高考数学解析几何常用技巧.ppt

5/29/20231解高考数学解析几何常解高考数学解析几何常用技法用技法考点分析与解题指导考点分析与解题指导5/29/20232 直线、圆、圆锥曲线是解析几何也是高直线、圆、圆锥曲线是解析几何也是高考考察的重点内容。和这部分内容有关考考察的重点内容。和这部分内容有关的题目的的题目的基本特点基本特点是解题思路比较简单，是解题思路比较简单，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形能力、数形结合对运算能力、恒等变形能力、数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。能力要求较高。解析几何高考热点问题分析5/29/20233纵观近几年的高考数学试题，解析几何所占纵观近几年的高考数学试题，解析几何所占的比重一般在的比重一般在20%20%左右，其题型一般是选左右，其题型一般是选择题择题2-32-3道，填空题道，填空题1 1道，解答题道，解答题1 1道，选道，选择、填空题主要考察学生对基础知识的理择、填空题主要考察学生对基础知识的理解与掌握情况，如点、线的解与掌握情况，如点、线的位置关系，对位置关系，对称性，称性，曲线的标准方程中曲线的标准方程中系数对曲线位置、系数对曲线位置、形状的影响，形状的影响，圆锥曲线的圆锥曲线的几何性质几何性质等问题；等问题；解决此类问题，往往需要运用解决此类问题，往往需要运用“数形转化数形转化”、“回归定义回归定义”的思维策略，既要注意的思维策略，既要注意解题的准确性，又要突出运算的合理性。解题的准确性，又要突出运算的合理性。5/29/20234解答题主要考察学生的灵活运用和解答题主要考察学生的灵活运用和综合运用的能力，通常是以圆锥综合运用的能力，通常是以圆锥曲线为主要内容的较难的综合题曲线为主要内容的较难的综合题出现，问题涉及出现，问题涉及函数、方程、不函数、方程、不等式、三角等式、三角等有关知识的综合运等有关知识的综合运用，综合考察学生用，综合考察学生数形结合、等数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程、价转化、分类讨论、函数与方程、运动变化、逻辑推理运动变化、逻辑推理等诸方面能等诸方面能力。力。5/29/20235（1 1）曲线轨迹方程的探求）曲线轨迹方程的探求（2）圆锥曲线的几何性质）圆锥曲线的几何性质（3）直线与曲线的位置关）直线与曲线的位置关系系（4）对称问题）对称问题（5）最值问题）最值问题（6）范围问题）范围问题历届高考试题中解析几何问历届高考试题中解析几何问题主要有以下几类题主要有以下几类5/29/20236 曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是知道动点满足的几何关系，轨迹未类型是知道动点满足的几何关系，轨迹未知，从而方程未知；第二种类型是曲线形知，从而方程未知；第二种类型是曲线形状已知，再求方程。状已知，再求方程。解类型一常用的方法有解类型一常用的方法有直译法直译法、相关点法相关点法和和参数法参数法；类型二常用的方法有；类型二常用的方法有定义法定义法和和待定系数法待定系数法。轨迹问题轨迹问题高考中常常高考中常常不给出不给出图形，或图形，或不给不给出出坐标系坐标系，以考查学生坐标法的数学思想，以考查学生坐标法的数学思想意识。意识。5/29/20237由椭圆、双曲线、抛物线的定义推出曲线由椭圆、双曲线、抛物线的定义推出曲线的方程，通过方程研究曲线的几何性质及的方程，通过方程研究曲线的几何性质及有关问题是解析几何的基本问题，主要通有关问题是解析几何的基本问题，主要通过圆锥曲线的方程准确的找出它的过圆锥曲线的方程准确的找出它的基本量基本量（a,b,c,p,ea,b,c,p,e），），特征点特征点（焦点、顶点），（焦点、顶点），特征线特征线（准线、渐近线）及（准线、渐近线）及特征量特征量（离心（离心率、焦半径、通径、焦准距、中心到准线率、焦半径、通径、焦准距、中心到准线的距离）等，并进一步综合应用方程、不的距离）等，并进一步综合应用方程、不等式、三角变换等知识进行研究。等式、三角变换等知识进行研究。5/29/20238解题时不仅要掌握各基本量的含义，还要解题时不仅要掌握各基本量的含义，还要理解相互之间的数量关系如理解相互之间的数量关系如:b2+c2=a2（椭（椭圆）圆）a2+b2=c2（双曲线），（双曲线），准线与准线与 有关，双曲线有关，双曲线 与它与它的共轭双曲线的共轭双曲线 有相同的渐近线 。5/29/20239直线与圆锥曲线位置关系是高考中反复考查直线与圆锥曲线位置关系是高考中反复考查的热点内容，主要考查直线与圆锥曲线公共的热点内容，主要考查直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时的弦长问题、弦中点或点个数问题，相交时的弦长问题、弦中点或相关点轨迹问题，直线的倾斜角、斜率问题，相关点轨迹问题，直线的倾斜角、斜率问题，三角形面积问题，对称问题，存在性问题。三角形面积问题，对称问题，存在性问题。解题时主要涉及一元二次方程，判别式，韦解题时主要涉及一元二次方程，判别式，韦达定理，中点公式，弦长公式，三角形面积达定理，中点公式，弦长公式，三角形面积公式。