2023年中考数学压轴题培优教案专题02 半角模型（含答案解析）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题02半角模型解题策略_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _模 型1:正方形中的半角模型如 图1，在 正 方 形A B C D中，点E.F分别在边13 C,C D上./E A F=4 5,连 接E F,贝 上()EF=B E+D F；(2)如 图2,过 点A作A G J_ E F于点G.则A G=A D；(3)如 图3.连 接B D,与AE交 于 点H,连 接F H.则FH AE.图1图2图3【拓展I】如图，在正方形A B C D中.点E.F分别在边C B,D C的延长线匕/E A F=4 5,连接E F,则EF=DF-BE.【拓展2】将正方形变成一组邻边相等、对角互补的四边形:如图.在四边形A B C D中=N B A D+/C=18 0,点 E,F分别在边B C,C D 上,/E A F=：/B A D,连接 E F,则 E F=B E+D F,模 型2：等腰直角三角形中的半角模型如图.在ABC 中.AB=AC./8 A C=90.点 D.E 在边 H C 上.且/DAE=45,则：(DABAEooAADEooACDAi(2)BD2+CE2=DE2.经典例题【例 1】.(2 0 2 0 山西晋中八年级阶段练习)如图所示：已知4 4 8 C 中/B 4 C =9 0,2 8 =A C,在N B 4 c 内部作N M 4 N =4 5,A M,4 N 分别交B C 于点M,N.操作(1)将Z L4 B M 绕点4 逆时针旋转9 0 ,使A B 边与A C 边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q,得到A C Q,请在图中画出。4 C Q;(不写出画法)探究(2)在(1)作图的基础上，连接N Q,求证：M N =N Q;拓展(3)写出线段B M,M N 和N C 之间满足的数量关系，并简要说明理由.【例 2】(2 0 2 2 全国九年级专题练习)折一折：将正方形纸片A 8 C D 折叠，使边A 8、AO都落在对角线A C上，展开得折痕A E、A F,连接E 尸，如 图 1.D,D图4(1)NEAF=。，写出图中两个等腰三角形：(不需要添加字母)；(2)转一转：将 图 1 中的N E 4 F 绕点A旋转,使它的两边分别交边B C、C D 于点、P、,连接P Q,如图2.线段BP、P Q、。之间 的 数 量 关 系 为；(3)连接正方形对角线8 ,若图2中的的边A P、AQ分别交对角线8。于点M、点 N,如图3,则CQBM(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4.求证：B M2+D N2=M N2.【例 3】(2 0 2 2 江苏八年级专题练习)问题情境在等边 A B C 的两边A B A C上 分 别 有 两 点 点D 为A A B C外一点，且N M O N=6 0 o,/B )C=12 0。,8。=DC.(图1)特例探究D（图2）如图 1,当 DM=D N B i,（1）/MDB=度；（2）M N与BM,N C之 间 的 数 量 关 系 为；归纳证明（3）如图2,当OMQN时，在N C的延长线上取点E,使C E=2 M,连接O E,猜想M N与3 M,N C之间的数量关系,并加以证明.拓展应用（4）A M N的周长与A B C的 周 长 的 比 为.【例4】.（2 0 2 0全国九年级专题练习）请阅读下列材料：已知：如 图（1）在R t Z M B C中,N B A C=9 0 o,A B=4 C,点。、分别为线段B C上两动点，若/D 4 E=4 5。.探究线段B。、DE、E C三条线段之间的数量关系：（1）猜想8。、DE、E C三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段B C上，动点。运动在线段C 8延长线上时，如 图（2）,其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如 图（3）,等边三角形A B C中，点。、E在边A B上，且/O C E=3 0。,请你找出一个条件,使线段DE、A。、E B能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数./-培优训练_ X一、解答题1.（2 0 2 2陕西西安七年级期末）问题背景：如 图1,在四边形A B C力中A B =AD,BAD=12 0。,4 8 =4ADC=9 0。石、尸分别是8 C,C O上的点，且/4尸=6 0。