.1 集合的描述性定义集合的描述性定义 表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如如“一队一队”、“一班一班”、“一筐一筐”.组成集合的东西叫组成集合的东西叫这个集合的元素这个集合的元素.我们常用大写拉丁字母我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，表示集合，用小写拉丁字母用小写拉丁字母a，b，c，表示元素表示元素.如果如果a是集合是集合A的元素，就说的元素，就说a属于属于A，记作，记作 ；或者说；或者说A包含包含a，记作，记作Aa 如果如果a不是集合不是集合A的元素，就说的元素，就说a不属于不属于A，记作，记作 ；或者说；或者说A不包含不包含a，记作，记作例如，设例如，设A是一切偶数所成的集合，那么是一切偶数所成的集合，那么4A，而而 .一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合做有限集合.如，前十个正整数的集合；一个学校的如，前十个正整数的集合；一个学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合等这些都是有限集合.如果一个集合是由无限多个元如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合素组成的，就叫做无限集合.如，全体自然数的集合；如，全体自然数的集合；全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都是无限集合是无限集合.不含任何元素的集合叫空集不含任何元素的集合叫空集.表示为：表示为：1.1.2 1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法枚举法枚举法:例如例如,我们把一个含有我们把一个含有n个元素的集合的有限个元素的集合的有限集合集合 表示成：表示成：.前五个正前五个正整数的集合就可以记作整数的集合就可以记作 .枚举仅用来表示有限集合枚举仅用来表示有限集合.拟枚举拟枚举:自自然然数数的的集集合合可可以以记记作作 ,拟拟枚枚举举可可以以用用来来表表示示能能够够排排列列出出来来的的的的集集合合,像像自然数、整数自然数、整数概括原则概括原则:如如果果一一个个集集A是是由由一一切切具具有有某某一一性性质质的的元元素所组成的，那么就用记号素所组成的，那么就用记号来来表表示示.例例如如 表表示示一一切切大大于于-1且且小小于于1的的实实数数的所组成的集合的所组成的集合.常用的数集：常用的数集：全体整数的集合，表示为全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为全体复数的集合，表示为C1.1.3 1.1.3 集合的包含和相等集合的包含和相等设设A A，B B是两个集合，如果是两个集合，如果A A的每一元素都是的每一元素都是B B的元素，那的元素，那么就说么就说是是的子集，记作的子集，记作 （读作（读作属于属于），或），或记作记作 （读作（读作包含包含）.根据这个定义，根据这个定义，是是的的的子集必要且只要对于每一个元素的子集必要且只要对于每一个元素x x，如，如果果 ，就有，就有 .例例如如，一一切切整整数数的的集集合合是是一一切切有有理理数数的的集集合合的的子子集集，而而后者又是一切实数的集合的子集后者又是一切实数的集合的子集.A是是B的子集，记作：的子集，记作：如如果果A A不不是是B B的的子子集集，就就记记作作：或或 .因因此此，A A不不是是B B的的子子集集，必必要要且且只只要要A A中中至至少少有有一一个个元元素素不不属属于于B B，即：，即：例如例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一切偶数所成的集合的子集，因为切偶数所成的集合的子集，因为3 3属于前者但不属于后属于前者但不属于后者者.集合集合11，2 2，33不是不是22，3 3，4 4，55的子集的子集.根据定义，根据定义，一个集合一个集合A A总是它自己的子集总是它自己的子集，即：，即：如果集合如果集合A A与与B B的由完全相同之处的元素组成部分的，就的由完全相同之处的元素组成部分的，就说说A A与与B B相等，记作：相等，记作：A=BA=B.我们有我们有例如例如，设，设A A=1=1，22，B B是二次方程是二次方程 的根的根的集合，则的集合，则A=BA=B.1.1.4 1.1.4 集合的运算及其性质集合的运算及其性质并并运运算算 设设A A，B B是是两两个个集集合合.由由A A的的一一切切元元素素和和B B的的一一切切元元素素所所成成的的集集合合叫叫做做A A与与B B的的并并集集（简简称称并并），记记作作 .