2023年中考数学压轴题培优教案专题05 倍长中线模型（含答案解析）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型解题策略如图,A。是 A 8 C的中线，延长AD至点E使易证：A D 8 MEDB(S A S).如 图 是B C中点，延长F D至点E使O E=F D易证：/FD B冬/X E D C(S 4 S)当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移./-X经典例题X,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ z【例1】.(2 0 2 0陕西咸阳一模)问题提出(1)如图，力。是 A BC的中线，则A B+4 C 2 2 D；(填或“=”)问题探究(2)如图,在矩形4 BCD中,CD=3,B C=4,点E为 的 中 点，点F为CD上任意一点，当力EF的周长最小吐求CF的长;ADBEC问题解决（3）如图,在矩形4 B C D 中/C =4,BC=2,点。为对角线4 c 的中点，点P 为4 B 上任意一点，点Q 为A C 上任意一点，连接P O、P Q、BQ,是否存在这样的点Q,使折线O P Q B 的长度最小？若存在，请确定点Q 的位置，并求出折线O P Q B 的最小长度；若不存在,请说明理由.【例 2】.（2 0 2 1.湖北武汉八年级期中）己知 A BC中，（1）如 图 1,点 为B C 的中点，连4 E 并延长到点尸，使FE=E 4则B F 与A C 的 数 量 关 系 是.（2）如图2,若A B=4 C,点 E 为边4 C 一点，过点C 作B C 的垂线交B E 的延长线于点。，连接4 D,若N/MC=N 4 BO,求证：A E =E C.（3）如图3,点。在A A B C 内部,且满足A D=B C/B A D =W C B,点 M 在D C 的延长线上，连4M 交B C 的延长 例 3 （2 0 2 0 安徽合肥:模）如图,正方形A B C Q 中,E 为 8 c 边上任意点,A F 平分/EA Q,交C D于点F.如 图 1,若点F 恰好为CZ）中点,求证：A E=B E+2CE；（2）在的条件下，求案的值；DC如图2,延长A/交 5c的延长线于点G,延长4E 交。C 的延长线于点H,连接4 G，当 C G=O 尸时,求证：H G,LA G.D【例4】.(2020江西宜春一模)将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起,04=OB,OC=OD/AOB=乙 COD=90,连接力 C,BD.(1)如 图1,若4、。、D三点在同一条直线上，则4C与8。的关系是；(2)如图2,若人。、。三点不在同一条直线上/C与8D相交于点E,连接。瓦猜想4E、B E.OE之间的数量关系,并给予证明；(3)如图3,在(2)的条件下作BC的中点F,连接。凡直接写出2D与OF之间的关系.培优训练_ _ _ z一、解答题1.(2022 全国八年级)如图1,在AABC中，若48=10,BC=8,求AC边上的中线8。的取值范围.(1)小聪同学是这样思考的：延长8。至 旦使。连接CE,可证得?丝ABO.请证明 C E D m/X A B D；中线BD的 取 值 范 围 是.(2)问题拓展：如图2,在43C中，点。是AC的中点，分别以AB,8c为直角边向A8C外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中工B=B M,B C=8N,N A B M=/N B C=/90。,连接M N.请写出BD与M N的数量关系,并说明理由.M2.（2022 全国八年级课时练习）【观察发现】如图,a A B C中48=74C=5,点。为3 c的中点，求AZ）的取值范围.小明的解法如下：延长AD到点E,使连接CE.-B D =D C在AB。与EC。中，乙 A D B =乙 E D C.A D =D E：./A B D=A E CD （S A S）：.A B=.又 在4EC 中 E C-ACVAECEC+AC,而 A B=E C=1,A C=5,：.A E .又：人 2 ）.A D AC,S.BD=CE/BCD=B E,求“FE的度数；(2)如图2,若4B=AC,且BD=4E,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点，连接C N.在点D E运动过程中，猜想线段BC FN之间存在的数量关系，并证明你的猜想.7.(2022 全国八年级专题练习)如图1,在力BC中,CM是4 B边的中线,/BCN=NBCM交力B延长线于点N,2cM=CN.