这类问题涉及到的基础知识、基本方公式。这类问题涉及到的基础知识、基本方法多，运算量大，综合性强，对学生能力要法多，运算量大，综合性强，对学生能力要求高求高。5/29/202310 直线与圆锥曲线的位置关系有相离、相直线与圆锥曲线的位置关系有相离、相切、相交三种，判定给定直线与圆锥曲切、相交三种，判定给定直线与圆锥曲线的位置关系一般可以通过联立方程组，线的位置关系一般可以通过联立方程组，消元化为一元二次方程消元化为一元二次方程，利用判别式来，利用判别式来进行判断，但要注意，直线与圆锥曲线进行判断，但要注意，直线与圆锥曲线只有一个交点不一定是切线只有一个交点不一定是切线，必须除去，必须除去下面各种情况：一是直线与抛物线的对下面各种情况：一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行，其中相交是高考考察的重点，直平行，其中相交是高考考察的重点，直线与圆锥曲线相交时，截得的线段叫做线与圆锥曲线相交时，截得的线段叫做弦，所涉及的问题有弦，所涉及的问题有5/29/202311（1 1）弦长计算）弦长计算:焦点弦焦点弦是一种特殊的弦，可利用焦是一种特殊的弦，可利用焦半径公式来表示弦长，简化计算半径公式来表示弦长，简化计算.（2 2）弦的中点问题）弦的中点问题 有关弦的中点问题，可用中点坐标公有关弦的中点问题，可用中点坐标公式和根与系数的关系来处理，弦的中点坐式和根与系数的关系来处理，弦的中点坐标与其斜率可由曲线方程得到关系，合理标与其斜率可由曲线方程得到关系，合理使用此关系，解决有关问题，能避开繁杂使用此关系，解决有关问题，能避开繁杂运算，简化接替过程。运算，简化接替过程。5/29/202312（1 1）化归为函数问题化归为函数问题：通过消元、换元：通过消元、换元等手段建立目标函数，转化为函数的值等手段建立目标函数，转化为函数的值域问题，域问题，用配方法、函数的单调性等用配方法、函数的单调性等求解；求解；（2 2）化归为方程问题化归为方程问题：视等量关系为关：视等量关系为关于某个变量的方程，利用判别式求解；于某个变量的方程，利用判别式求解；（3 3）化归为不等式问题化归为不等式问题：利用基本不等：利用基本不等式求解。式求解。范围（最值）问题范围（最值）问题5/29/202313（1 1）在代入消元时，要注意）在代入消元时，要注意变量变量的取值的取值范围；范围；（2 2）利用三角换元时，要注意）利用三角换元时，要注意角角的变化的变化范围；范围；（3 3）利用判别式求解时，一定要）利用判别式求解时，一定要检验求解的值检验求解的值是否符合题意要求；是否符合题意要求；（4 4）利用基本不等式，必须注意）利用基本不等式，必须注意基本不等式基本不等式取等号取等号的条件。的条件。求范围（最值）问题时要注意求范围（最值）问题时要注意以下几个问题：以下几个问题：5/29/202314向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用高考命题注重知识的整体性和综合性，高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇渗透，在知识网络的交重视知识的交汇渗透，在知识网络的交汇点上设计试题。由于汇点上设计试题。由于向量具有代数与向量具有代数与几何形式几何形式的双重身份，使它成为中学数的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介。向量作为一种有向线段本身识的媒介。向量作为一种有向线段本身就是直线上的一段，且向量的坐标可用就是直线上的一段，且向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示，使向量与其起点、终点的坐标来表示，使向量与解几保持着一种天然的联系解几保持着一种天然的联系。解几与向解几与向量的交汇是新课程高考命题的必然趋势量的交汇是新课程高考命题的必然趋势5/29/202315例例:过抛物线过抛物线y y2 2=4=4x x的顶点作互相垂直的的顶点作互相垂直的弦弦OA,OBOA,OB，证明：直线，证明：直线ABAB过定点（过定点（4 4，0 0）抛物线抛物线y y2 2=4=4x x与过点（与过点（4 4，0 0）的直线交）的直线交于于A A，B B两点，两点，O O为原点，证明为原点，证明AOBAOB9090o o。例：已知椭圆例：已知椭圆x x2 29+9+y y2 24=14=1上一点上一点P P，若若 F F1 1PFPF2 2 9090，F F1 1,F,F2 2是焦点，是焦点，求求 F F1 1PFPF2 2 的面积。的面积。例：已知点例：已知点A A（1 1，2 2），），过点过点D D（5 5，2 2）的直线与抛物线的直线与抛物线y y2 2=4=4x x交于交于B B，C C两点，两点，试判断试判断ABCABC的形状。的形状。5/29/202316推广推广1 1过抛物线过抛物线y y2 2=2=2pxpx的顶点作互相垂的顶点作互相垂直的弦直的弦OAOA，OBOB，交抛物线于，交抛物线于A A，B B，证明：，证明：直线直线ABAB过定点，并求该定点。过定点，并求该定点。