如图如图1 1所示所示.AB例如例如，A=1，2，3，B=1，2，3，4，则，则又又例例如如，A是是一一切切有有理理数数的的集集合合，B是是一一切切无无理理数数的的集集合，则合，则 是一切实数的集合是一切实数的集合.显然，显然，或或根据定义，我们有根据定义，我们有交运算交运算 由集合由集合A A与与B B的公共元素所组成的集合叫做的公共元素所组成的集合叫做A A与与B B的交集的交集(简称交简称交)，记作：，记作：，如图，如图2 2所示所示.显然，显然，例如，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，则，则我们有我们有两个集合两个集合A与与B不一定有公共元素，我们就说它们的交不一定有公共元素，我们就说它们的交集是空集集是空集.例如，例如，设设A是一切有理数的集合，是一切有理数的集合，B是一切无理数的集是一切无理数的集合，那么合，那么 就是空集就是空集.又如方程又如方程 的实数的实数根的集合为空集根的集合为空集.空集是任意集合的子集空集是任意集合的子集.运算性质运算性质:交换律交换律:;结合律结合律:;分配律分配律:我们选取一个来证明我们选取一个来证明.例例1 1 证明证明证明证明 设设 ，那么，那么 且且 ，于是，于是 且至少属于且至少属于B与与C 中的之一中的之一.若若 ，那么因为，那么因为 ，所以，所以，；同样，若；同样，若 ，则，则 .不不论哪一种情形都有论哪一种情形都有 .所以所以反之，若反之，若 ，那么，那么 或者或者 .但但 ，所以不论哪一种情形都有，所以不论哪一种情形都有 ，所以，所以这就证明了上述等式这就证明了上述等式.两个集的并与交的概念可以推广到任意两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，个集合上去，设设 是给定的集合是给定的集合.由由 的一切元的一切元素所成的集合叫做素所成的集合叫做 的并；由的并；由 的的一切公共元素所成的集合叫做的一切公共元素所成的集合叫做的 交交.的并和交分别记为：的并和交分别记为：和和 .我们有我们有差运算：差运算：设设A A，B B是两个集合，令是两个集合，令也就是说，也就是说，是由一切属于是由一切属于A但不属于但不属于B 的元素所组的元素所组成的，称为成的，称为A与与B 的差的差.注意：并没有要求注意：并没有要求B是是A的子集的子集.例如，例如，积运算：积运算：设设设设A A，B B是两个集合，令是两个集合，令称为称为A A与与B B的笛卡儿积（简称为积）的笛卡儿积（简称为积）.是一切元素对（是一切元素对（a a,b b ）所成的集合，其中第一个）所成的集合，其中第一个位置的元素位置的元素a a取自取自A A，第二个位置的元素，第二个位置的元素b b取自取自B B.1 12 2 映射映射一、一、内容分布内容分布1.2.1 映射的概念及例映射的概念及例1.2.2 映射的相等及像映射的相等及像1.2.3 映射的合成映射的合成1.2.4 单射、满射、双射单射、满射、双射二、二、教学目的教学目的 掌握映射的概念,映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。三、三、重点、难点重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。1.2.1 1.2.1 映射的概念及例映射的概念及例定义定义1 设设A，B 是两个非空的集合，是两个非空的集合，A到到B 的一个映射的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的中的每一个元素每一个元素 x，有集合，有集合B中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素 y 与它与它对应对应.用字母用字母f，g，表示映射表示映射.用记号用记号 表示表示f 是是A到到B的一个映射的一个映射.如果通过映射如果通过映射f，与，与A中元素中元素x对应的对应的B中元素是中元素是y，那么，那么就写作就写作 这时这时y 叫做叫做 x 在在f 之下的象，记作之下的象，记作 .例例1 令令Z是一切整数的集合是一切整数的集合.对于每一整数对于每一整数n，令，令 与它对应与它对应.那那 f 是是Z到到Z的一个映射，的一个映射，例例2 令令R是一切实数的集合，是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合是一切非负实数的集合 对于每一对于每一 ，令，令 与它对应；与它对应；那么那么 f 是是R到到B的一个映射的一个映射.，例例3 设设 这是这是A到到B的一个映射的一个映射.例例4 设设A是一切非负被减数的集合，是一切非负被减数的集合，B是一切实数的集是一切实数的集 合合.对于每一对于每一 ，令，令 与它对应与它对应.f 不是不是A 到到B的映射，的映射，因为当因为当 时，时，不能由不能由x唯一确唯一确 定定.