,探究图中线段之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长尸。到点G,使D G=B E,连接A G,先证明 4 B E三4 D G,再证明 4 E F三 A G F,可得出结论，他 的 结 论 应 是.图1实际应用：如图2,在新修的小区中，有块四边形绿化ABCZ),四周修有步行小径，且AB=A2NB+/=180。,在小径8CC C上各修一凉亭E,F,在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得NE4F=BAD,BE=10米,OF=15米，试求两凉亭之间的距离EF.2.(2022.河北邢台.九年级期末)学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题:“如图 1,在正方形 ABCD 中,/EAF=45。,求证：EF=BE+DF.”小明同学的思路：四边形ABCD是正方形,.AB=A,NB=ZADC=90.把ABE绕点A逆时针旋转到 4DE的位置，然后证明力FE三A 4FE,从而可得EF=EF.EF=ED+DF=BE+DF,从而使问题得证.D图1图2图3图4(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:如图2,在四边形4 B C D 中/B=A D,/B=/O=9 0 O/E 4 F =之 N B A。,直接写出E F,B E,。尸之间的数量关系.（2）【应用】如图3,在四边形4 8。力中工8=4。,/8+/。=1 8 0。/七4/=3 4 8 4。,求证：E F B E+D F.【知识迁移】如图4,四边形4 B P C 是。的内接四边形,B C 是直径,A B=4 C,请直接写出P 8+P C 与”的关系.3.（2 0 2 1 重庆九年级专题练习）将锐角为4 5。的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形A 8 C D 的顶点 A重合,正方形A B C D固定不动,然后将三角板绕着点4旋转,NM PN的两边分别与正方形的边B C、。或其所在直线相交于点E、F,连接E F.（1）在三角板旋转过程中，当NMPN的两边分别与正方形的边C 8、0c相交时，如 图 1 所示,请直接写出线段 B E、D F、E F 满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当/MPN的两边分别与正方形的边C 8、OC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段B E、DF,E F 满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4,在三角板旋转过程中，当NMPN的一边恰好经过B C 边的中点时，试求线段E 尸的长.4.（2 0 2 2 全国八年级课时练习）综合与实践（1）如 图 1,在正方形A 8 C D 中，点 M、N分别在A。、C。上，若N M B N=4 5。,则 MAMMCN的数量关系为图1图2图3（2）如图 2,在四边形 4 B C。中,B C A。/B=B C,N 4+N C=1 8 0。,点M、N分别在 A。、C D 上，若N M B N=3N A 8 C,试探索线段MM A M、C N有怎样的数量关系？请写出猜想,并给予证明.（3）如图3,在四边形A B C D中,A B=B C,N A B C+N A D C=1 8（）o“S M、N分别在D 4、C。的延长线上，若/M B N=：/A 8 C,试探究线段MM AM,C N的 数 量 关 系 为.5.（2 0 2 2江苏八年级课时练习）（1）如图，在四边形4 B C D中,4 8 =4。/8 =4。=9 0。?分 别 是 边B C,C。上的点，且N E A P =：4 B 4）.请直接写出线段E F,B E,F D之间的数量关系：；（2）如图，在四边形A B C D中/B =AD,Z.B+4。=1 8 0。,瓦尸分别是边8（；,以）上的点,且“4尸=以 BAD,（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形4 B C D中=AD,B+4。=1 8 0。,E,F分别是边B C,C D所在直线上的点，且Z E 4 F =l B A D.请画出图形（除图外），并直接写出线段E F,B E,F D之间的数量关系.6.（2 0 2 1辽宁沈阳市南昌中学（含：西校区、光荣中学）九年级阶段练习）如图，菱形ABC。与菱形E 8 G F的顶点B重合，顶 点F在射线4 c上运动，且N BC D =N BG F =1 2 0。,对角线AC、B。