推广推广2 2过抛物线过抛物线y y2 2=2=2pxpx上的上的(x x0 0,y y0 0)作互作互相垂直的弦相垂直的弦OAOA，OBOB，交抛物线于，交抛物线于A A，B B两两点，证明：直线点，证明：直线ABAB过定点过定点(x x0 0+2+2p p,-,-y y0 0)。推广推广3 3过圆上过圆上x x2 2+y y2 2=r r2 2任意一点任意一点A A作圆的作圆的互相垂直的弦互相垂直的弦PAPA，AQAQ，则直线，则直线PQPQ过定点过定点（0,00,0）。）。5/29/202317推广推广4 4过椭圆过椭圆 x x2 2a a2 2+y+y2 2b b2 2=1(ab0)=1(ab0)的右顶点的右顶点A(A(a a,0),0)作两条互相垂直的弦作两条互相垂直的弦PAPA，QAQA，则直线，则直线PQPQ过定点过定点(a(a(a(a2 2 b b2 2)a a2 2+b+b2 2,0),0)。推广推广5 5过双曲线过双曲线 x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2=1=1 的右的右顶点顶点A A作两条互相垂直的弦作两条互相垂直的弦PAPA，QAQA，则直，则直线线PQPQ过定点过定点(a(b(a(b2 2+a+a2 2)a a2 2b b2 2,0),0)5/29/202318推广推广1:P1:P是椭圆是椭圆x x2 29+9+y y2 24=1 4=1 上一点上一点,若若 F F1 1PFPF2 2 ，F F1 1,F,F2 2是焦点，求是焦点，求 F F1 1PFPF2 2的面积。的面积。推广推广2 2：P P为椭圆为椭圆x x2 2a a2 2+y y2 2b b2 2=1(ab0)=1(ab0)上一点，上一点，F F1 1,F,F2 2是焦点，求是焦点，求 F F1 1PFPF2 2和和S SF F1 1PFPF2 2的范围。的范围。推广推广3 3：P P为双曲线为双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2=1=1 上一上一点，点，F F1 1,F,F2 2是焦点，若是焦点，若FF1 1PFPF2 2，求，求S SF F1 1PFPF2 2，它的范围有限制吗？，它的范围有限制吗？5/29/202319如图，已知梯形如图，已知梯形ABCD中，中，|AB|=2|CD|，点点E分有向线段分有向线段AC所成的比为所成的比为，双曲线，双曲线过过C、D、E三点，且以三点，且以A、B为焦点。当为焦点。当23 34时，求双曲线离心率时，求双曲线离心率e的取值的取值范围。（范围。（2000年高考）年高考）ABCDE5/29/202320ABCDE以以AB的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，轴，直线直线AB为为x轴，建立坐标系轴，建立坐标系由双曲线的对称性及已知得由双曲线的对称性及已知得A（-c,0)C(c2,h)E(x0,y0)ABCDE5/29/202321设抛物线设抛物线y2=2px（p0）的焦点为）的焦点为F，经，经过点过点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A、B两点，点两点，点C在抛物线的准线上，且在抛物线的准线上，且BCx轴。证明轴。证明直线直线AC经过原点。（经过原点。（2001年高考）年高考）变式变式1：设抛物线：设抛物线y2=2px（p0）的焦点为）的焦点为F，A、B为抛物线上两动点，点为抛物线上两动点，点C在抛物在抛物线的准线上，线的准线上，BCx轴，且直线轴，且直线AC经过原经过原点。证明直线点。证明直线AB经过焦点经过焦点F。5/29/202322变式变式2：设抛物线：设抛物线y2=2px（p0）的焦点）的焦点为为F，经过点，经过点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A、B两两点，点点，点C在抛物线的准线上，且直线在抛物线的准线上，且直线AC经过原点。证明经过原点。证明BCx轴。轴。变式变式3：设抛物线：设抛物线y2=2px（p0）的焦点）的焦点为为F，经过点，经过点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A、B两两点，直线点，直线AC经过原点，且经过原点，且BCx轴。证轴。证明点明点C在抛物线的准线上。在抛物线的准线上。5/29/202323 M M是椭圆是椭圆x x2 29+9+y y2 24=1 4=1 上一点，上一点，I I为为MFMF1 1F F2 2的内心，延长的内心，延长MIMI交交F F1 1F F2 2于于N N，则，则|MI|IN|=_|MI|IN|=_5/29/202324例：如图，在面积为例：如图，在面积为1 1的的PMNPMN中，中，tanM=tanM=tanN=-2tanN=-2求出以求出以M M，N N为焦点且过点为焦点且过点P P的椭圆的椭圆方程。方程。分析：从图中和题设知所求椭圆的焦点在x轴上，而椭圆方程为形状，建立a,b的方程组，求出a,b由题意可设由题意可设又 P为椭圆上的点，由椭圆定义有5/29/202325解法一：设所求的椭圆方程为解法一：设所求的椭圆方程为5/29/2023265/29/202327