(2)如图2,NP平分乙4NC交CM于点P,交BC于点0,若乙4MC=120,CP=C,求工的值.8.(2021.全国八年级单元测试)(1)如图中,4。为中线，求证：AB+AO2AD；(2)如图 2,ZMBC 中，。为 BC 的中点,E_LD尸交 AB、AC于 E、F.求证：BE+CFEF.9.（2022江苏八年级课时练习）（1）如 图 1,已知A H B C 中,A。是中线，求证：A B +AO 2 AD；（2）如图2,在力B C 中Q,E 是 BC的三等分点,求证：A B +A C A D +AE；(3)如图 3,在 A B C 中,E 在边 BC上，且B D =C E.求证：A B +A C A D+A E.10.（2022 全国八年级课时练习）在 A B M 中垂足为点。是线段AM上一动点.（1）如 图 1,点 C是 延 长 线 上 一 点,M D=M C,连接A C,若 3 0=17,求 AC的长；（2）如图2,在（1）的条件下，点 E是aABM外一点,E C=A C,连接ED并延长交B C 于点F,且点尸是线段B C的中点，求证：/B D F=N C E F.（3）如图3,当 E在 8。的延长上，且 A E J _ 8 J 4 E=E G 时,请你直接写出N l、N 2、N 3之间的数量关11.（2022全国八年级课时练习）已知：等腰R tz i A B C 和等腰R t 4 D E 中,A B =4 C,4 E =/W/B 4 C =A E A D=9 0.图1（1）如 图1,延长D E交B C于点F,若MAE=68。,则ND F C的度数为；（2）如图2,连接E C、B D,延长E 4交B D于点M,若乙4 E C =9 0。,求证：点M为B D中点；（3）如图3,连接E C、B D,点G是C E的中点，连接A G,交8 D于点/M G =9,HG=5,直接写出力E C的面积.12.（2022全国八年级课时练习）在AABC中，点P为B C边中点，直线a绕顶点4旋转,B M _L直线a于点M.CN 1直线a于点N,连接P M F N.如 图1,若点B,P在直线a的异侧，延长M P交C N于点E.求证：P M =PE.（2）若直线a绕点4旋转到图2的位置时，点B,P在直线a的同侧淇它条件不变，此时S MP+$ACNP=7,B M =1,CN=3,求 M N 的长度.图2（3）若过P点作P G 1直线a于点G.试探究线段P G、和C N的关系.备用图13.（2021.陕西西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如 图1,在 A 8 C中，若A B=10,8 C=8.求A C边 上 的 中 线 的 取 值 范 围，小聪同学是这样思考的：延 长 至E,使Q E=B。,连接C E.利用全等将边A 3转化到C E,在8 C E中利用三角形三边关系即可求出中线8。的取值范围,在这个过程中小聪同学 证 三 角 形 全 等 用 到 的 判 定 方 法 是;中线BD的 取 值 范 围 是.（2）问题拓展：如图2,在A A B C中，点。是A C的中点，分 别 以 为 直 角 边 向a A B C外作等腰直角三角形A B M和等腰直角三角形8 C N,其中N A B M=/N B C=9 0。,连接M N,探索3。与MN的关系，并说明理由.A/BN图214.（2020 辽宁大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上，老师出示了这样一个问题:如 图 1,点。是力B C边B C 的 中 点=5,A C=3,求4。的取值范围.（1）小明的想法是，过点8 作B E/1C交4 D 的延长线于点E,如图2,从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰R t A B C 中/B A C =9 0。,A B =A C,点。边4 c 延长线上一点，连接B D,过点4 作4 E 1 B D 于点E,过点4 作A F 1 A E,5.A F=4 E,连接E F 交B C 于点G,连接CF,求证B G =CG.15.（2 0 2 2 全国八年级课时练习）如图，点 P是NMON内部一点，过点P分别作用ON交 OM于点A,P 8OM交 ON于点B（雨N P B）,在线段08 上取一点C,连接4 C,将 A O C沿直线AC 翻折，得到（；延长A D交P B于点E,延长C D交P B于点F.