相交于点O.（1）如 图1.当点尸与点。重合时，直接写出黑的值为;（2）当顶点/运动到如图2的位置时,连接CG,CG 1 BG,且C G =BC,试探究C G与力尸的数量关系，说明理由，并直接写出直线C G与D F所夹锐角的度数;(3)如图3,取点P为A。的中点，若8、E、P三点共线，且当C F=2时，请直接写出BP的长.7.（2 0 2 2江苏八年级课时练习）如图,C 4 =CB,CA 1 CB/E CF=4 5 ,C D =C F&C D =Z.BCF.(1)求乙I C E +4 BC F的度数；(2)以E为圆心，以4 E长为半径作弧：以 尸为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G,试探索AE F G的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由.8.(2 0 2 1河南平顶山九年级期中)(1)阅读理解如 图1,在正方形ABCD中，若E,尸分别是C R B C边上的点,N E 4 F=4 5。,则我们常常会想到：把AAO E绕点A顺时针旋转9 0。,得到AABG.易证丝，得 出 线 段 之 间 的 关 系 为；(2)类比探究如图2,在等边MB C中，为8 c边上的点,N D 4 E=3 0 o,BD=l,E C=2.求线段O E的长；(3)拓展应用如图3,在AABC中力B=A C=逐+V ,/BAC=1 5 0。,点DE在B C边上,/D 4 E=7 5。,若O E是等腰4 AO E的腰，请直接写出线段8。的长.图1图2图39.（2022 全国八年级专题练习）己知四边形 A8CD 中,AB_LAD,8CJ_C2AB=BC,/ABC=12（r,N M 8N=60。,NMBN绕B点旋转，它的两边分别交ADQC（或它们的延长线）于E、F.（1）当NM 8N绕B点旋转到AE=C F时（如 图1），试猜想AE,CF,EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：+=.（不需证明）（2）当N M B N 绕 B 点旋转至AE#CF（如图2）时，上 述（1）中结论是否成立？请说明理由.（3）当NM 8N绕8点旋转到A母CF（如图3）时，上 述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE,CF,EF10.（2022 江苏八年级课时练习）如图，在正方形4BC。中，点P在直线BC上,作射线AP,将射线4P绕点A逆时针旋转45。,得到射线A。,交直线C D于点,过点B作B E L A P于点E,交 A Q于点居连接DF.（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE,EF,。尸之间的数量关系，并证明.11.（2022全国八年级课时练习）（1）如图，在正方形4BCD中,E、尸 分别是BC,CD上的点，且4比4尸=4 5 .直接写出BE、D F、EF之间的数量关系；ADE(2)如图，在四边形4 BC D中,AB=AD,AB=W =9 0。、F分别是BC,C D上的点，且“4尸=求证：E F=BE +DF；(3)如图，在四边形ABC。中，力B=AD,B 4-Z.ADC=1 8 0。,延长BC到点E,延长C D到点尸，使得NEAF=NBAD,则结论E F =BE +。尸是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明.1 2.(2 0 2 1 辽宁沈阳一模)(1)思维探究：如 图1,点,产分别在正方形ABCD的边BC,C D上，且N E 4尸=4 5。,连接E F,则三条线段E f B E Q尸满足的等量 关 系 式 是;小明的思路是：将AQ F绕点A顺时针方向旋转9 0。至A A B G的位置，并说明点G,B,E在同一条直线上，然 后 证 明 丝 即可得证结论；(只需填空，无需证明)(2)思维延伸：如图2,在ABC中,/BAC=9(r,AB=AC,点,E均在边8 c上，点。在点E的左侧，且/D 4 E=4 5。,猜想三条线段5 2 D E,E C应满足的等量关系,并说明理由：(3)思维拓广：如图3,在A A B C中,/BAC=6(r 4 B=AC=5,点 均 在 直 线B C上，点。在点E的左侧，且/D 4 E=3 0。,当B D=l时，请直接写出线段C E的长.1 3.（2 0 2 1河南安阳八年级期中）已知,正方形A B C D中,/知4 2 4 5。,2加4 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C 8、D C（或它们的延长线）于点M、于点H.