例例5 令令A=B等于一切正整数的集合等于一切正整数的集合.不是不是A到到B的一个映射，因为的一个映射，因为 .例例6 设设A是任意是任意 一个集合，对于每一一个集合，对于每一 ，令，令 与它对应：与它对应：这自然是这自然是A到到A的一个映射，这个映射称为集合的一个映射，这个映射称为集合A的的恒等恒等映射映射.注意注意:A A与与B B可以是相同的集合，也可以是不同的集合可以是相同的集合，也可以是不同的集合 对于对于A A的每一个元素的每一个元素x x，需要，需要B B中一个唯一确定的元素与它对中一个唯一确定的元素与它对应应.一般说来，一般说来，B B中的元素不一定都是中的元素不一定都是A A中元素的象中元素的象.A A中不相同的元素的象可能相同中不相同的元素的象可能相同.1.2.2 1.2.2 映射的相等及像映射的相等及像设设 是一个映射是一个映射.对于对于 ，x的象的象 .一一切这样的象作成切这样的象作成B的一个子集，用的一个子集，用 表示：表示：，叫做叫做A在在f之下的象，或者叫做映射之下的象，或者叫做映射f的象的象.例例7令令 ，.那么那么 .设设 ，都是都是A到到B的映射，如果对于每一的映射，如果对于每一，都有，都有 ，那么就说映射，那么就说映射f与与g是相等的是相等的.记作记作1.2.3 1.2.3 映射的合成映射的合成设设 是是A到到B 的一个映射，的一个映射，是是B 到到C 的的一个映射一个映射.那么对于每一个那么对于每一个 ，因而是，因而是C中的一中的一个元素个元素.因此，对于每一因此，对于每一 ，就有，就有C 中唯一的确定中唯一的确定的元素的元素 与它对应，这样就得到与它对应，这样就得到A到到C 的一个映射，的一个映射，这映射是由这映射是由 和和 所决定的，称为所决定的，称为 f 与与g 的合成（乘积），记作的合成（乘积），记作 .于是有于是有 对于一切对于一切 ,f 与与g 的合成可以用下面的图示意：的合成可以用下面的图示意：fgABC例例8 8 设设那么那么 例例9 9 设设 A=1，2，3 那么那么 设给映射设给映射 ，有，有 .但是，一般情况下但是，一般情况下 ，设设A是非空集合是非空集合 ，称为设称为设A上的上的 恒等映射。恒等映射。设设A，B是两个非空集合，用是两个非空集合，用 和和 表示表示A和和B的恒等映的恒等映射射.设设 是是A到到B的一个映射的一个映射.显然有：显然有：，.两个集合两个集合A与与B不一定有公共元素，我们就说它们的交不一定有公共元素，我们就说它们的交集是空集集是空集.例如，例如，设设A是一切有理数的集合，是一切有理数的集合，B是一切无理数的集是一切无理数的集合，那么合，那么 就是空集就是空集.又如方程又如方程 的实数的实数根的集合为空集根的集合为空集.空集是任意集合的子集空集是任意集合的子集.运算性质运算性质:交换律交换律:;结合律结合律:;分配律分配律:我们选取一个来证明我们选取一个来证明.例例1 1 证明证明证明证明 设设 ，那么，那么 且且 ，于是，于是 且至少属于且至少属于B与与C 中的之一中的之一.若若 ，那么因为，那么因为 ，所以，所以，；同样，若；同样，若 ，则，则 .不不论哪一种情形都有论哪一种情形都有 .所以所以两个集的并与交的概念可以推广到任意两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，个集合上去，设设 是给定的集合是给定的集合.由由 的一切元的一切元素所成的集合叫做素所成的集合叫做 的并；由的并；由 的的一切公共元素所成的集合叫做的一切公共元素所成的集合叫做的 交交.的并和交分别记为：的并和交分别记为：和和 .我们有我们有差运算：差运算：设设A A，B B是两个集合，令是两个集合，令也就是说，也就是说，是由一切属于是由一切属于A但不属于但不属于B 的元素所组的元素所组成的，称为成的，称为A与与B 的差的差.注意：并没有要求注意：并没有要求B是是A的子集的子集.例如，例如，积运算：积运算：设设设设A A，B B是两个集合，令是两个集合，令称为称为A A与与B B的笛卡儿积（简称为积）的笛卡儿积（简称为积）.是一切元素对（是一切元素对（a a,b b ）所成的集合，其中第一个）所成的集合，其中第一个位置的元素位置的元素a a取自取自A A，第二个位置的元素，第二个位置的元素b b取自取自B B.1 12 2 映射映射一、一、内容分布内容分布1.2.1 映射的概念及例映射的概念及例1.2.2 映射的相等及像映射的相等及像1.2.3 映射的合成映射的合成1.2.4 单射、满射、双射单射、满射、双射二、二、教学目的教学目的 掌握映射的概念,映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。三、三、重点、难点重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。