（1）如 图 1,当四边形A O B P 是正方形时,求证：D F=PF,（2）如图2,当 C 为 OB中点时，试探究线段A E,A O,B E 之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3,在（2）的条件下，连接CE,/A CE的平分线C H交A E于点“，设0 A=a,B E=6,若N C 4 0=ZCE B,求C 的 面 积（用含“力的代数式表示）.图316.（2 0 2 2全国八年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如 图1,在A 8C中,A 8=8,A C=6,求B C边上的中线A Z）的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）,图1图2图3延长AD到M使得D M=A D-,连 接 通 过 三 角 形 全 等 把A B、A C、2 A。转化在AABM中；利用三角形的三边关系可得4M的取值范围为A B-8 M V A M V 4 B+8 M从而得到AD的取值范围是;方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法 多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.（2）请你写出图2中A C与8 M的数量关系和位置关系,并加以证明.（3）深入思考：如图3 4力是AABC的中线4C=A尸尸=9 0。,请直接利用（2）的结论，试判断线段A。与E F的数量关系,并加以证明.17.（2 0 2 2全国八年级课时练习）（1）阅读理解：如 图1,在A A B C中，若A B=5,A C=8,求B C边上的中线A力的取值范围.小聪同学是这样思考的：延 长 至E,使O E =4。，连接B E.利用全等将边A C转化到B E,在8A E中利用三角形三边关系即可求出中线A O的取值范围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到 的 判 定 方 法 是，中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图2,在A 8C中，点。是BC的中点，点M在4 8边上，点N在A C边上，若力M L C W.求证：BM+C N MN；(3)问题拓展：如图3,在A A B C中，点。是B C的中点，分别以48,4(?为直角边向4 4 2(7外作MZXABM和RfZXACN,其中N 54M=N N A C=90o,A8=AM,AC=4V,连接MN,探索A。与M N的关系，并说明理由.CE于点P.(1)如图 1,求证：ZB P C=120；(2)点M是边8 C的中点，连接以,PM,延长8 P到点F，使PF=PC,连接CF,如图2,若点A,P,M三点共线，则A P与P M的数量关系是.如图3,若 点 三 点 不 共 线，问中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由.19.(2022山东德州八年级期末)(1)方法呈现：如图：在4人5。中，若4B=6,A C=4,点。为BC边的中点，求BC边上的中线4。的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AQ到点E使DE=4。,再连接BE,可证4C D三AEBD,从而把AB、AC,24。集中在 ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线A O的取值范围是 这种解决问题的方法我们称为倍长中线法：(2)探究应用：如图，在 A B C 中，点。是 8 c 的中点,D E 1 O F 于点D,DE交 A B 于点、E,O F 交 AC 于点F,连接E F,判断B E +CF 与 E 尸的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图，在四边形A B C D 中,4 B CD,A F 与 OC 的延长线交于点F、点 E是 BC 的中点，若 A E是N B 力 尸 的角平分线.试探究线段A B,A F,CF 之间的数量关系,并加以证明.图2 0.（2 0 2 1重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如 图 1.在 R t Z s A CB 中，N A CB=9 0 ,AC=S,BC=6,点D、E分别在边CA,C B 上且CD=3,CE=4,连接AE,BD,尸为A E的中点,连接C F 交 B D 于点、G,则线段C G所在直线与线段8。所 在 直 线 的 位 置 关 系 是.（提示：延长C尸到点M,使 加=C 居连接AM）（2）将 D CE 绕点C 逆时针旋转至图2 所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立,请说明理由.