（1）如图，当N K 4 N绕点A旋转到8 M=Z）N时,请你直接写出A H与A 8的数量关系：；（2）如图，当N M 4 N绕点A旋转到时，（1）中发现的A H与A 8的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知NA W V=4 5 o,A H J _ MN于点“，且M”=2,N4=3,求A”的 长.（可 利 用（2）得到的结论）1 4.（2 0 2 0 四川成都八年级期末）已知/POQ=90。,分别在边。P,OQ上取点4,8,使。4 =OB,过点4平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C.点E尸分别是射线O P 0 Q上动点，连接C E,C F,E F.（1）求证：。4 =OB =A C =B C；（2）如图1,当点E,F分别在线段4 0,8。上,且此。尸=4 5。时，请求出线段E F/E,B F之间的等量关系式；（3）如图2,当点E,尸 分别在4 0,B 0的延长线上，且4 E C F =1 3 5。时，延长4 c交E F于点M,延长B C交E F于点N.请猜想线段E N,NM,F M之间的等量关系，并证明你的结论.1 5.（2 0 2 0 江西育华学校八年级阶段练习）问题背景：如 图 1,在四边形4 B C。中/B A D =90 /B C。=90 ，员4 =B C,乙4 B C =1 2 0 ,4 M B N =6 0 ,N M B N 绕 B点旋转，它的两边分别交A D、D C 于 E、F.探究图中线段4 E,C F,E F 之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长F C 到 G,使C G =A E,连接B G,先证明BCG S A B 4 E,再证明 BGF=B E F,可 得 出 结 论,他 的 结 论 就 是；探究延伸：如图2,在四边形A B C C 中,B A =B Q B A D +乙 BCD=1 8 0 ,乙4 B C =2 乙 M B N/M B N绕 B点旋转，它的两边分别交A。、D C 于 E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西3 0。的A处舰艇乙在指挥中心南偏东 7 0。的 B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以7 5 海里/小时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏东5 0。的方向以1 0 0 海里/小时的速度前进,1.2 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为7 0。,试求此时两舰艇之间的距离.图1图2图31 6.（2 0 2 2 全国八年级课时练习）如图,A/IB C 是边长为2的等边三角形,A B O C 是顶角为1 2 0。的等腰三角形，以点。为顶点作Z M D N =6 0。,点M、N 分别在A B、AC.（1）如图，当MN B C 时，则 4M N 的周长为；（2）如图，求证：B M +N C=MN.AA1 7.(2 0 2 2.全国.八年级课时练习)如图，在四边形4 B C D 中/B =功=90。,E,F 分别是B C,C D 上的点，连接AE,AF,E F.(1)如图,A B =A D/B A Z)=1 2 0。/7 1 尸=6 0。.求证：E F=BE +D F；图图图(2)如图/B 4 D =1 2 0。,当4 A E F 周长最小时，求乙4 E F +乙4 F E 的度数；(3)如图，若四边形4 B C。为正方形，点E、F 分别在边B C、C D 上，且NE 4 尸=4 5。,若B E =3,。尸=2,请求出线段E F 的长度.1 8.(2 0 2 2 江苏八年级课忖练习)(1)如 图 1,在四边形A B C。中,A B=A D,1 0 0。,N B=/AO C=90 .分别是B C,C 上的点.且N E 4 F=5 0。.探 究 图 中 线 段 之 间 的 数 量 关 系.小明同学探究的方法是：延长FD到点G,使。6=8芯,连接4 6,先证明4 4 8 丝人4 6,再证明4/1 跖之4A G F,可得出结论，他 的 结 论 是 (直接写结论，不需证明)；(2)如图2,若在四边形A B C D中,A B=A。,/B+/=1 8 0。,瓦 F分别是BC,CD上的点，月.2 N E A F=/BAD,上述结论是否仍然成立，若成立,请证明，若不成立,请说明理由；(3)如图3,四边形A B C D 是边长为7的正方形,/E B/=4 5。,直接写出 D E 尸的周长.GDE19.(2022全国八年级课时练习)如图,正方形ABC。