1.2.1 1.2.1 映射的概念及例映射的概念及例定义定义1 设设A，B 是两个非空的集合，是两个非空的集合，A到到B 的一个映射的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的中的每一个元素每一个元素 x，有集合，有集合B中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素 y 与它与它对应对应.用字母用字母f，g，表示映射表示映射.用记号用记号 表示表示f 是是A到到B的一个映射的一个映射.如果通过映射如果通过映射f，与，与A中元素中元素x对应的对应的B中元素是中元素是y，那么，那么就写作就写作 这时这时y 叫做叫做 x 在在f 之下的象，记作之下的象，记作 .例例1 令令Z是一切整数的集合是一切整数的集合.对于每一整数对于每一整数n，令，令 与它对应与它对应.那那 f 是是Z到到Z的一个映射，的一个映射，例例2 令令R是一切实数的集合，是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合是一切非负实数的集合 对于每一对于每一 ，令，令 与它对应；与它对应；那么那么 f 是是R到到B的一个映射的一个映射.，例例3 设设 这是这是A到到B的一个映射的一个映射.例例4 设设A是一切非负被减数的集合，是一切非负被减数的集合，B是一切实数的集是一切实数的集 合合.对于每一对于每一 ，令，令 与它对应与它对应.f 不是不是A 到到B的映射，的映射，因为当因为当 时，时，不能由不能由x唯一确唯一确 定定.例例5 令令A=B等于一切正整数的集合等于一切正整数的集合.不是不是A到到B的一个映射，因为的一个映射，因为 .例例6 设设A是任意是任意 一个集合，对于每一一个集合，对于每一 ，令，令 与它对应：与它对应：这自然是这自然是A到到A的一个映射，这个映射称为集合的一个映射，这个映射称为集合A的的恒等恒等映射映射.注意注意:A A与与B B可以是相同的集合，也可以是不同的集合可以是相同的集合，也可以是不同的集合 对于对于A A的每一个元素的每一个元素x x，需要，需要B B中一个唯一确定的元素与它对中一个唯一确定的元素与它对应应.一般说来，一般说来，B B中的元素不一定都是中的元素不一定都是A A中元素的象中元素的象.A A中不相同的元素的象可能相同中不相同的元素的象可能相同.1.2.2 1.2.2 映射的相等及像映射的相等及像设设 是一个映射是一个映射.对于对于 ，x的象的象 .一一切这样的象作成切这样的象作成B的一个子集，用的一个子集，用 表示：表示：，叫做叫做A在在f之下的象，或者叫做映射之下的象，或者叫做映射f的象的象.例例7令令 ，.那么那么 .设设 ，都是都是A到到B的映射，如果对于每一的映射，如果对于每一，都有，都有 ，那么就说映射，那么就说映射f与与g是相等的是相等的.记作记作1.2.3 1.2.3 映射的合成映射的合成设设 是是A到到B 的一个映射，的一个映射，是是B 到到C 的的一个映射一个映射.那么对于每一个那么对于每一个 ，因而是，因而是C中的一中的一个元素个元素.因此，对于每一因此，对于每一 ，就有，就有C 中唯一的确定中唯一的确定的元素的元素 与它对应，这样就得到与它对应，这样就得到A到到C 的一个映射，的一个映射，这映射是由这映射是由 和和 所决定的，称为所决定的，称为 f 与与g 的合成（乘积），记作的合成（乘积），记作 .于是有于是有 对于一切对于一切 ,f 与与g 的合成可以用下面的图示意：的合成可以用下面的图示意：fgABC例例8 8 设设那么那么 例例9 9 设设 A=1，2，3 那么那么 设给映射设给映射 ，有，有 .但是，一般情况下但是，一般情况下 ，设设A是非空集合是非空集合 ，称为设称为设A上的上的 恒等映射。恒等映射。设设A，B是两个非空集合，用是两个非空集合，用 和和 表示表示A和和B的恒等映的恒等映射射.设设 是是A到到B的一个映射的一个映射.显然有：显然有：，.1.2.4 1.2.4 单射、满射、双射单射、满射、双射定义定义2 2 设设f f 是是A A到到B B的一个映射，如果，那么说的一个映射，如果，那么说称称f f 是是A A到到B B上的一个映射，这里也称上的一个映射，这里也称f f 是一个满映射，简称是一个满映射，简称满射满射.是满射必要且只要对于是满射必要且只要对于B中的每一元素中的每一元素y，都，都有有A中元素中元素x 使得使得 .关于映射，只要求对于关于映射，只要求对于A中的每一个元素中的每一个元素x，有，有B中的一中的一个唯一确定的元素个唯一确定的元素y与它对应，但是与它对应，但是A中不同的元素可以中不同的元素可以有相同的象有相同的象.定义定义3 设设 是一个映射，如果对于是一个映射，如果对于A中任意两个中任意两个元素元素 和和 ，只要，只要 ，就有，就有 ，那么就称，那么就称f是是A到到B的一个单映射，简称单射的一个单映射，简称单射.