（3）将 O CE 绕 点 C 逆时针在平面内旋转,在旋转过程中，当B,D,E三点在同一条直线上时,C F 的长为.21.（20 22安徽宿州九年级期末）已知：在矩形4 8 C D 中，连接Z C,过点。作D F 1 4 C,交2C于点E,交4 B 于点F.（1）如图 1,若t an乙4 c o =.2求证：A F=B F：连接B E,求证：CD =近 B E.（2）如图 2,若4 尸 2=AB.B F,求c o s/FD C的值.22.（20 22.全国.八年级课时练习）阅读理解：图3（1）如 图 1,在4 B C 中，若A B =1 0,4 C=6,求B C边上的中线4 D 的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长4。到点E,使得4。=0 E,再连接8 E,把4 区 ,24。集中在 4 8 E 中，利用三角形三边关系即可判断中线力。的 取 值 范 围 是.（2）解决问题：如图2,在 A B C 中刀是B C 边上的中点,D E 1 D F Q E 交4 B 于点E,D F交A C于点F,连接E F,求证：B E +CF E F.（3）问题拓展：如图3,在4 A B C 中，。是B C边上的中点，延长Z M 至E,使得A C=B E,求证：/.CA D =乙 B E D.23.（20 22全国八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.图1图2困3【探究与发现】(1)如 图1 4。是A A B C的中线，延长A。至点E,使E D =4 D,连接B E,证明：4 CD三E B D.【理解与应用】(2)如图2,E P是A D E F的中线，若E F=5,D E =3,设E P =x，则x的 取 值 范 围 是.(3)如图3 H。是 A B C的中线,尸分别在A B、A C上，且D E 1 D F,求证：B E +CF E F.24.(20 20福建福州九年级开学考试)如图1,已知正方形4 B CD和等腰R M B E F,E F=B E/B E F=9 0。,F是线段B C上一点，取D尸中点G,连接E G、CG.(1)探究E G与CG的数量与位置关系,并说明理由；(2)如图2,将 图1中的等腰心4师尸绕点8顺时针旋转6 1。(0。9 0。),则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；(3)在(2)的条件下，若4。=2,求2G E +B尸的最小值.经典例题_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ y【例11（20 20陕西咸阳一模）问题提出（1）如图,4 0是4 B C的中线，则4 8 +A C 2A D；（填“或“=）问题探究（2）如图,在矩形4 B CD中,CO =3,B C=4,点E为B C的中点，点F为CD上任意一点，当 4 E F的周长最小时，求CF的长；问题解决（3）如图，在矩形力B CD中=4,B C=2,点0为对角线4 c的中点，点P为力B上任意一点，点Q为A C上任意一点，连接P 0、PQ、B Q,是否存在这样的点Q,使折线O P Q B的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线O P Q B的最小长度；若不存在,请说明理由.【答案】（1）:（2）CF=1；（3）当点Q与4 c的中点。重合时断线O P Q B的长度最小，最小长度为4.【分析】（1）如 图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出4 B=E C,再根据三角形的三边关系定理即可得;（2）如 图（见解析），先根据矩形的性质得出4 8 =3/8 =/BC D =9 0。,4 BC D,从而可得A E的长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出 4 E F的周长最小时，点F的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得；（3）如 图（见解析），先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线O P Q B的 长 度 最 小 时 四 点共线,再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出N B4 C =30。,A B=2V3,A 0=2,然后利用轴对称的性质、角的和差可得48,=2 ,AO=2,BA0=90。