中,E、F分别在边8C、CQ上，且NE4F=45。,连接EF,这种模型属于“半角模型”中的一类,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的分析思路.例如图中A。尸与aAB G可以看作绕点A旋转90。的关系.这可以证明结论EF=BE+O尸，请补充辅助线的作法，并写(1)延长CB到点G,使BG=，连接4G：(2)证明：E F=B E+D F20.(2021全国九年级专题练习)如图1,在菱形ABC。中工C=2,8O=2VAC,B。相交于点O.求边A 8的长；(2)求NBAC的度数；(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形A B C D的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60。角的两边分别与边BC,C。相交于点E,F,连接E F.判断AAE尸是哪一种特殊三角形,并说明理由.21.(2020重庆江津 八年级期中)(1)如 图1,在正方形A8C。中,E是AB上一点,G是A。上一点，/ECG=45,求证 EG=BE+GD.图1图2（2）请 用（1）的经验和知识完成此题：如图2,在四边形ABCZ）中,AG/BC（BCAG）,/B=90O4B=3C=12,E是A B上一点，且NECG=45o,BE=4,求E G的长？22.（2022江苏八年级专题练习）（2020锦州模拟）问题情境：已知,在等边ABC中,NBAC与/A C B的角平分线交于点。，点M、N分别在直线AC,A8上,且NMCW=60。,猜想CM、M N、AN三者之间的数量关系.方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如 图1,M、N分别在边AC A8上时，探索CM、M N、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2,用在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形,标出相应字母，探索CM、M N、AN三者之间的数量关系，并证明.23.（2022河南开封八年级期末）（2019秋东台市期末）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,力为ABC外一点，且NMON=60。,NBOC=120。,B O=D C.探究：当何、N分别在直线A3、AC上移动时,BM、N C、之间的数量关系及AMN的周长。与等边aA B C的周长L的关系.(2)如图2,点 M、N在边A B、AC上，且当A#W时，猜 想(/)问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由.(3)如图3,当 M、N 分别在边AB、C 4的延长线上时，探索BM、N C、之间的数量关系如何？并给出证明.24.(2022全国八年级课时练习)如图，四边形ABCD为正方形，点 E,F分别在AB与 BC上，且NEDF=45。,易证：AE+CF=EF(不用证明).(1)如图，在四边形 ABCD 中,NADC=120o,DA=DC,/DAB=NBCD=90。E,F 分别在 AB 与 BC 上，且ZED F=60.猜想AE,CF与 EF之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图，在四边形ABCD中,/ADC=2a,DA=DC,NDAB与NBCD互补，点 E,F分别在A B与 BC上，且NEDF=a，请直接写出AE,CF与 EF之间的数量关系，不用证明.经典例题_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/【例1】(2020山西晋中八年级阶段练习)如图所示：已知4ABe中ZB4C=90,AB=AC,在N&4C内部作/MAN=45,4M、4N分别交BC于点M,N.操作(1)将2MBM绕点4逆时针旋转90,使AB边与AC边重合把旋转后点M的对应点记作点。得到4CQ,请在图中画出ZMCQ；(不写出画法)探究(2)在(1)作图的基础上，连接N Q,求 证：MN=NQ;拓展(3)写出线段BMMN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由.【答案】(1)见详解;见 详 解;MMUBM+NC；理由见详解.