人教A版选修4-4：圆的参数方程-ppt课件 .ppt

选修选修4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程第二讲第二讲 参数方程参数方程一、曲线的参数方程一、曲线的参数方程本讲知识结构：本讲知识结构：参数方程参数方程参数方程与普参数方程与普通方程的互化通方程的互化参数方程参数方程的概念的概念特殊曲线的特殊曲线的参数方程参数方程直线的参直线的参数方程数方程圆锥曲线的圆锥曲线的参数方程参数方程渐开线与摆线渐开线与摆线的参数方程的参数方程1、参数方程的概念、参数方程的概念图图2-2图图2-1图图2-2换一个角度看这个问题换一个角度看这个问题.图图2-2图图2-2（1）一一般般地地，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，如如果果曲曲线线上上任任意意一点的坐标一点的坐标x、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并并且且对对于于t的的每每一一个个允允许许值值，由由上上述述方方程程组组所所确确定定的的点点M（x，y）都都在在这这条条曲曲线线上上，那那么么上上述述方方程程组组就就叫叫做做这这条条曲曲线线的的参参数数方方程程，联联系系x、y之之间间关关系系的的变变数数叫叫做做参参变变数数，简简称称参参数数.参参数数方方程程的的参参数数可可以以是是有有物物理理、几几何何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.（2）相相对对于于参参数数方方程程来来说说，前前面面学学过过的的直直接接给给出出曲曲线线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程.1、参数方程的概念、参数方程的概念:2、圆的参数方程、圆的参数方程:圆周运动是生产生活中常见的圆周运动是生产生活中常见的.当物体绕定当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动（图运动（图2-3）.那么，怎样刻画运动中点的位置那么，怎样刻画运动中点的位置呢？呢？图图2-3图图2-4图图2-4 由于选取的参数不同，圆有不同的由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程参数方程.一般地，同一条曲线，可以选一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式程也可以有不同的形式.形式不同的参数形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的方程，它们表示的曲线却可以是相同的.另外，在建立曲线的参数方程时，要注明另外，在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围参数及参数的取值范围.并且对于并且对于 的每一个允许值，由方的每一个允许值，由方程组程组所确定的点所确定的点M(x，y)，都在圆，都在圆O上上.5思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的的圆的参数方程，参数方程，是参数是参数.2、圆的参数方程、圆的参数方程:又又所以所以r.yx3、圆的参数方程与普通方程的互化：、圆的参数方程与普通方程的互化：注：注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。与参数之间的关系。2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。例例2、已知圆方程、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为，将它化为参数方程参数方程.解：解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程，参数方程为参数方程为:(为参数为参数)练习：练习：1、填空：已知圆、填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则点，则点P的坐标的坐标是是 .A的圆，化为标准方程为的圆，化为标准方程为（2，-2）1化为参数方程为化为参数方程为把圆方程把圆方程0142)2(22=+-+yxyx解解:设设M的坐标为的坐标为(x，y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(3，0)为圆心、为圆心、1为半径的圆为半径的圆.由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-6，2y)(2x-6)2+(2y)2=4即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-3)2+y2=1点点P在圆在圆x2+y2=4上上xMPQyO例例3、如图如图，已知点已知点P是圆是圆x2+y2=4上的一个动点上的一个动点,点点Q是是x轴上的定点轴上的定点，坐标为坐标为(6，0).当点当点P绕绕O作作匀速圆周运动时匀速圆周运动时，线段线段PQ中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?相关点法：动点的轨迹随着动点的改变而改变相关点法：动点的轨迹随着动点的改变而改变.转移法中转移法中的代入法的代入法例例3、如图，已知点、如图，已知点P是圆是圆x2+y2=4上的一个动点，点上的一个动点，点Q是是x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(6，0).当点当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求线段运动时，求线段PQ中点中点M的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.xMPQyO OxMPQyO O3、参数方程和、参数方程和普通方程的互化普通方程的互化（1）普通方程化为参数方程需要引入参数：）普通方程化为参数方程需要引入参数：如：如：直直线线l的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参可以化为参数方程数方程（t为为参数）参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x=t,可以化可以化为为参数方程参数方程 （t为参数）为参数）参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（2）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消消去参数化为普通方程：去参数化为普通方程：如：如：参数方程参数方程消去参数消去参数 可得可得圆的普通方程圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.参数方程参数方程（t为参数）为参数）可得普通方程：可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数通过代入消元法消去参数t，（x0）注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致的取值范围保持一致.否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的.例例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？它们各表示什么曲线？练习、求参数方程练习、求参数方程:表示表示 （）（A）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，）；）；（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1，）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1，）分析分析:一般思路是：化参数方程为普通方程一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。求出范围、判断。解解:x2=1+sin=2y，普通方程是普通方程是x2=2y，为抛物线，为抛物线.故应选（故应选（B）.说明：说明：这里切不可轻易去绝对值讨论，平这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法方法是最好的方法.思考：思考：为什么（为什么（2）中的两个参数方程合起来）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？才是椭圆的参数方程？2、曲、曲线线y=x2的一种参数方程是（的一种参数方程是（）.注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致的取值范围保持一致.否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的.普通方程普通方程参数方程参数方程引入参数引入参数消去参数消去参数小结小结练习：已知点练习：已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，上动点，求（求（1）x2+y2 的最值；的最值；（2）x+y的最值；的最值；（3）P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值的最值.解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（即（x-3）2+（y-2）2=1，用，用参数方程表示为参数方程表示为由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin）（1）x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2=14+4 sin+6cos=14+2 sin(+).(其中其中tan =3/2)练习：将下列参数方程化为普通方程练习：将下列参数方程化为普通方程.步骤：步骤：（1）消参；）消参；（2）求定义域）求定义域.小小 结结:1、圆的参数方程；、圆的参数方程；2、参数方程与普通方程的概念；、参数方程与普通方程的概念；3、圆的参数方程与普通方程的互化；、圆的参数方程与普通方程的互化；4、求轨迹方程的三种方法：、求轨迹方程的三种方法：相关点点问相关点点问题（代入法）；题（代入法）；参数法；参数法；定义法定义法5、求最值、求最值.作业：作业：P26 习题习题2.1 1、2、3、4、5P26 习题习题2.1 参考答案参考答案xyACBO