,由此利用勾股定理可求出夕。的长，即折线。PQB的最小长度；设BO交4c于点Q,根据等边三角形的判定与性质可得4Q=2,从而可得4Q=40,由此即可得折线OPQB的长度最小吐点Q 的位置.【详解】(1)如图，延长AD,使得DE=4。,连接CE 4。是 ABC的中线BD=CDAD=ED在4 48。和4 ECD 中,Z.ADB=乙EDC.BD=CD.A ABD ECD(SAS)：.AB=EC在 ACE中，由三角形的三边关系定理得：EC+A O AE,即EC+AC AD+DE*AB-l-AC 2.AD故答案为：;（2）如图，作点E关于CD的对称点G,连接FG,则CE=CG ,四边形ABCD是矩形,CD=3,8C=4AB=CD=3,48=乙 BCD=90。,4B“CDDC垂直平分EG EF=FG 点 E 是 BC的中点1BE=CE=-BC=2AE=yjAB2+BE2=代,CG=CE=2.BG=BC+CG=6则4 4EF的周长为4E+EF+AF=V13+EF+AF=V13+FG+AF要使 AEF的周长最小，只需FG+4F由两点之间线段最短可知，当点4 F,G共线吐FG+4尸取得最小值4Gv AB“CD/.FCG 4ABG吟 吟，畔卷解得CF=1；（3）如图，作点B关于4 c的对称点B,作点。关于4B的对称点。,连接4B,Q8,力。/。,80,则（28=QB,OP=OP，折线OPQB 的长度为OP+PQ+QB=OP+PQ+QB由两点之间线段最短可知,OP+PQ+QB BO,当且仅当点B1Q,P,O四点共线时，折线OPQB取得最小长度为B。在矩形4BCD中=4,BC=2,/.ABC=90:乙BAC=30MB=y/AC2-BC2=2百.点。为4 c的中点：.AO=-AC=22:点 B与点B关于/C 对称，点。与点。关于力B对称：.Z.BAC=/.BAC=30,AB=AB=273/.OAB=Z.BAC=30。/。=AO=2：./.BAO=/.BAC+ABAC+/.OAB=90A BO=y/AB2+A 02=J（2百/+22=4设B。交AC于点Q在Rt A 48。中,40=2,BO=4J.ABO=30乙4 0 0 =900-Z.AB0=60。,即4O Q =60）L：AOAQ=ABAC+W A B =60.40Q是等边三角形：.A Q =A 0=2A 0=2A Q =A O二点Q 与4 c的中点。重合综上，当点Q与A C的中点0重合时，折线O P Q B的长度最小，最小长度为4.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质正确找出折线O P Q B的最小长度是解题关键.【例2】.（2 0 2 1 .湖北武汉.八年级期中）已知A BC中,（1）如 图1,点E为BC的中点，连4 E并延长到点F,使F E =E 4则BF与4 c的数量关系是（2）如图2,若4 B=4 C,点E为边4 c一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点。，连接4。,若Z/M C =N 4 BD,求证：A E =E C.（3）如图3,点。在 4 BC内部,且满足Z D =BC/B4 D =4 D CB,点、M在D C的延长线上，连4 M交BD的延长线于点N,若点N为4 M的中点，求证：D M =A B.【答案】（1）BF =A C;（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）通过证明A B E F三C E 4即可求解：（2）过点A引4 F|C D交BE于点尸，通过 A B F SA C 4 D得至必F =C D,再通过 A FE 6 C D E即可求解;(3)过点“作时7|4B交BN的延长线于点T,MG|40,在MT上取一点K,使得MK=CD,连接GK,利用全等三角形的性质证明AB=MT、DM=M即可解决.【详解】证明：(1)BF=AC由题意可得：BE=EC在ABE尸和ACEA中BE=EC乙 BEF=/.CEA,EF=AE.BEF 三CEA(SAS):.BF=AC(2)过点A 引AF|CD交BE 丁点凡如卜图：由题意可得：CD 1 BC,且NEAF=Z.ACD则 4F 1 BC又=AC.AF平分 NB4C,J.Z.BAF=LEAF=AACD.