【分析】(1)根据旋转中心、旋转方向和旋转角度进行作图即可；(2)先根据SAS判定MAN/ZQAN,进而得出结论；(3)再由全等三角形和旋转的性质，得 出MN=NQ,MB=CQ,最后根据R3NCQ中的勾股定理得出结论；【详解】解：(1)如图,4ACQ即为所求；(2)证 明：由旋转可得,ABM/4ACQ,.,.AM=AQ,ZBAM=Z.CAQ4 MAN=45,4 BAC=90ZBAM+zLNAC=45乙CAQ+乙 NAC=45,即乙 NAQ=45在AMAN和4QAN中AM=AQ/.MAN=乙QAN,AN=AN AM AND AQ AN （SAS）,MN=NQ；（3）MN2=BM2+NC2；由（2）中可知,MN=NQ,MB=CQ,又乙 NCQ=Z.NCA+ACQ=乙 NCA+4 ABM=45+45=90在RtANCQ中，有NQ2=CQ2+NC2,即 MN2=BM2+NC2；【点睛】本题主要考查了图形的旋转、全等三角形,以及勾股定理，解决问题的关键是掌握旋转变换思想方法在解决问题过程中的应用.解题时注意：1旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等），2任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角），经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等.【例2】.（2022全国九年级专题练习）折一折：将正方形纸片ABCQ折叠，使边AB、A。都落在对角线AC上，展开得折痕AE、4足连接EF,如图1.乙EAF=。，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；转一转：将 图1中的Z E 4 F绕点A旋转,使它的两边分别交边B C、CD于点P、。，连接PQ如图2.线段BP、P Q、。之间的数量关系为；连接正方形对角线BD若图2中的Z B 4 Q 的边A P、AQ分别交对角线3。于点M、点 N,如图3,则丝一BM-剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4 .求 证：BM2+D N2=M N2.【答案(1)4 5 ；A A E F.A C E F,2PQ=BP+D Q 我见解析【分析】(1)利用翻折变换的性质可得乙 4 尸=4 5 ,证明(A S 4)，推出8 E=E A E =可得结论.(2)结 论：PQ=BP+D Q .如图2中，延长C B 到 7,使得8 7=D Q .证明以gaMQ(S A S)，可得结论.(3)证明 C A Q s B A M 可 得 器=受=鱼.BM AB(4)如图4中，将 A O N 绕点A顺时针旋转9 0。得到然凡连接R M .证明 A M R/A 4 M N(S A S),Z _ R 8 M =9 0 ,可得结论.(1)解：如图1中，图 1,四边形A 8 C。是正方形，,A 8 =A C =B C =CD,乙 BAD=9 0 ,ABC,/ADC都是等腰三角形，L B A E=/-CAE,Z-DAF=ACAF,.AEAF=(Z.BAC+/LDAC)=4 5,：BAE=ADAF=22.5,Z.B=AD=90AB=ADlLBAEDAF(ASA),-BE=DF,AE=AF,；CB=CD、.CE=CF,AEPZkCM都是等腰三角形，故答案为：45.AAEF,AEFC.解：结 论：PQ=BP+DQ.理 由：如图2中，延长C8到T,使得8T=OQ.图2.AD=AB,/-ADQ=AABr=90DQ=BT,LADQLABT(SAS),.AT=AQ,Z-DAQ=LBAT,乙处 Q=45,APAT=ABAP+BAT=ABAP+Z DA(2=45O,LPAT=乙以。=45,/AP=AP,BAR%Q(SAS),；.PQ=PT,YPT=PB+BT=PB+DQ,PQ=BP+DQ.故答案为：PQ=BP+DQ.解：如图3中,图3，四边形A 8 C D 是正方形，4 ABM=乙 A C Q=4 B A C =4 5,A C=巾AB、：4&4 C=乙抬。=4 5 ,LBAM=LCAQ,C A Q s/X B A M.=任=近，BM AB故答案为：V 2 .(4)证 明：如图4中，将/W N 绕点A顺时针旋转9 0。得 到 册 连 接 RM.图4/LBAD=90lLMAN=45,乙 DAN+4 8 4 M =4 5 ,(DAN=乙 BAR,4 8 A M +乙胡R =4 5。,乙 M4R=4 AMN=45,.AR=AN,AM=AM,AAMR/AMN(SAS),:.RM=MN,V LD=LABR NAB)=45,ARBM=90a,；RM2=BR2+BM2,；DN=BR,MN=RM,BM2+DN2=MN2.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.【例3】.(2022.江苏八年级专题练习)问题情境在等边A8C的两边ARAC上分别有两点MN,点。为A8C外一点，且乙60。/双(=120。,应)=DC.