在 AABF和 ACAD 中(/.ABF=ADACAB=ACV/.BAF=ACD./WF 三C/WQ4SA)：.AF=CD在”后和4 CDE中ZF4E=4 DCEAAEF=MED,AF=CD：.AFE 三 CDE(AAS)：.AE=EC(3)证明：过点M作MT|AB交BN的延长线于点T,MG|AD,在M T 上取一点K,使得MK=CD,连接GK,如下图：AB|MTA B N =乙 T 2A N B =乙 MNT,AN=MN：.ANB=MNT(AAS)；BN=NT,AB=MTVMG|AD，乙ADN=乙 MGN :乙 AND=乙 MNG,AN=NM：AND MNG(AAS)：.AD=MG,DN=NG:BD=GT :乙 BAN=乙 AMT,乙 DAN=乙 GMN工 乙BAD=乙GMT:乙 BAD=乙 BCD：.Z.BCD=Z.GMKUAD=BC,AD=GM：.BC=GM又MK=CD：.BCD GMK(SAS)：.GK=BD/BDC=乙 MKG/.GK=GT/MDT=乙 GKTG KT=NT：.D M =M TA B =M T：.D M =A B【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.【例 3】.(2020安徽合肥二模)如图,正方形A B C D中,E 为 8 c 边上任意点力F 平分/E 4D,交 CZ)于点F.如 图 1,若点F 恰好为C D中点,求证：A E=B E+2CE；(2)在的条件下，求案的值；DC(3)如图2,延长A尸 交 的 延 长 线 于 点 G,延长AE交。C 的延长线于点，连接HG,当CG=F时,求证：H G1A G.【答案】见解析；(2道(3)见解析【分析】(1)延长BC交 A F的延长线于点G,利用“AAS”证4ADF四4G CF得 AD=CG,据此知CG=BC=BE+CE,根据 EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE 即可得证；(2)设 CE=a.BE=b，贝 I AE=2a+b,AB=a+b,在 RtAABE 中，由 AB?+BE2=AE2 可得 b=3a,据此可得答案；(3)连接 DG,证aADF丝ZDCG 得NCDG=NDAF,再证AFHs/DFG 得 竺=型，结合NAFD=NHFG,DF FG知ADFsHGF,从而得出NADF=NFGH,根据NADF=90唧可得证.【详解】解：(1)如 图 1,延长BC交 AF的延长线于点G,图1VAD/CG,:,NDAF=/G,又 F F平分ND4E,NDAF=NEAF,：.ZG=ZEAF,:EA=EG,点尸为CO的中点，:.CF=DF,又ZDFA=ZCFG,ZFAD=ZGy：.AADFAGCF（A4S）,:AD=CG,：.CG=BC=BE+CE,：.EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE；（2）设 CE=a,8E=/?,贝lj AE=2a+bAB=a+b,在 R t Z i A B E 中/82+8E2=即（+与2+人2=（2。+）2,解得 b=3a,b=-（舍），.CE a 1 =一；BC Q+b 4(3)如图2,连接DG,图2CG=DF,DC=DA,ZADF=ZDCG,：.4。尸丝OCG(SAS),/.ZCDG=ZDAF,二 NHAF=NFDG,又,：NAFH=/DFG,：./AFH/DFG,.AF_ _ FHDF-FG又；ZAFD=ZHFG,：.AD FsXHG F、.ZADF=ZFGH,/ZADF=90,：.NFGH=90,：.AGGH.【点睛】本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点.【例 4】.(2020江西宜春一模)将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起,04=0B,0C=。,乙4。8=乙 COD=90,连接力 C,BD.(1)如 图 1,若4、。、。三点在同一条直线上，则4C与8。的关系是；(2)如图2,若 人。、。三点不在同一条直线上,4C与BD相交于点E,连接0E,猜想AE、BE、0E之间的数量关系,并给予证明；(3)如图3,在(2)的条件下作BC的中点F,连接OF,直接写出AD与OF之间的关系.【答案】(1)=且4C 1B D；(2)4E=BE+V 0 E;证明见解析；(3)4D=2。尸且4。_L。凡【分析】(1)根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交 BD于点C 进行角的等量代换进行分析即可；(2)根据题意在4 E 匕截取AM=BE,连接0M,并全等三角形的判定证明ZL40C=/BOD和44M。三ABEO,进而利用勾股定理得出。用2 +0E2=ME?进行分析求解即可；(3)过点B 作 BMOC,交 OF的延长线于点M,延长F 0 交 AD 丁点N,证明ABFM三 ACFO,AAOD三 AOBM,进而即可得到结论.【详解】解：(1)；。4=OB,OC=OD.ZAOB=&COD=90,Z.AOC=4 BOD：.AOC=BOD(SAS),AC=BD,延长AC 交 BD于点C;如下图：,AB d i：AOC=BOD,乙4co=乙BCG,：.Z.AC0+CAO=乙 BCU+乙 CBC=即 4c 1 BD.综上 AC=BDiiAC 1 BD,故答案为：AC=BDRAC 1 BD；证明:在AE上截取AM=BE,连接0MB图2 b=90,/-BCC=90,(2)4E=BE+y/20E 2LA0B=乙 COD=90Z.AOB+乙 BOC=乙 COD+Z.BOC在A40c和ZB。中AO=BOZ.AOC=乙 BOD0C=0DA AAOC=ABOD(SAS)Z-CAO=Z.DB0在/力M。和ZBE。中AM=BE/.MAO=Z.EBOAO=BOA AAMO=ABEO(SAS)OM=0EfZ-A0M=乙BOE Z,A0M+乙 MOB=90 Z,BOE+乙BOM=90 OM2+OE2=ME2即2。央=ME2V2OE=ME,ME+MA=AE 20E+BE=AE(3)40=20FB.AD 1 OF,理由如下：过点B 作 BMOC,交 O F的延长线于点M,延长FO 交 AD于点N,VBM/70C,ZM=ZF0C,:ZBFM=ZCFO,BF=CF,.BFM=ACFO(A A S),OF=MF,BM=CO,VDO=CO,:.D0=BM,.BM0C,ZOBM+ZBOC=180,Z BOC+Z AOD=360-90-90=180,.ZOBM=ZAOD,又；AO=BO,.AODwAOBM(S A S),.AD=OM=2OF,ZBOM=ZOAD,ZBOM+Z AON=180-90=90,.,.NOAD+NAON=90。,即 OF1AD.：.AD=2OFS.AD 1 OF.【点睛】本题考查等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.培优训练_ _ Z一、解答题1.(2022 全国八年级)如图1,在AABC中，若 48=10,8C=8,求 AC边上的中线8。的取值范围.(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至 E,使。E=BZ),连接CE,可证得CE。丝ABD.请证明CEDgaAB。；中线BD的 取 值 范 围 是.(2)问题拓展：如图2,在ABC中，点。是 AC的中点，分别以AB,BC为直角边向ABC外作等腰直角三角形 ABM和等腰直角三角形BCN淇中XB=BM BC=BN,NABM=/NBC=N9O。,连接M N.请写出BD与MN的数量关系,并说明理由.M【答案】(1)见解析；1 B D,理由见解析【分析】(1)只需要利用SAS证明即可；根据CEO丝A8O可得A8=CE,由三角形三边的关系可得CE-BC BE CE+BCAB-BC BE AB+BC 贝 Ij2 BE 18,再由 BE=2BD,可得 1 BD 9；(2),延长8。到 E 使得同(1)原理可证4正g 4 8)8,得 到/。4 =/。(?a4=。8,然后证明/B4E=NM8N,则可证8AE丝M8N得到 MN=8E,再由 BE=BD+ED=2BD,可得 MN=2BD.【详解】解：(1)；8。是三角形ABC的中线，.AD=CD,又：/ABD=NCDE,BD=ED,：.CED/ABD(SAS)；.CED畛ABD：.AB-CE,：CE-BC BE CE+BC,：.AB-BC BE AB+BC即 2 BE 18,又，；BE=BD+DE=2BD,：.1 BD 9；故答案为：1 BD 9；如图所示，延长BD到 E 使得DE=BD,同(1)原理可证(SA S),:.NDAE=/DCB,AE=CB,:BC=BN,：.AE=BN,NA6A仁 NNBC=90。，/.NMBN+/ABC=3600-/ABM-NNBC=180。,/ZABC+ZBAC+ZACB=180,ZABC-ZBAC+ZDAE=SO：.ZBAE+ZABC=S00,：.NBAE=NMBN,XVAB=BM,:BAE咨4M BN(SA S),:MN=BE,：BE=BD+ED=2BD,：.MN=2BD.E图2【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等.2.(2022 全国八年级课时练习)【观察发现】如图,ZVIBC中工8=7,AC=5,点。为8 c的中点，求AO的取值范围.小明的解法如下：延长AD到点瓦使连接CE.(BD=DC在 AABD 与 AECD 中=Z.EDC(AD=DE：.AECD(SAS)：.AB=.又；在中 EC-ACAEEC+ACn AB=EC=7,AC=5,/.AE.又r.ADE=120o5AB=AC,OC=OE,连接BE,P为8E的中点，求证：API.DP.