特例探究如 图1,当DW=W时，(1)乙 MDB=度；(2)MN与8MNC之 间 的 数 量 关 系 为；归纳证明(3)如 图2,当DM壬DN时，在NC的延长线上取点E,使CE=BM连 接 猜 想MN与8MNC之间的数量关系,并加以证明.拓展应用(4)aAMN的周长与aABC的周长的比为【答案】(1)30；(2)MN=BM+NC；(3)MN=BM+NC,证明见解析；(4)|【分析】(1)先 证 明 是 等 边 三 角 形，则 A/N=QM=W,再证明(H L)，得乙 BDM=乙 CDN=30。；(2)由(1)得 DM=2BM可得结论 MN=2BM=BM+NC；归纳证明：先证Q B M/aO C E(H L)，得 DM=DEZBDM=乙 CDE,再证 M DN EDN(SAS)得 MN=NE,可得结论 MN=BM+CN；拓展应用：(3)首先根据题意利用SAS证明OBM”AOCE,然后证明M QN/aEDV,根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN=BM+NC；(4)由 得到MN=BM+NC,则AMN的周长=2A8,ZA8C的周长=3AB,即可得出结论.【详解】特例探究：解：(1),:DM=DN/M D N=60,.MEW是等边三角形，:.MN=DM=DN,：ABDC=120,BD=DC,乙 DBC=乙。CB=30,AABC是等边三角形，乙 ABC=AACB=60,乙 DBM=乙 OCN=90,；BD=CD、DM=DN,JRtdD BM RtdD C N (H L),乙 MDB=乙 NC=30,故答案为：30；(2)由(1)得：DM=2BM,DM=MN,Rt4DBM”Rt4DCN(H L),；.BM=CN,.DM=MN=2BM=BM+NC,即 MN=BM+NC；归纳证明(3)解：猜 想：MN=BM+NC,证明如下：ABC是等边三角形,/.LABC=Z-ACB=60,BD=CD,.BDC=120t，乙 DBC=LDCB=300,乙 MBD=乙 NCD=9。.乙M BD=乙ECD=90。,又.BD=CD,BM=CE,:.XDBMXDCE(SAS),.DM=D E/MDB=L EDC,4 MDN=6 0 /BDC=120,/.乙MDB+乙NDC=60,2 EDN=乙 NDC+乙 EDC 二4 MDB+乙NOC=60,/.AEDN=乙MDN、又.DN=DN,:.MDNAEDN(SAS),MN=EN=EC+NC=BM+NC；拓展应用 解：由 得：MN=BM+NC,/AMN=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2AB,A 5c是等边三角形，AB=BC=ACt.ABC 的周长=348,AMN的周长与aABC的周长的比为段3AB 3故答案为：I.【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质.【例4)(2020.全国.九年级专题练习)请阅读下列材料：已知：如图 在RQABC中,4BAC=90。,AB=AC，点、E分别为线段BC上两动点若乙D4E=45。.探究线段8 0、DE,E C三条线段之间的数量关系：(1)猜想B。、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；(2)当动点E在线段B C上 动 点。运动在线段CB延长线上时，如 图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已 知：如 图(3)，等边三角形4 B C中 点。、E在边A B上，且4DCE=3 0。,请你找出一个条件,使线段DE、AD.EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.【答案】DEBD+EC2；(2)关系式E2=B D 2+E C2仍然成立，详见解析；(3)当4 0 =跖 时，线段DE、AD.EB能构成一个等腰三角形，且顶角乙 FE为1 2 0 .【分析】力后二胡3+,将AD8沿直线A O对折得连FE得到然后可以得到AF=AB,FD=DB,LFAD=LBAD,LAFD=NA8 C,再利用已知条件可以证明AFE/ACE,从而可以得到乙DFE=NAFD+NAFE=4 5 +4 5 =9 0 ,根据勾股定理即可证明猜想的结论；(2)根 据(1)的思路一样可以解决问题；(3)当=时，线段。、AD.E8能构成一个等腰三角形.如图，与(1)类似，以C E为一边，作乙ECF=乙ECB,在C F上截取CF=C8,可得(7在之/(7 8 ：,/。7:/。,然后可以得到AD=DF,EF=BE.由此可以得到21+2 2=a 4+2 8 =1 2 0。,这样就可以解决问题.