【答案】观察发现：EC,2,12,1,6；探索应用：17；应用拓展：见解析【分析】观察发现：由“SAS可证4AB力畛ECR可得AB=EC,由三角形的三边关系可求解；探索应用：由“SAS可证 二”（”,可得A8=C4=25,即可求解；应用拓展：由“SAS可证?以丝可得A8=FE,/P8A=NPEF,由“SAS可证AC。丝FE,可得AO=FD由等腰三角形的性质可得结论.【详解】观察发现解：如图，延长A D到点使DE=4。,连 接CE,在ABO与ECD中，BD=DCZ.ADB=乙EDC,AD=DE:.AABDm AECD(SAS),：.AB=EC,在4EC 41,EC-ACAEEC+AC A8=EC=7,AC=5,：.2A E E A B交A C延长线于点E,求证：A A B C A E D C.【理解与应用】如图2,已知在4 B C中，点E在边B C上且N C4 E=N B,点E是C。的中点，若A O平分N B 4 E.(1)求证：AC=BD-,(2)若8 =3 4 =5,A E=x，求尤的取值范围.【答案】探究与发现 见解析；理解与应用(1)见解析；(2)K x (?即可；理解与应用(1)延长A E到F,使EF=E4,连接。尸,证O E/WZ CEA(S AS)，得AC=F Q,再证A FD(AAS),得2 =F ,即可得出结论；(2)由全等三角形的性质得AB=A尸=2 x,再由三角形的三边关系得4。-8。4 8 +8。,即5-3 2 x 5,在AABD中，由三角形的三边关系得：AD-BDABAD+BD,即 5-3 2 x 5+3,解得：l x 4,即x的取值范围是I x 4.【点睛】本题是三角形综合题目,考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.4.(2 0 2 2 全国八年级课时练习)已知：多项式x 2+4 x+5 可以写成(x -1)2+a(x -1)+b 的形式.(2)AA B C的两边B C,A C的长分别是“也求第三边A B 上的中线C D的取值范围.【答案】(l)a =6,b =1 0(2)2 CX8【分析】(1)把0-1)2 +。(工-1)+6 展开,然后根据多项式/+4*+5 可 以 写 成(尸 1)2+“(x -1)+/，的形式，可得1;二；：25，即可求解；(2)延长C D至点、H,使CD=Z汨，连接AH,可得 CDB也H 4 D,从而得到BC=AH=6,再根据三角形的三边关系，即可求解.(1)解：V (x I)2+a(x-1)+(=%2 2%+1+QX-Q +b=x2+(a 2)x +1 Q+b,根据题意得：X2+4X+5=(x-1)2+a (x-1)+b 】。工5,解得，一 方(2)解：如图，延长C D至氤，使 CO=DH,连接A H,c S是AB边上的中线,；BD=AD,在COB和H D 4中，V CD=DH,NCDB=/ADH,BD=DA,(SAS),BC=AH=a=6,在AC”中,AC-AHCAC+4H,10-62CD10+6,A2CDOC,进而可得OF=CD,即OE=|CD【详解】（1）解：V ZBOE=ZBAO,Z.OBE=AABO,:.OBESAABO,.BE _ OB OB AB .A8=2VI.E 为 A8 的中点，:.BE=V2.2 _ OB*0 8 .2 a：.0B=2(舍负).(2)线段OE和C的数量关系是：OE=CD,理由如下,证明：如图，延长OE到点F,使得EF=0E,连接AF,FB.F：AE=BE 四边形A M O是平行四边形,：.AFnOB.AF=OB,4凡4。+乙4OB=180,NAO3+NCOO=180。，兄4。=乙 COD,.OB=OC,：.AF=OC,在AO”和DOC中，OA=OD乙FAO=乙COD,AF=OC：.O尸 里OOC,：.OF=CD：.OE=-CD.2【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第(2)小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.6.(2 0 2 2 江苏八年级课时练习)如图,在锐角A A B C 中=6 0。,点。,E 分 别 是 边 上 一动点，连接B E 交直线C D 于点F.(1)如图 1,若4 B A C,5.B D =C E/B C D=4 CBE,求/CF E的度数；(2)如图2,若4 B=4 C,且8。=4 E,在平面内将线段4 c 绕点C顺时针方向旋转6 0。得到线段CM,连接M F,点N是MF的中点，连接C N.在 点 运 动 过 程 中，猜想线段B F,C F,C N 之间存在的数量关系，并证明你的猜想.【答案】(1)NEFC=6 0(2)B F+CF=2 c M 证明见解析【分析】(