【详解】解：(1)DE2=BD2+EC2；证 明：如图，将AD8沿直线A D对折彳导AFD,连FE,/AFDABD,AF=AB,FD=DB,A FAD=ABAD,AAFD=乙 ABD,N8 AC=9 0,NOAE=4 5 Z BAD+L CAE 45,LFAD+FAE=4 5 ,ACAE=AFAEX AE=AE,AF=AB=AC.LAFELACE,乙 DFE=AAFD+AAFE=45+45=90,DE2=FD2+EF2DE2=BD2+EC2；(2)关系式仍然成立.证 明：将 AZ)B沿 直 线 对 折 得A4FD连FE AAFD/ABD,A F =AB,FD=DB,AFAD=乙 BAD,乙 AFD=A ABD.又,.一AB=AC,AFAC,LFAE=AFAD+ADAE=zCMD+45,Z-EAC ABAC-Z.B/l=90o-(乙DAE-乙DAB)=45+乙OAB,乙 FAE=AEAC,又,-4E=AE,AAFEAACE,；.FE=ECZAFE=AAC=45,Z/1FD=180-Z ABC=135乙DFE=Z-AFD-a A尸E=135-45=90,在 RtA DFE 中，。产+尸疹=DE2,即 DE2=BD2+EC2；(3)当AD=BE时，线段DE、AD,EB能构成一个等腰三角形.如图与 类似，以C E为一边，作Z E C F=4 EC8,在C F上截取CF=CB,AD=DF,EF=BE.乙D F E=4 1+4 2=N_A+4 3 =1 2 0 .若使。/花为等腰三角形，只 需DF=EF,BP A D =BE,当A/）=8 E时,线段。E、AD.E B能构成一个等腰三角形，且顶角乙。F E为1 2 0。.【点睛】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点,此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据.培优训练_ _z一、解答题1 .（2 0 2 2陕西西安七年级期末）问题 背 景：如 图1,在四边形ABC。中力B=AD./.BAD=1 2 0 ,z B=ADC=9 0。4、尸分别 是BC,C 上的点，且乙E4尸=6 0。,探究图中 线 段 之 间 的 数 量 关 系.小 王 同 学 探 究 此 问 题 的 方 法 是，延 长FZ）到 点G,使。G =8 连 接4G先证明 ABE 4 0 G,再证明 AEF三 4 G凡可得出结论,他的结论应是.图1实 际 应 用：如 图2,在新修的小区中，有块四边形绿化A 8 C D四周修有步行小径，且A8 =A D Z B +乙。=1 8 0 ,在小径8 C,8上各修一凉亭E,F,在凉亭E与尸之间有一池塘不能直接到达，经测量得4F =B A D,B E=1 0米。F=1 5米，试求两凉亭之间的距离EF.图21答案】问题背景：EF=BE+FD；实际应用：两凉亭之间的距离E F为2 5米【分析】根据 ABE ZUCG可得8 E=Z)G,根据E尸 ZS AGF得EF=GF,进而求得结果；(2)延长C D至，使 可 证 得4。“三A8 E,进 而 证 得 进 一 步 求 得EF.【详解】解：问题背景：AADC=90,AADC+AADG=180,AADG=9 0,在M B E和N O G中，BE=DG乙B=Z.ADG,AB=AD.(S AS),AE=AG,4 BAE二乙 DAG,J ZEAF=6 0,Z.BAD=1 2 0,ZBAE+Dy 4 F=1 2 0o-6 0o=6 0 ,4 GAF=乙 DAG+乙 DAF=A BAE+L DA尸 二60二乙 EAF,在AEF和4 GF中，AE=AGLEAF=Z.G4 F,.AF=AFA A A E F A A G F (S AS),/.EF=FGt.FG二DG+DF=BE+DF,，EF=BE+DF,故答案为：EF=BE+DF；实际应用：如图2,延长C O至“，使DH=8 E,连接AH,H图2 Z.ADC=180.Z-ADH-AAC=180,乙A D H二乙B、在AO”和ABE中，AD=A BZ.ADH=乙B,.D H =BE.,.AO&A48E(SAS),AE 二 AH,4 BAE=L DAH,E A F L B A D,乙H k F二乙DAH+Z.DAF=乙 B AE+乙DAF=L BAD-乙 EAF二乙 EAF,在儿：/和/中，AE=AH/-EAF=乙HAF,AF=AFA AAEFAAGF(SAS),1.EF=FH、F H =D H+D F =BE+DF,/.EF=BE+DF,BE=10 米，。尸 二15 米,AEF=10+15=25(米)【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键.2.(2022河北邢台九年级期末)学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题